河南师大附中2016-2017学年高二下学期2月月考数学试卷(文科)含解析

学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年河南师大附中高二（下）2月月考数学试卷(文科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项吻合题目要求。1．设会集A={1，2，3}，B=｛4,5｝，M=｛x｜x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(）A．3B．4C．5D．62．已知角α的终边经过点P(﹣3,﹣4),则sinα=（）A．﹣B．﹣C．D．3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．4．设，是向量，则“｜|=｜｜"是“｜+｜=｜﹣|”的(）A．充分而不用要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件5．函数f（x）=ln(x+1）﹣的零点所在的大体区间是（)A．（0，1)B．（1，2）C．(2，3）D．（3，4）6．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为(）学必求其心得，业必贵于专精A．πB．πC．（6﹣2)πD．π7．函数f（x）=sinx+sin（﹣x)的图象的一条对称轴为（）A．x=B．x=πC．x=D．x=8．设｛an｝是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16，则数列{an｝的前7项的和为（）A．63B．64C．127D．1289．从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．010．如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（)A．B．C．D．11．设函数f（x）=ln（1+|x｜）﹣，则使得f(x）＞f（2x﹣1）建立的取值范围是（）A．（﹣∞,）∪（1,+∞）B．（，1）C．(）D．（﹣∞,﹣，）12．在锐角△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b,c,若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分。学必求其心得，业必贵于专精13．执行如图的程序框图，若是输入x,y∈R，那么输出的S的最大值为．14．若函数f(x）=x3﹣3bx+3b在(0,1）内有极小值，则b的取值范围为．15．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是．16．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1)2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．三、解答题：本大题共6小题，共说明或推理、验算过程。17．己知函数别为a,b,c，且f(B)=1．（I）求角B的大小；（II）若,求c的值．

70分。解答应写出必要的文字三个内角A，B，C的对边分18．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处切线斜率为﹣3（1）求函数的单调区间；学必求其心得，业必贵于专精（2）求函数的极大值与极小值的差．19．设Sn是数列{an｝的前n项和，已知（1）求a2，a3，并求数列｛an}的通项公式

;

．（2)求数列｛nan}的前n项和．20．如图，在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=

,O，M分别为

AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2)求证：平面MOC⊥平面VAB（3)求三棱锥V﹣ABC的体积．21．某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图以下列图，其中茎为十位数,叶为个位数．（1）依照茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，依照茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(3)从抽出的6名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．22．如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0)经过点A（0,﹣1），且离心率为．学必求其心得，业必贵于专精(Ⅰ）求椭圆E的方程；(Ⅱ）经过点（1,1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同样的两点P，Q(均异于点A）,证明:直线AP与AQ斜率之和为2．学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年河南师大附中高二(下）2月月考数学试卷（文科）参照答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项吻合题目要求。1．设会集A={1，2，3}，B={4，5}，M=｛x｜x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】会集的确定性、互异性、无序性；会集中元素个数的最值．【解析】利用已知条件,直接求出a+b，利用会集元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解:因为会集A={1，2，3}，B={4，5｝，M={x｜x=a+b，a∈A，b∈B｝，因此a+b的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8,因此M中元素只有：5，6，7，8．共4个．应选B．2．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4)，则sinα=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【解析】利用三角函数定义求解．【解答】解:∵角α的终边经过点P（﹣3,﹣4)，∴x=﹣3,y=﹣4，r==5，学必求其心得，业必贵于专精sinα=﹣．应选：A．3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【解析】由三视图知几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式获取结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直,且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．应选B．4．设，是向量，则“｜｜=||”是“｜+｜=|

﹣

|

”的（

）A．充分而不用要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不用要条件【考点】充要条件；向量的模．【解析】依照向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得学必求其心得，业必贵于专精答案．【解答】解:若“｜｜=|｜”，则以，为邻边的平行四边形是菱形;若“|+｜=｜﹣｜”,则以,为邻边的平行四边形是矩形；故“｜｜=｜｜"是“|+|=|﹣｜”的既不充分也不用要条件；应选:D．5．函数f（x)=ln(x+1）﹣A．（0，1）B．（1，2）

