有心圆锥曲线的焦点四边形的十大结论（解析版）

有心圆锥曲线的焦点四边形及应用一．基本原理如图，直线与椭圆交于两点，的左右焦点记为，则称为椭圆的焦点四边形.性质1：为平行四边形.性质2：任意两邻边之和为，▱周长恒为.性质3：.等号成立当且仅当不存在.性质4：当且仅当不存在时，取最大张角.此时，取最小值.性质5：由平行四边形性质可得：性质6：由余弦定理：.由均值不等式：.则当且仅当时..性质7：若四边形为矩形，则.由矩形性质可知，对平面内任意一点，有.性质8：设的坐标分别为，则，.性质9[1]一般地，椭圆的左、右焦点为，点，，，过点的直线（不是轴）交椭圆于两点，直线相交于点，直线，相交于点，则（1）；（2）；（3）直线恒过定点；（4）二．典例分析例1．设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．解析：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得或舍去.故选：B．例2．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．解析：设椭圆右焦点为，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以，则，.由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率故选：C.例3．已知椭圆=1的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，，且，则该椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，在中，，所以.由，得，整理，得，又，所以.例4．已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（

）．A． B． C． D．解析：连接，与左右焦点，的连线，由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，在三角形中，，所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故，即，可得，所以椭圆的离心率.故选：A．下面我们看双曲线中的焦点四边形及应用.例5.已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．解析：如下图，若左焦点，连接，因为A、B关于原点对称且，所以为矩形，设，则，，，在直角△中，即，所以，在直角△中，即，所以.故选：B例6.已知点F为双曲线(，)的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点(点B在双曲线左支上)，连接BF并延长交双曲线于点C，且，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为(

)A． B． C． D．解析：如图，为双曲线右焦点，则根据对称性知为矩形﹒设，则，，，，在△中，由余弦定理得，，即，即①，在Rt△中，，即②，联立①②解得，，代入②，，解得.故选：B.例7.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．解析：由题意可得，，解得，又为直径，所以四边形为矩形，所以，又，所以，即，由，得，即，所以，即．故选：C．例8．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.解析：连接，根据椭圆的对称性可知：点是的中点，所以，四边形为平行四边形，若，所以