习题1：空间几何体全章练习题

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　　　　　　　　 (2022·高考湖北卷)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ eq \r(3,\f(16,9)V).人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　　)　　A．d≈ eq \r(3,\f(16,9)V)　 B．d≈eq \r(3,2V)C．d≈ eq \r(3,\f(300,157)V)　 D．d≈ eq \r(3,\f(21,11)V)解析：选D.∵V＝eq \f(4,3)πR3，∴2R＝d＝ eq \r(3,\f(6V,π))，考虑到2R与标准值最接近，通过计算得eq \f(6,π)－eq \f(16,9)≈ 08，eq \f(6,π)－2≈－ 1，eq \f(6,π)－eq \f(300,157)≈－ 0，eq \f(6,π)－eq \f(21,11)≈ 8，因此最接近的为D选项．2．(2022·陕西高考卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)解析：选B.还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．3．给出下列命题：①直线绕直线旋转形成柱面；②曲线平移一定形成曲面；③直角梯形绕一边旋转形成圆台；④半圆绕直径旋转一周形成球．其中正确的有________．解析：①错．当两直线相交时，形不成柱面；②错．也可能形成平面；③错．若绕底边旋转，则形成组合体；④对．据球的定义知，正确．答案：④4. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的eq \f(3,16)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．解析：设圆锥底面圆半径为r，球的半径为R，则由πr2＝eq \f(3,16)×4πR2，知r2＝eq \f(3,4)R2.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB⊥QB.设PO′＝x，QO′＝y，则x＋y＝2R.　①又△PO′B∽△BO′Q，知r2＝O′B2＝xy.即xy＝r2＝eq \f(3,4)R2.　②由①②及x>y可得x＝eq \f(3,2)R，y＝eq \f(R,2).则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为eq \f(1,3).答案：eq \f(1,3)圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是10eq \r(2) cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，求圆柱的体积．解：设圆柱底面半径为r cm，高为h cm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2r2＋h2＝10\r(2)2,2πrh＝100π))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝5,h＝10)).∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3)．6．(2022·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.∵在△ABC中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，AC＝5 cm，∴△ABC为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，∴R＝1 cm，