的零点所在的大体区间是（C．（2，3）D．（3,4)

)【考点】函数的零点与方程根的关系．【解析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f(1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0,而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0,∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2）,应选B．6．在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为(）A．πB．πC．（6﹣2）πD．π【考点】直线与圆的地址关系．【解析】如图,设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由学必求其心得，业必贵于专精已知得|OC|=|CE｜=r,过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F,则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．【解答】解：如图，设AB的中点为C,坐标原点为O，圆半径为r，由已知得｜OC｜=|CE｜=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D,交直线2x+y﹣4=0于F,则当D恰为OF中点时,圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：d==,此时r=∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（）2=．应选：A．7．函数A．x=

f（x)=sinx+sin(B．x=πC．x=

﹣x）的图象的一条对称轴为（D．x=

)【考点】函数的图象与图象变化．学必求其心得，业必贵于专精【解析】先化简函数，再利用正弦函数的性质，即可得出结论．【解答】解:f（x）=sinx+sin（﹣x)=sinx+cosx+sinx=sin（x+),∴x=是函数f（x）=sinx+sin（﹣x)的图象的一条对称轴，应选：D．8．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16,则数列｛an｝的前7项的和为（)A．63B．64C．127D．128【考点】等比数列的前n项和．【解析】先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．【解答】解：因为a5=a1q4,即q4=16,又q＞0，因此q=2,因此S7==127．应选C．9．从圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，则两条切线夹角的余弦值为(）A．B．C．D．0【考点】圆的切线方程．【解析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，尔后求出结果．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P(3，2）向这个圆作两条切线,则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等学必求其心得，业必贵于专精于，因此两切线夹角的正切值为tanθ==，该角的余弦值等于，应选:B．10．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【解析】先经过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，获取的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1,A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，应选D．学必求其心得，业必贵于专精11．设函数f（x）=ln（1+｜x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）建立的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪(1，+∞）B．（，1)C．(）D．(﹣∞，﹣，）【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质．【解析】依照函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可获取结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln(1+且在x≥0时，f（x）=ln(1+x)﹣

｜x｜）﹣，

为偶函数，导数为

f′（x）=

+

＞0，即有函数f（x）在［0,+∞)单调递加，f（x)＞f（2x﹣1）等价为f(|x|)＞f（|2x﹣1｜）,即|x|＞|2x﹣1｜，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1)．应选：B．12．在锐角△a=2，A．B．

ABC中，角A，B，C，则b的值为(C．D．

所对的边分别为）

a，b，c，若

，【考点】正弦定理．【解析】在锐角△ABC中,利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，学必求其心得，业必贵于专精再利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=,S△ABC=,bcsinA=bc=，bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==,∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA,22即(b+c）=a+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，由①②得：，解得b=c=．应选A．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．执行如图的程序框图，若是输入x，y∈R，那么输出的S的最大值为2．【考点】程序框图;简单线性规划．学必求其心得，业必贵于专精【解析】算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域，求得获取最大值的点的坐标，求出最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域如图:当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故答案为：2．14．若函数f(x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值,则b的取值范围为（0,1）．【考点】利用导数研究函数的极值．【解析】第一求出函数的导数，尔后令导数为零，求出函数的极值，最后确定b的范围．【解答】解：由题意得f′(x）=3x2﹣3b，令f′(x）=0，则x=±又∵函数f（x）=x3﹣3bx+b在区间（0，1)内有极小值,∴0＜＜1,∴b∈（0，1），学必求其心得，业必贵于专精故答案为（0，1）．15．直线y=1与曲线y=x2﹣｜x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，)．【考点】二次函数的性质．【解析】在同素来角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣｜x｜+a的图象，观察求解．【解答】解:如图，在同素来角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣｜x｜+a,观图可知，a的取值必定满足，解得．故答案为：（1，）16．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4订交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±．【考点】直线和圆的方程的应用．【解析】依照圆的标准方程，求出圆心和半径,依照点到直线的距离公式即可获取结论．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2,学必求其心得，业必贵于专精∵△ABC∴圆心C

