《数值分析》总复习题-2023年-附部分答案

第17页(共17页)工程硕士?数值分析?总复习题〔2023年用〕[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]注：局部文字型的题目请根据提示自行查找，局部题目附图片的是根据老师答疑课上的笔记整理，如有错漏，欢送指出；碍于本人水平有限，局部题目未有解答。祝各位考试顺利！一.解答以下问题:1〕以下所取近似值有多少位有效数字(注意根据什么?):a)对e=2.718281828459045…,取=2.71828(答:6位(因为它是按四舍五入来的))b)数学家祖冲之取作为的近似值.(答:7位(按定义式推得))c)经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001,90.55000,它们的有效数字位数分别为5位,1位,7位。2)简述下名词:a)截断误差(不超过60字)(见书P.5)答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差b)舍入误差(不超过60字)(见书P.6)答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，这就要求进行“舍入〞，这时所产生的误差就是舍入误差。c)算法数值稳定性(不超过60字)(见书P.9)答：是指算法在执行过程中，某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。试推导(按定义或利用近似公式):计算时的相对误差约等于的相对误差的3倍。(参考书P.7例1.2.3)4)计算球体积时,为使其相对误差不超过0.3%,求半径的相对误差的允许范围。(见书P.7例1.2.3)注意，有两种解法，任选其一。5〕计算下式时,为了减少乘除法次数,通常采用什么算法?将算式加工成什么形式?(参考书P.43习题1.9(1)及其答案)6)递推公式如果取(三位有效数字)作近似计算，问计算到时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？(此题略)二.插值问题:设函数在五个互异节点上对应的函数值为，根据定理，必存在唯一的次数〔A〕的插值多项式，满足插值条件(B).对此，为了构造Lagrange插值多项式,由5个节点作(C)个、次数均为(D)次的插值基函数为_〔E〕，从而得Lagrange插值多项式为〔F〕,而插值余项=〔G〕。A.B.C.5D.4E.F.G.其中在与之间,2)试用三种方法求过三个离散点：A〔0，1〕、B〔1，2〕、C〔2，3〕的插值多项式。(方法一.见P.46例2.1.1方法二.利用Lagrange插值公式方法三.画图并根据定理分析)方法一：方法二：方法三：3〕求函数在[0,1]上的近似一次插值多项式。(见习题2.4及答案.)4)由函数值表::123:0.367879441,0.135335283,0.049787068求的近似值.(解略)5)利用插值方法推导(此题略)三.拟合问题:1)对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是(A)和(B).(见教材P.98)2)对同一个量的多个近似值,常取其算术平均作为该量的近似值,这种做法的意义是什么?(答:在最小二乘意义下误差最小)3)设有实验数据如下：1.361.731.952.2814.09416.84418.47520.963按最小二乘法求其拟合曲线。(解略)4)某试验过程中函数依赖于的试验数据如下：：4：0.81.51.82.0试按最小二乘法拟合出一个形如的经验公式。(见习题3.6此题取)5)设有实验数据如下：12344101826按最小二乘法拟合出一个形如的经验公式。(参考习题3.7.取)四.数值求积:1)写出数值求积公式的一般形式,指出其特点,并说明它对计算机的计算有什么意义?(答:下见书P.130第7行)简述数值求积公式的〞代数精度〞的概念.(见书P.131定义4.1.1)3)插值型求积公式中,每个系数可用公式=(A)计算,它们之和=(B),其代数精度(C).又Newton-Cotes公式的一般形式为(D),其主要特点是(E),其Cotes系数之和=(F),其代数精度(G);(A.见书P.130公式(4.1.5)B.见书P.135公式(4.2.11)C.见书P.131定理4.1.D.见书P.132公式(4.2.3)E.等距节点F.1.见书P.134公式(4.2.9)G.见书P.133第12-13行)4)考察数值求积公式,直接指出:它是什么类型的公式?为使其精度尽可能高,应取什么确值?它是不是Gauss型公式?(见习题4.6及答案)5)求的近似值,试写出使用11个等分点函数值的求积公式(要求只列出数值公式,不需要求出具体结果)。(参见下面第7)小题)6)利用复化Simpson公式求积分的近似值〔只需列出算式〕。(参见下面第7)小题)7)利用现成函数表，分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分[解]用复化梯形公式计算用复化Simpson公式计算,仍使用且只使用7个节点的函数值,这时子区间长度为复化梯形公式的2倍,即:注意:1.此题因函数值计算较复杂,故给出函数值表,在其它题中函数值要你现场计算.2.假设无带计算器,那么要列出前面两个等号的具体数值信息,而不仅仅只列一般公式.五.解线性代数方程组的直接法:1〕Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是以下中的哪一项或哪几项？A．提高计算速度；B．提高计算精度；C．简化计算公式；D．提高计算公式的数值稳定性；E．节省存储空间。(选B,D)2〕采用“列主元Gauss消去法〞解以下方程组：a)用〞列主元Gauss消去过程〞将方程组约化成上三角方程组;用〞回代过程〞依次列式计算出方程组的解。(搞懂P.177的例5.2.2(但这里不用求行列式的值))3)设方程组现采用“列主元Gauss消去法〞求解，试答复：a〕所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？(列主元Gauss消去过程和回代过程)b〕要用几步消元？(2步)c〕每一步消元计算之前需做哪些工作〔用简短、准确的文字表达〕?(按列选主元;必要时换行)d〕现经第１步消元结果,上述方程组已被约化为请你继续做消元计算,直至约化成上三角方程组。(解:第二步消元:按列选主元为,换行得消元计算:于是得上三角方程组)e〕对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。(解:六.解线性代数方程组的迭代法:1)解线性代数方程组的根本型迭代公式其中称为什么?又称为什么?如果迭代序列有极限〔即迭代公式收敛〕，那么极限是什么？(迭代矩阵/初始向量/方程组的解)2〕设解线性代数方程组〔其中非奇异，〕的迭代公式为那么其迭代矩阵是什么?此迭代公式对任意的初始向量收敛的充分必要条件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量收敛的一个充分条件是什么？(答:)3)设线性方程组，试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么?试用初值计算GS迭代公式的前三个值.(解:写出原方程组为:,按公式构造方法可得:J迭代公式:GS迭代公式:所得公式都收敛,因原方程组系数距阵为严格对角占优矩阵.用初值计算GS迭代:4)设方程组试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式,并说明两者收敛的根据;求出这两种迭代的迭代矩阵.(解:先把方程组换行成严格对角占优矩阵方程组,按迭代公式的构造方法可得收敛的J迭代公式和GS迭代公式(以下参见上题写法;至于求两种迭代的迭代矩阵略))5)设线性方程组请按便于计算的收敛充分条件,求使J法和GS法均收敛的的取值范围.(解略)七．一元方程求根:1)写出求方程在[1，2]中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。(解:可作不动点迭代公式即迭代函数,由当时有根据定理可知上述不动点迭代公式收敛.)2)方程的有根区间[3，4].试写出求该方程在[3,4]中的根的一个不动点迭代公式;证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.(见课本P.245例7.3.2.题中〞试设计其计算机算法〞略)3)用Newton迭代法求方程在附近的根,试写其Newton迭代公式;并说明其收敛情况。(解:其收敛情况是在附近,此迭代公式二阶局部收敛.)4)试写出求的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。(解:其收敛情况是对任意,此迭代公式二阶全局收敛.)八.常微分方程初值问题:常微分方程定解问题分为初值问题和(A)问题.初值问题是指由〔B〕