高中数学考点10利用导数研究函数的单调性极值最值(含2017高考试题)-8146

学必求其心得，业必贵于专精考点10利用导数研究函数的单调性、极值、最值一、选择题1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=—2是函数f(x)=(x2+ax-1）ex1的极值点，则f（x)的极小值为（)A。—1B。—2e3C.5e3D。1【命题妄图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.经过求极小值意在观察学生单调性与导数的关系，以及运算能力.【解析】选A.由题可得f’（x)=(2x+a)ex1+(x2+ax—1）ex1=［x2+（a+2)x+a—1]ex1，因为f'（-2）=0,所以a=—1,f（x）=(x2-x-1）ex1，故f'(x）=（x2+x—2）ex1,令f’(x）〉0，解得x<-2或x>1，所以f（x）在(—∞，—2)和（1,+∞)上单调递加,在（—2,1)上单调递减，所以f（x)极小值=f（1)=(1—1-1）e11=-1.【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤（1)确定函数的定义区间,求导数f’(x）。(2）求f（x)的拐点，即求方程f’（x）=0的根。3）利用f’（x）与f(x)随x的变化情况表，依照极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f’（x）的图象以下列图,则函数y=f（x)的图象可能是(）【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增，在（0,+∞)上是先增后减再增，应选D。3.（2017·山东高考文科·T10）若函数g（x)=exf(x)（e=2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递加,则称f(x)拥有M性质，以下函数中拥有M性质的是(）A.f(x)=2-xB。f(x)=x2C.f(x)=3—xD.f(x）=cosx【命题妄图】本题观察函数的单调性的判断及导数的应用，意在观察考生应用已有知识解析问题、解决问题的能力。【解析】选A。A中,g（x)=ex2—x=ex，因为e>1,所以g（x）单调递加，所以f(x）拥有221学必求其心得，业必贵于专精M性质,满足题意,应选A;B中，g(x）=exx2,则g’(x)=exx（x+2),所以g（x）在（—2,0)上单调递减,所以f（x）不拥有M性质，不满足题意;C中，g(x）=ex3-x=足题意；

e3

x,因为0〈e<1,所以g(x)单调递减，所以f(x)不拥有M性质，不满3D中,g(x)=exx,5上单调递减,所以f(x)cosx,则g’（x）=e（cosx-sinx)，所以g（x)在44不拥有M性质，不满足题意。二、填空题3x14。(2017·江苏高考·T11）已知函数f(x）=x—2x+e—ex,其中e是自然对数的底数,若f（a-1)+f(2a2）≤0，则实数a的取值范围是.【命题妄图】观察利用函数性质解不等式，如何利用函数的性质把不等式转变成f（g（x))>f(h(x)）的形式，依照函数的单调性去掉“f”，转变成详尽的不等式（组)是重点.突出观察考生的应变能力。【解析】因为f'(x）=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2exex≥0,所以函数f(x）在R上单调递加,因为f(—x)=—x3+2x+1x—ex=-f(x),f（a-1)+f(2a2）≤0，所以2a2≤1-a，即2a2+a—1≤0，解得-1≤ae≤1，故实数a的取值范围为1,1.22答案：1,125.(2017·山东高考理科·T15）若函数exf（x）(e=2.71828是自然对数的底数）在f（x)的定义域上单调递加，则称f（x）拥有M性质,则以下函数中所有拥有M性质的函数的序号为①f（x）=2-x;②f(x)=3—x;③f(x)=x3;④f（x)=x2+2【命题妄图】本题观察函数的单调性的判断及导数的应用,意在观察考生应用已有知识解析问题、解决问题的能力.ex【解析】①g（x)=ex2—x=，因为e>1,所以g（x）单调递加，所以f(x）拥有M性质,22满足题意；②g（x）=ex3-x=ex，因为0<e〈1，所以g（x）单调递减,所以f(x)不拥有M性质,不满33足题意；③g(x）=exx3，则g’（x)=ex(x3+3x2）=exx2（x+3)，所以g(x）在（-∞,-3)上单调递减,所以2学必求其心得，业必贵于专精f(x）不拥有M性质,不满足题意;g(x）=ex（x2+2)，则g’（x）=ex（x2+2x+2)>0恒成立,所以g（x)单调递加,所以f（x）拥有M性质,满足题意.综上，①④满足题意.答案：①④三、解答题6.（2017·北京高考文科·T20)同(2017·北京高考理科·T19)已知函数f(x）=excosx-x.求曲线y=f(x)在点（0，f（0））处的切线方程.(2)求函数f(x）在区间0,上的最大值和最小值.2【命题妄图】本题主要观察利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计算能力与解析解决问题的转变能力.【解析】（1）f（x)=ex·cosx-x,所以f（0)=1,所以f'（x)=ex(cosx-sinx)-1,所以f’（0)=0,所以y=f(x)在(0,f（0））处的切线过点（0，1），k=0，所以切线方程为y=1.x（cosx—sinx)-1,设f’(x）=g(x),(2）f’(x）=e所以g'(x）=—2sinx·ex≤0，所以g（x）在0,2

上单调递减,所以g(x)≤g（0）=0，所以f’（x)≤0，所以f（x）在0,上单调递减，2所以f(x）=f（0）=1，f(x)min=f=—.max227。（2017·全国丙卷·文科·T21)已知函数f(x）=lnx+ax2+(2a+1）x.(1）谈论f（x）的单调性.(2）当a<0时，证明f（x)≤-3—2。4a2【解析】(1）f’(x)=2ax2a1x1x=2ax1x1x(x>0），当a≥0时，f'(x）>0，则f（x)在(0，+∞）上单调递加,当a<0时，则f（x）在0,1上单调递加，2a在1,上单调递减。2a3学必求其心得，业必贵于专精(2)由（1)知,当a〈0时，f（x)max=f12a则f1—32=ln1+1+1，2a4a2a2a令y=lnt+1—tt10，2a则y'=1—1=0，解得t=1,t所以y=lnt+1-t在（0,1）上单调递加,在（1，+∞）上单调递减,所以ymax=y（1）=0