矩阵单元综合测试题

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《矩阵单元综合测试题》

简介:

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PAGE PAGE 9矩阵单元综合测试题一、填空题(1 14 分)A,BFABB同型矩阵。A,B,CnAB=C,B=A1C .若AB 0,可能等0.nABA B,T B,*BAT 和*B*.1 3 0 三阶初等矩阵T 是0 1 0. 12 0 0 1 6AFn f ( x a  a x    a x n 则0 1 nf(A是数域F上的n f ( A)  a I  a A  a An。0 1 n。7A(A2  I A一定A1  I 0若A的秩为r,则A的标准型为 r .  0 A* A  AI,A  0,A-1  01 (A*)  1 A.A AA  010设A是n阶矩阵则A可逆的充要条件r(A)=nA  0A  I A。11.设  A T,其T的转置,A1。1 1 1 0 0 -1   12.设A  0 1 1 ,A2  AB  I,则B  0 0 00 0 1  0 0 0    如果向量组,1 2 ,,s 线性无关,那么它的任意一个非空部分组线性 无关,1 2 ,,s 中有一部分向量线性相关,那么整个向量组,1 2 ,,s 线性相关。设向量组,1 2 , 3 1  可由向量3组,1 , 线性表出,且3 1  42   , 3   1  , 3    ,1 3则向量组1 2  线性无关。3二、判断题(每小题 1 分,满分 14 分)1ABAB=BA=I(∨)2。设 Amn  0, Bnp  0,则AB  0(×)设B为n阶方阵,则有AB)2  A2 2AB B2.(×)若AB=AC,且A≠0,则B=C. (×)5素都是非零数。 (∨)6.可逆的关于称矩阵的逆矩阵仍是关于称矩阵。 (∨)7。设Tij (k是第三类初等矩阵,则有Tij Tij (k). (∨)Ar—1(∨)AB=B的充要条件是A=I。 (×)A 00 关于于分块矩阵C  必有(C)=r(A+(B。 (0  11。若A+B与A—B均可逆,则一定可逆。 (×)可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。 (×)1设向量组1 , ,,2 3 线性无关,则组   ,2   ,31  ,13 4  的秩为3. (∨)1i14i  (a ,ai1 i ,a ,a ,a1i3 i4 i1 ),i j  (a1 j ,a ,a ),2 j 3 j1j 如果1 , ,2  ,  ,2 (∨)2241。下列结论正确的是(  C  ) (A)两个矩阵可相加一定可乘;(B)两个矩阵可乘一定可相加;(C)两个矩阵既可相加又可相乘,这两个矩阵一定是方阵()在M (F) 中可普遍施行矩阵的加法和乘法.mn2.以下结论正确的只有( B )(A)初等矩阵的逆矩阵是本身;(B)初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵; (C)初等矩阵的乘积仍是初等矩阵;n3 )(A)n阶矩阵M可逆的充要条件是M 0;(B)nMPMP=I;M(D)nM(B)) ( AB) AB(C) ( A  B)1  A1 B1 (B) (AB)1  B1(A1)() (kA)1  kA1 (k 0)cos5.矩阵sin sincos  的伴随矩阵是(A) cos sin cos  sin   (A)sin cos(B)sin cos   cos  sin cos sin (C)sin  cos; () sin cos   设A,BnA〈n(AB)=k有(C)(A)k<r; (B)k≤r; (C)k=r; ()r〈k〈n.7。已知 n 阶方阵等于零的元素个数多于n2  n 个(位置不论则必有( C(A)r(A)=0; (B) r(A)=n-1;(C) r(A)<n; () r(An8A,Bn( )(A)r(AB)=ma{r(A,(B); (B) r(AB=mi{r(A,r(B};(C) r(AB)=r(BA) () 以上三个结论都不正确。设3阶方阵A的行列式A 1 1, A1为A的逆矩阵,A*为A2的伴随矩阵,则A* 12 (.(A)0; (B)-3; 274 ;  274 ;a a a   a a a 设3阶方阵Aa11  13  a a  a a  11B a a 12a a 13 ;a a ;a21 a2231 32 a23   31 11 32 12 33 13 33 21 22 231 0 0 1 0 0   P  0 0 1, P  0 1 0,则必有(C)1 0 1 0 2 1 0 1   (AP P  B, (B) AP P  B (C) P P A B () P P A  B1 2 2 1 1 2 2 1111。设向量组1 , ,2  1  , ,1 2 3表示,而(A)。  , ,21不能由 1 2 线性表示,则关于于任意常数 k,必有1111 , ,2 , ,2 ,k1,k1  线性无关;22 线性相关;2211 , , ,2 3 k2 线性无关;1()1 , , ,2 3 k2 线性相关。12。以下各向量组中线性无关的向量组为(A)(A(2,—3,4,1),(5,2,,1),(-1,-3,,5)(B)(12,,2(1,1,1),(3,,1),(4,78,16)(C) (2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0)() (1,2,—3,1(3,6,-9,3),(3,0,7,7)四、计算下列各题(420)1 2 1  1 0 1   1.已知A3 4 0 , B  2 1 3 ,且2AX BT,求矩X.   1 2 3     a a a  11 12 13 解 设X  a a a 2AX BT ,.a21 a22 a23 31 32 33a 4  - 2a   1 2 1 2 11 13   6a 8  a   0 1 0 2a21 4 623 1 3 4 a31 a   33 -1 -2 1 33 X  -6 -7 0  3 -1 - 2 46 试将矩阵 表为关于称矩阵与反关于称矩阵之和6  解 令  1  2 5 1 0 -1,则 B,CB (A  A5  (A - A 1 02   2  为所求。1 2 3 已知B2 2 1,利用初等变幻B-1. 3 4  3100310012310010100 25 210解 2 2   3 4 3 0 0 1 0 2    1 0 0 1 3 25   1  3 25 0 1 0  3 所B1  3 0 0 1 2 2   2 2  1 1 1  1 1 12 5 4 61 3 2 解矩阵方程   X 1 3 2    2 5 2 5 2 5 4 6解 1 3 1所1 3可逆,1 3 X 2 1      2 5-14 6  3 -54 6 2 -23        可得X1 3 2 1          5。求以下向量组的一个极大无关组和向量组的秩。  1  (0,1,0,0,0),3  (1,2,3,4,5)  (4,6,4,5,4),  4 5解 将向量组组成以下矩阵A11 0 1 1 2 0 3 0 4 0 5 6 7 8  A9 1010B  0变幻,化为阶梯型矩阵为000 0 1 4 61 2 6 70 1 0 1 ,由于矩阵的初等行0 0 1 10 0 0 01 2 3 B , , , 1 2 3 五、表明下列各题(21)nABAB(5)表明因为AB可逆,所以ABB 0 B 0,所AB设,AB-BA(5)表明   B  B ( AB     ( AB  BA) ( AB     ( AB BA)AB+BA,AB—BAAA3  3A2  7I  0 A(5)表明 由A3  3A2  7I  可得(A  3I A2  7I两边同取行列式得(A  3I) A2  7I  0 A  0 A可逆。14 可由向量组1 , ,2 ,,1r1 线性表出,但不能由 ,1 , ,,3 r 线性表出,表明r 可由 , ,2 ,, r 1 ,1 (6)1表明 假设r 不能

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