矩阵单元综合测试题

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PAGE　PAGE 9矩阵单元综合测试题一、填空题（1 14 分）A,BFABB同型矩阵。A,B,CnAB=C,B=A1C .若AB 0,可能等0.nABA B,T B,*BAT 和*B*.1 3 0 三阶初等矩阵T 是0 1 0. 12 0 0 1 6AFn f ( x a  a x    a x n 则0 1 nf(A是数域F上的n f ( A)  a I  a A  a An。0 1 n。7A（A2  I A一定A1  I 0若A的秩为r,则A的标准型为　r .  0 A* A  AI,A  0,A-1  01 (A*)  1 A.A AA  010设A是n阶矩阵则A可逆的充要条件r(A)=nA  0A  I A。11．设  A T,其T的转置，A1。1 1 1 0 0 -1   12．设A  0 1 1 ,A2  AB  I,则B  0 0 00 0 1  0 0 0    如果向量组,1 2 ,,s 线性无关，那么它的任意一个非空部分组线性 无关,1 2 ,,s 中有一部分向量线性相关，那么整个向量组,1 2 ,,s 线性相关。设向量组,1 2 , 3 1  可由向量3组,1 , 线性表出，且3　1  42   , 3   1  , 3  　 ,1 3则向量组1 2  线性无关。3二、判断题（每小题 1 分,满分 14 分）1ABAB=BA=I（∨）2。设 Amn  0, Bnp  0,则AB  0(×）设B为n阶方阵，则有AB)2  A2 2AB B2.（×)若AB=AC,且A≠0，则B=C. （×）5素都是非零数。 （∨）6.可逆的关于称矩阵的逆矩阵仍是关于称矩阵。 （∨)7。设Tij (k是第三类初等矩阵，则有Tij Tij (k). (∨）Ar—1（∨）AB=B的充要条件是A=I。 (×）A 00 关于于分块矩阵C  必有（C)=r(A+（B。 (0  11。若A+B与A—B均可逆，则一定可逆。 （×）可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。 （×)1设向量组1 ,　,,2 3 线性无关，则组   ,2   ,31　 ,13 4  的秩为3. （∨）1i14i  (a ,ai1 i ,a ,a ,a1i3 i4 i1 ),i j  (a1 j ,a ,a ),2 j 3 j1j 如果1 , ,2 　,  ,2 （∨）2241。下列结论正确的是(　　C　　） (A）两个矩阵可相加一定可乘；（B）两个矩阵可乘一定可相加；（C）两个矩阵既可相加又可相乘，这两个矩阵一定是方阵(）在M (F) 中可普遍施行矩阵的加法和乘法.mn2．以下结论正确的只有（ B )（A）初等矩阵的逆矩阵是本身；（B)初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵； (C）初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；n3 ）（A)n阶矩阵M可逆的充要条件是M 0；(B）nMPMP=I；M(Ｄ)nM（B）) ( AB) AB(C) ( A  B)1  A1 B1 (B) (AB)1  B1(A1)() (kA)1  kA1 (k 0)cos５．矩阵sin sincos  的伴随矩阵是(A） cos sin cos  sin   （A）sin cos（B）sin cos   cos  sin cos sin （C）sin  cos； （） sin cos   设A,BnA〈n(AB）=k有(C）（A）k<r; (B）k≤r; （C）k=r; (）r〈k〈n.7。已知 n 阶方阵等于零的元素个数多于n2  n 个（位置不论则必有（ C（A)r(A）=0； (B) r(A)=n-1；(C） r(A）<n; (） r(An8A，Bn（　）(A)r(AB)=ma｛r(A,（B)； (B) r(AB=mi｛r(A,r(B};（C）　r(AB)=r(BA） (） 以上三个结论都不正确。设3阶方阵A的行列式A 1 1, A1为A的逆矩阵，A*为A2的伴随矩阵，则A* 12 （.(A）0； （B)-3； 274　；  274 ；a a a   a a a 设3阶方阵Aa11  13  a a  a a  11B a a 12a a 13 ；a a ；a21 a2231 32 a23   31 11 32 12 33 13 33 21 22 231 0 0 1 0 0   P　 0 0 1, P　 0 1 0,则必有（C）1 0 1 0 2 1 0 1   (AP P  B, (B) AP P　 B (C) P P A B () P P A  B1 2 2 1 1 2 2 1111。设向量组1 , ,2 　1　 , ,1 2 3表示，而（A)。  , ,21不能由 1 2 线性表示,则关于于任意常数 k,必有1111 , ,2 , ,2 ,k1,k1 　线性无关;22　线性相关;2211 ,　, ,2 3 k2 线性无关;1(）1 ,　, ,2 3 k2 线性相关。12。以下各向量组中线性无关的向量组为（A）（A（2,—3，4,1）,(5,2，，1),（-1,-3，，5)（B)(12，，2（1,1,1）,(3，，1)，(4，78,16）（C） (2,3,1，4）,（3，1,2，4）,(0，0,0,0)（） （1,2,—3,1（3,6,-9,3),（3,0,7,7)四、计算下列各题（420）1 2 1  1 0 1   1．已知A3 4 0 , B  2 1 3 ,且2AX BT,求矩X.   1 2 3     a a a 　11 12 13 解 设X  a a a 2AX BT ,.a21 a22 a23 31 32 33a 4  - 2a   1 2 1 2 11 13   6a 8  a   0 1 0 2a21 4 623 1 3 4 a31 a   33 -1 -2 1 33 X  -6 -7 0  3 -1 - 2 46 试将矩阵 表为关于称矩阵与反关于称矩阵之和6  解 令  1  2 5 1 0 -1,则 B，CB （A  A5  （A - A 1 02   2  为所求。1 2 3 已知B2 2 1,利用初等变幻B-1. 3 4  3100310012310010100 25 210解 2 2   3 4 3 0 0 1 0 2    1 0 0 1 3 25  　1  3 25 0 1 0  3 所B1  3 0 0 1 2 2   2 2  1 1 1 　1 1 12 5 4 61 3 2 解矩阵方程　  X 1 3 2    2 5 2 5 2 5 4 6解 1 3 1所1 3可逆，1 3 X 2 1      2 5-14 6  3 -54 6 2 -23 　      可得X1 3　2 1　  　      5。求以下向量组的一个极大无关组和向量组的秩。　 1  (0,1,0,0,0),3  (1,2,3,4,5)  (4,6,4,5,4),  4 5解 将向量组组成以下矩阵A11 0 1 1 2 0 3 0 4 0 5 6 7 8  A9 1010B  0变幻，化为阶梯型矩阵为000 0 1 4 61 2 6 70 1 0 1 ，由于矩阵的初等行0 0 1 10 0 0 01 2 3 B , , , 1 2 3 五、表明下列各题（21）nABAB（5）表明因为AB可逆，所以ABB 0 B 0，所AB设,AB-BA（5）表明   B  B ( AB     ( AB  BA) ( AB     ( AB BA)AB+BA,AB—BAAA3  3A2  7I  0 A（5）表明 由A3  3A2  7I  可得（A  3I A2  7I两边同取行列式得（A  3I) A2  7I  0 A  0 A可逆。14 可由向量组1 , ,2 ,,1r1 线性表出，但不能由 ,1 , ,,3 r 线性表出，表明r 可由 , ,2 ,, r 1 ，1 （6）1表明 假设r 不能