为等边三角形，到直线AB的距离

d=

,即

d=

，平方得a2﹣8a+1=0，故答案为：4±三、解答题：本大题共

6小题，共

70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。17．己知函数

三个内角

A,B，C

的对边分别为a,b，c，且f（B）=1．（I）求角B的大小；（II）若，求c的值．【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用．【解析】(I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x+），因此f（B）=sin（2B+)=1，可得2B+=+2kπ（k∈Z），结合B为三角形的内角即可求出角B的大小；（II）依照余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，结合题中的数据建立关于边c的方程，解之即可获取边c的值．2【解答】解：（I)∵sinxcosx=sin2x,cosx=（1+cos2x)∴=sin2x+cos2x=sin（2x+）∵f(B)=1，即sin(2B+）=1∴2B+=+2kπ（k∈Z），可得B=+kπ（k∈Z）学必求其心得，业必贵于专精∵B∈（0，π），∴取k=0，得B=；II）依照余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=（）2+c2﹣2ccos,化简整理得c2﹣3c+2=0，解之得c=1或2．即当时，边c的值等于c=1或2．18．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处切线斜率为﹣3（1）求函数的单调区间;(2）求函数的极大值与极小值的差．【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性．【解析】(1）求出y'=3x2+6ax+3b，由题意得12+12a+3b=0，且k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，由此能求出a=﹣1，b=0，进而y=x3﹣3x2+c,则y'=3x2﹣6x,由此利用导数性质能求出函数的单调区间．2（2）由y’=3x﹣6x=0，解得x=0，x=2，推导出函数在x=0时取得极大值c,在x=2时获取极小值c﹣4,进而能求出函数的极大值与极小值的差．【解答】解：（1)∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，2∴y’=3x+6ax+3b，∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，∴当x=2时，y′=0,即12+12a+3b=0，①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，②联立①②，解得a=﹣1，b=0，学必求其心得，业必贵于专精322∴y=x﹣3x+c，则y’=3x﹣6x，令y’2或x＞2，=3x﹣6x＞0，解得x＜0令y’2=3x﹣6x＜0,解得0＜x＜2,∴函数的单调递加区间是（﹣∞，0），（2,+∞），单调递减区间是（0，2）;（2)由(1)可知,y'=3x2﹣6x，令y′=0，即3x2﹣6x=0，解得x=0,x=2，∵函数在（﹣∞，0）上单调递加，在（0,2）上单调递减，在（2，∞）上单调递加,∴函数在x=0时获取极大值c,在x=2时获取极小值c﹣4,∴函数的极大值与极小值的差为c﹣（c﹣4）=4．19．设Sn是数列｛an}的前（1）求a2,a3，并求数列｛

n项和，已知an}的通项公式

;

．(2）求数列

{nan}的前

n项和．【考点】数列的求和．【解析】（1）利用数列的递推关系式求出数列的

a2，a3，判断数列是等比数列

,求出通项公式．(2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）令n=1,得2a1﹣a1=a12．即a1=a12,∵a1≠0，∴a1=1,令n=2，得2a2﹣1=1?（1+a2），解得a2=2，当n≥2时，由2an﹣1=Sn得,2an﹣1﹣1=Sn﹣1,两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，学必求其心得，业必贵于专精∴数列｛an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1;（2）由（1）知,nan=n?2n﹣1，设数列{nan｝的前n项和为Tn,则Tn=1+2×2+3×22++n×2n﹣1，①2Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n，②2n﹣1n①﹣②得,﹣Tn=1+2+2++2﹣n?2=2nn﹣1﹣n?2,∴Tn=1+（n﹣1）2n．20．如图,在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；(2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判断;平面与平面垂直的判断．【解析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判判定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB学必求其心得，业必贵于专精（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB，∵VB?平面MOC,OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC;（2)∵AC=BC,O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC,OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB,∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=∴，∵OC⊥平面VAB,∴VC﹣VAB=?S△VAB=，∴V=V=．V﹣ABCC﹣VAB

，∴AB=2，OC=1，21．某车间共有12名工人，随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图以下列图,其中茎为十位数，叶为个位数．（1）依照茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,依照茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；（3）从抽出的6