习题《几何概型及其概率计算》同步练习及答案

3．3几何概型3．几何概型及其概率计算eq\x(基)eq\x(础)eq\x(达)eq\x(标)1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)答案：B2．关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是()A．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个B．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等答案：B3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是()\f(1,12)\f(3,8)\f(1,16)\f(5,6)答案：C4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．答案：eq\f(2,3)5．在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________________________________________________________________________．解析：先求出绝对值不等式的解集，再结合几何概型知识求解．当x<－1时，不等式可化为－x－1＋x－2≥1，即－3≥1，此式不成立，∴x∈∅；当－1≤x≤2时，不等式可化为x＋1－(2－x)≥1，即x≥1，∴此时1≤x≤2；当x>2时，不等式可化为x＋1－x＋2≥1，即3≥1，此式恒成立，∴此时x>2.综上可知，不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞)．∴不等式|x＋1|－|x－2|≥1在区间[－3,3]上的解集为[1,3]，其长度为2.又x∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识可得P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\x(巩)eq\x(固)eq\x(提)eq\x(升)6.如右图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点，作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．答案：eq\f(1,3)7．在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，求三棱锥SAPC的体积大于eq\f(V,3)的概率．解析：如右图，要使VSAPC＞eq\f(V,3)，需有S△APC＞eq\f(1,3)S△ABC，∴P需满足PB＜eq\f(2,3)AB.∴三棱锥SAPC的体积大于eq\f(V,3)的概率为P＝eq\f(\f(2,3)V,V)＝eq\f(2,3)或P＝eq\f(\f(2,3)AB,AB)＝eq\f(2,3).8．一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖不会落在黑色靶心上，也不会落在两种颜色之间，求飞镖落在下列区域的概率：(1)编号为25的区域；(2)绿色区域(阴影部分)；(3)编号不小于24的区域；(4)编号为6号到9号的区域；(5)编号为奇数的区域；(6)编号能被5或3整除的阴影区域．解析：飞镖落在每一个区域的概率是一样的，那么只要计算小扇形的个数就可以了，一共有26个小扇形．这是几何概型问题．(1)P＝eq\f(1个小扇形的面积,26个小扇形的面积)＝eq\f(1,26)；(2)P＝eq\f(13个小扇形的面积,26个小扇形的面积)＝eq\f(13,26)＝eq\f(1,2)；(3)P＝eq\f(编号不小于24的扇形面积,全部区域的扇形面积)＝eq\f(编号大于等于24的扇形面积,全部区域的扇形面积)＝eq\f(3,26)；(4)P＝eq\f(6号到9号区域的扇形面积,全部区域的扇形面积)＝eq\f(4,26)＝eq\f(2,13)；(5)P＝eq\f(奇数号区域的扇形面积,全部区域的扇形面积)＝eq\f(13,26)＝eq\f(1,2)；(6)阴影部分能被3整除的编号有6,12,18,24共4个，能被5整除的编号有10,20共2个，所以P＝eq\f(4＋2,26)＝eq\f(3,13).9．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．解析：事件A＝“两人能见面”．以x和y分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15，在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A的可能结果由图中阴影部分表示．μA＝602－452＝1575，μΩ＝602＝3600，P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(1575,3600)＝eq\f(7,16).1．正确理解并掌握几何概型的两个特点是解决相关问题的关键．两个特点为：①在一次试验中，可能出现的结果