矩阵单元综合测试题

PAGEPAGE9矩阵单元综合测试题一、填空题（114分）A,BFABB同型矩阵。A,B,CnAB=C,B=A1C.若AB0,可能等0.nABAB,TB,*BAT和*B*.1 3 0 三阶初等矩阵T

是0 1 0. 12 0 0 1 6AFn

f(xa axaxn则0 1 nf(A是数域F上的n

f(A)aIaAaAn。0 1 n。7A（A2

IA一定A1I 0若A的秩为r,则A的标准型为r .

0A*AAI,A0,A-1

01(A*)

1A.A AA010设A是n阶矩阵则A可逆的充要条件r(A)=nA0AIA。11．设AT,其T的转置，A1。1 1 1 0 0 -1 12．设A0 1 1,A2ABI,则B 0 0 00 0 1 0 0 0 如果向量组,1 2

,,s

线性无关，那么它的任意一个非空部分组线性无关,1 2

,,s

中有一部分向量线性相关，那么整个向量组,1 2

,,s

线性相关。设向量组,1 2

,3 1

可由向量3组,1

,线性表出，且31

42

,3

1

,3

,1 3则向量组1 2

线性无关。3二、判断题（每小题1分,满分14分）1ABAB=BA=I（∨）2。设Amn

0,Bnp

0,则AB0(×）设B为n阶方阵，则有AB)2A22ABB2.（×)若AB=AC,且A≠0，则B=C. （×）5素都是非零数。（∨）6.可逆的关于称矩阵的逆矩阵仍是关于称矩阵。 （∨)7。设Tij

(k是第三类初等矩阵，则有TijTij

(k). (∨）Ar—1（∨）AB=B的充要条件是A=I。 (×）A 00 关于于分块矩阵C 必有（C)=r(A+（B。 (0 11。若A+B与A—B均可逆，则一定可逆。 （×）可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。 （×)1设向量组1

,,,2 3

线性无关，则组

,2

,31,13 4

的秩为3. （∨）1i14i

(a,ai1 i

,a ,a ,a1i3 i4 i1

),ij

(a1j

,a ,a ),2j 3j1j如果1

,,2

,,2

（∨）2241。下列结论正确的是(C）(A）两个矩阵可相加一定可乘；（B）两个矩阵可乘一定可相加；（C）两个矩阵既可相加又可相乘，这两个矩阵一定是方阵(）在M (F)中可普遍施行矩阵的加法和乘法.mn2．以下结论正确的只有（B)（A）初等矩阵的逆矩阵是本身；（B)初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵；(C）初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；n3）（A)n阶矩阵M可逆的充要条件是M0；(B）nMPMP=I；M(Ｄ)nM（B）) (AB)AB(C) (AB)1A1B1

(B) (AB)1B1(A1)() (kA)1kA1(k0)cos５．矩阵sin

sincos的伴随矩阵是(A）cos sin cos sin （A）sin cos（B）sin cos cos sin

cos

sin（C）sin cos； （）sin cos 设A,BnA〈n(AB）=k有(C）（A）k<r; (B）k≤r;（C）k=r;(）r〈k〈n.7。已知n阶方阵等于零的元素个数多于n2n个（位置不论则必有（C（A)r(A）=0；(B)r(A)=n-1；(C）r(A）<n;(）r(An8A，Bn（）(A)r(AB)=ma｛r(A,（B)；(B)r(AB=mi｛r(A,r(B};（C）r(AB)=r(BA） (）以上三个结论都不正确。设3阶方阵A的行列式A1

1,A1为A的逆矩阵，A*为A2的伴随矩阵，则A*

12

（.(A）0； （B)-3；

274；

274；a a a a a a 设3阶方阵Aa11

13 a a a a

11Ba a

12a a

13 ；a a ；a21 a2231 32

a23 31 11 32 12 33 1333 21 22 231 0 0 1 0 0 P0 0 1,P0 1 0,则必有（C）1 0 1 0 2 1 0 1 (APPB, (B) APPB (C) PPAB () PPAB1 2 2 1 1 2 2 1111。设向量组1

,,2

1

,,1 2 3表示，而（A)。

,,21不能由 1 2

线性表示,则关于于任意常数k,必有1111

,,2 ,,2

,k1,k1

线性无关;22线性相关;2211

,,,2 3

k2

线性无关;1(）1

,,,2 3

k2

线性相关。12。以下各向量组中线性无关的向量组为（A）（A（2,—3，4,1）,(5,2，，1),（-1,-3，，5)（B)(12，，2（1,1,1）,(3，，1)，(4，78,16）（C）(2,3,1，4）,（3，1,2，4）,(0，0,0,0)（）（1,2,—3,1（3,6,-9,3),（3,0,7,7)四、计算下列各题（420）1 2 1 1 0 1 1．已知A3 4 0,B2 1 3,且2AXBT,求矩X. 1 2 3 a a a 11 12 13解设Xa a a 2AXBT,.a21 a22 a2331 32 33a 4

-2a 1 2 12 11

13 6a 8

a 0 1 02a21 4

623

1 3 4a31

a 33-1 -2 133 X-6 -7 0 3 -1 - 2 46 试将矩阵 表为关于称矩阵与反关于称矩阵之和6 解令1

2 5 1

0 -1,则B，CB （AA5 （A-A1 02 2 为所求。1 2 3 已知B2 2 1,利用初等变幻B-1. 3 4 310031001231001010025210解2 2 3 4 3 0 0 1 0 2 1 0 0 1

3 25

1 3

250 1 0

3 所B1 3 0 0 1 2

2 2 2 1 1 1 1 1 12 5 4 61 3 2 解矩阵方程 X 1 3 2 2 5 2 5 2 5 4 6解 1 31所1 3可逆，1 3X2 1 2 5-14 6 3 -54 6 2 -23 可得X1 32 1 5。求以下向量组的一个极大无关组和向量组的秩。1

(0,1,0,0,0),3

(1,2,3,4,5) (4,6,4,5,4), 4 5解将向量组组成以下矩阵A11

0 1 1 2 0 3 0 4 0 5

678A91010B0变幻，化为阶梯型矩阵为000

0 1 4 61 2 6 70 1 0 1，由于矩阵的初等行0 0 1 10 0 0 01 2 3 B,,,1 2 3 五、表明下列各题（21）nABAB（5）表明因为AB可逆，所以ABB0B0，所AB设,AB-BA（5）表明BB(AB(ABBA)(AB(ABBA)AB+BA,AB—BAAA33A27I0A（5）表明由A33A27I可得（A3IA27I两边同取行列式得（A3I)A2 7I0A0A可逆。14可由向量组1

,,2

,,1r1

线性表出，但不能由,1

,,,3

r

线性表出，表明r

可由

,,2

,,

r1，1（6）1表明假设r

不能