圆的标准方程 教学设计-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程（1课时）【教学内容】圆的标准方程，圆的标准方程的特点，求圆的方程的三种方法（待定系数法、几何法和直接法），点与圆的位置关系。【教学目标】1．会用圆的定义推导圆的标准方程。并掌握圆的标准方程的特征。培养直观想象能力和逻辑推理能力。2．能根据已知条件求圆的标准方程。掌握待定系数法和几何法求圆的标准方程，培养数学运算素养、渗透方程思想。3．能判断点与圆的位置关系并能解决相关问题．体会如何用代数方法去解决几何问题。【教学重难点】教学重点：1．对圆的标准方程特征的理解；2．点与圆的位置关系的判断方法．3．求圆的标准方程的三种方法，数形结合思想．教学难点：1.掌握求圆的标准方程．但要注意方程不一定表示圆,要注意参数m的取值范围。2.如何根据条件选择合理的方法（待定系数法,几何法,直接法）求圆的标准方程．【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）（一）圆的标准方程的推导初中我们学习过的圆的定义。圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。在前几节课我们也学习了直线与直线的方程，我们从“方程”的角度研究了直线。那么今天，在直角坐标系中，我们如何刻画圆呢？设点M(x,y)为圆A上任意一点，|MA|=r，注意，这里要强调一下ｒ＞０则圆上所有点的集合P={M||MA|=r}根据两点距离的公式我们可以得到两边平方后得到方程（1）追问：方程（１）一定表示圆的方程吗？由上述过程可知，若点M(x,y)在圆A上，点M的坐标就满足方程(1)；反过来，若点M的坐标(x,y)满足方程(1)，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在圆A上。这时我们就把方程（1）称为圆心为A(a,b)，半径为r的圆的标准方程。这种一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系。有了这种关系，我们可以用方程表示曲线并对曲线进行＂运算＂。圆的标准方程有什么特点？圆的标准方程的特点1.是关于x、y的二元二次方程。2.确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r。3.若圆心在坐标原点,则圆方程为。4.要注意r的取值，r>0。典型例题求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，点M2(-2,-1)，点M３(2,3)是否在这个圆上。解：我们将圆心A(2,-3)，半径为5代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为我们已经求出圆的标准方程，下面来判断一下点M1(5,-7)，点M2(-2,-1)，点M３(2,3)是否在这个圆上？同学们，要解决这个问题，我们首先来探究一下：点与圆的位置关系。大家思考点与圆的位置关系有几种？很明显，从几何角度看点与圆的位置关系有三种：我们设点Ａ到圆心的距离为d，半径为r（1）若d<r，则点M在圆内（2）若d=r，则点M在圆上（3）若d>r，则点M在圆外我们再思考，在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆A的标准方程，我们如何判断点M在圆外、圆上、圆内？我们用代数方法，将点坐标代入圆的方程左边来看看，这个格式正好是两点距离的平方。那么我们可以将点坐标代入圆的方程左边计算，然后与r2作比较：(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外现在我们把点M1(5,-7)的坐标带入方程的左边，得到25等于25左右两边相等，点M1坐标满足圆的方程，所以M1在这个圆上。我们再把点M2(-2,-1)的坐标带入方程的左边，M2在圆内。我们再把点M３(2,3)的坐标带入方程的左边，所以M３不在圆上，M３在圆外．规律方法——点M(x0，y0)与圆Ａ：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法例题2三角形ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求三角形ABC的外接圆的方程。我们知道不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形而，三角形有唯一的外接圆那么我们思考，现在待求什么量？如何利用已知条件？根据我们今天学习的圆的标准方程知识，可以设方程，待定系数；然后代入点坐标，把问题转化为方程组问题；解出a、b、r即可。通过上述例题，我们来找找求圆的标准方程规律方法：方法一、几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程方法二、待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程。它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列——由已知条件，代入点坐标，建立关于a，b，r的方程组；③解——解方程组，求出a，b，r；④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．例题3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2),且圆心C在直线，l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程。解答本题当然可以设出方程用待定系数法求解；也可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程；也可以利用几何性质求出圆心和半径。（四）归纳总结通过三个例题的学习，我们基本掌握了圆的标准方程的一些基本方法和技能，下面我们来进行一下课堂小结。知识方面：（