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文档简介

“不等式恒成立”问题研究.不等式恒成立问题研究内容分析:“不等式恒成立”问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点。“不等式恒成立”问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法。“不等式恒成立”问题对培养学生的综合解题能力,培养学生思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。“不等式恒成立”问题是历年高考的热点。.学习目标:1、通过本节课,使学生能够掌握“恒成立”问题的常见解法,提高横向、逆向、创造性的思维能力。2、在自主探究和合作交流中,经历知识点产生和形成过程,不仅重视对研究的掌握和应用,更重视对研究方法的思想渗透以及分析问题和解决问题能力的培养。3、进一步提升理性思维能力,激发学生更积极主动的学习精神和探究勇气。.过程与方法:培养分析、解决问题的能力,体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想。学习重点:理解解决不等式恒成立问题的实质,有效掌握不等式恒成立问题的基本技能。学习难点:利用转化思想,通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题。.一、了解高考

“不等式恒成立”的数学问题,不但在近几年高考中频繁出现,而且出现的试题大多数以大题为主。2009-2011高考试卷中“不等式恒成立”的题目如下:2009年39套重庆理第5题浙江文第21题理第22题上海理第11题辽宁理第21题江西理第15,17题湖北文理21题北京理第18题文18题湖南理第8题上海春季招生第17题201039套山东理第14题,全国II文第22题理第20题全国Ⅲ理第21题湖北理第21题海南文第20题理第21题天津理第16题湖南理第20题安徽文第17题理第19题四川理第22题江西文第17题理第19题福建文第22题理第21题201139套湖北文第20题安徽文第15题理第9题北京文第18题理第18题福建文第22题陕西理第15题第22题全国统一文第21题陕西文第15题第21题浙江理第22题江苏理第19题湖南理第22题.二、感悟高考.0≤a≤8

三、自主探究第四小组汇报探究结果.题号书写探究结果点评第4、5小题第2小组第1小组.方法一、数形结合(转化为函数求最值)方法二、分离变量(转化为函数求最值)

.x1ox>-1或x<-2

y13

x数形结合oyx31oyx31y13

xoyx31X>0x<0x=0y13

xoyx31点评:在不等式中出现了两个字母:x及a,而我们都习惯把x看成是一个变量,a作为常数.本题可以转换视角,可将a视作自变量,则上述问题即可转化为关于a的一次型函数大于0恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段,故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.归纳总结概括方法

解决恒成立的不等式问题,可以考虑如下方法:1、直接转化为求函数的最值.四、合作探究题号书写探究结果点评例1第三小组第五小组例2第六小组第七小组.四、合作探究数形结合.四、合作探究求函数最值.分离变量后求函数最值.xyo12y1=(x-1)2y2=logax数形结合.总结反思1、通过今天这堂复习课,我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法(①、化归最值②、分离参数③、数形结合),事实上,这些方法都不是孤立的,在具体的解题实践中,往往需要综合考虑,灵活运用,才能使问题得以顺利解决.但是,不管哪一种解法,都渗透了数学最本质的思想,即通过化归到函数求其最值来处理.2、含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。.五、课后探究:已知:R上的函数既是奇函数,又是减函数,且当时,有恒成立,求实数m的取值范围.解析:由得到:因为为奇函数,故有又因为为R上减函数,对恒成立设,则对于恒成立,.设函数,对称轴为①当时②当,即时,有,∴又,∴③当时,恒成立.∴故由①②③可知,实数m的取值范围:tg(t)o·1t=mtg(t)o·1点评:此题属于含参数二次函数问题,求最值时,轴变区间定的情形

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