高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质学案(含解析)4-5-4197_第1页
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文档简介

学必求其心得,业必贵于专精1.不等式的基本性质1.实数大小的比较1)数轴上的点与实数一一对应,能够利用数轴上点的左右地址关系来规定实数的大小.在数轴上,右边的数总比左边的数大.2)若是a-b>0,则a>b;若是a-b=0,则a=b;若是a-b<0,则a<b.(3)比较两个实数a与b的大小,概括为判断它们的差与0的大小;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又概括为判断它们的差与0的大小.2.不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实,能够获取不等式的一些基本性质:1)若是a>b,那么b<a;若是b<a,那么a>b.即a>b?b<a.(2)若是a>b,b>c,那么a>c。即a>b,b>c?a〉c.3)若是a>b,那么a+c〉b+c。(4)若是a>b,c〉0,那么ac>bc;若是a〉b,c〈0,那么ac〈bc。n5)若是a>b>0,那么a〉b(n∈N,n≥2).n(6)若是a〉b〉0,那么a>错误!(n∈N,n≥2).3.对上述不等式的理解使用不等式的性质时,必然要清楚它们建立的前提条件,不能增强或弱化它们建立的条件,盲目套用,比方:(1)等式两边同乘一个数仍为等式,但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种:①>0时得同向不等式;②c=0时得等式;③c〈0时得异向不等式.c(2)a>b,c>d?a+c>b+d,即两个同向不等式能够相加,但不能够够相减;而a>b〉0,>>0?〉,即已知的两个不等式同向且两边为正当时,能够相乘,但不能够够相除.cdacbd(3)性质(5)(6)建立的条件是已知不等式两边均为正当,并且n∈N,≥2,否则结n论不能立.而当n取正奇数时可放宽条件nn,a〉b?a〉b(n=2k+1,k∈N),a>b?错误!>错误!(n=2k+1,k∈N*).实数大小的比较1学必求其心得,业必贵于专精错误!已知x,y均为正数,设m=错误!+错误!,n=错误!,试比较m和n的大小.错误!错误!错误!错误!错误!m-n=错误!+错误!-错误!=错误!-错误!=错误!=错误!,∵x,y均为正数,x〉0,y>0,xy>0,x+y〉0,(x-y)2≥0。m-n≥0,即m≥n(当x=y时,等号建立).比较两个数(式子)的大小,一般用作差法,其步骤是:作差-变形-判断差的符号—结论,其中“变形”是要点,常用的方法是分解因式、配方等.1.已知a,b∈R,比较a4+b4与a3b+ab3的大小.解:因为(a4+b4)-(a3b+ab3)a3(a-b)+b3(b-a)=(a-b)(a3-b3)=(a-b)2(a2+ab+b2)=(a-b)2错误!≥0.当且仅当a=b时,等号建立,所以a4+b4≥a3b+ab3。2.在数轴的正半轴上,A点对应的实数为错误!,B点对应的实数为1,试判断A点在B点的左边,还是在B点的右边?解:因为错误!-1=错误!≤0,6a2所以9+a4≤1.当且仅当a=±错误!时,等号建立,所以当a≠±错误!时,A点在B点左边,当a=±错误!时,A点与B点重合。不等式的证明已知a〉b>0,c<d<0,e〈0.求证:错误!>错误!.能够作差比较,也可用不等式的性质直接证明.e法一:a-c-错误!=错误!=错误!,a〉b>0,c〈d〈0,∴b-a<0,c-d<0。∴b-a+c-d〈0。2学必求其心得,业必贵于专精又∵a>0,c〈0,∴a-c>0.同理b-d>0,∴(a-c)(b-d)〉0.∵〈0,∴eb-a+c-d>0,即错误!〉错误!。ea-cb-d法二:错误!?错误!?错误!>错误!.进行简单的不等式的证明,必然要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上,若是不能够直接由不等式的性质获取,能够先解析需要证明的不等式的结构,利用不等式的性质进行逆推,搜寻使其建立的充分条件.3.已知x≥1,y≥1,求证:x2y+xy2+1≤x2y2+x+y。证明:左边-右边=(y-y2)x2+(y2-1)x-y+1=(1-y)(1-y)(xy-1)(x-1).因为x≥1,y≥1,所以1-y≤0,xy-1≥0,x-1≥0.所以x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.14.已知a,b,x,y都是正数,且a>错误!,x>y,求证:错误!>错误!。证明:因为a,b,x,y都是正数,且错误!〉错误!,x>y,所以错误!>错误!,所以错误!<错误!.故错误!+1〈错误!+1,即错误!<错误!.所以错误!〉错误!。利用不等式的性质求范围(1)已知-错误!≤α≤β≤错误!,求α-β的取值范围.已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围.求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质.π(1)∵-2≤α≤β≤错误!,π∴-2≤α≤错误!,-错误!≤-β≤错误!,且α≤β.∴-π≤α-β≤π且α-β≤0。∴-π≤α-β≤0.即α-β的取值范围为.2)设a+3b=λ1(a+b)+λ2(a-2b)=(λ1+λ2)a+(λ1-2λ2)b。解得λ1=错误!,λ2=-错误!。∴-错误!≤错误!(a+b)≤错误!,-2≤-错误!(a-2b)≤-错误!。3学必求其心得,业必贵于专精∴-错误!≤a+3b≤1.即a+3b的取值范围为错误!.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依照不等式的性质和运算法规进行运算,是解答此类问题的基础,在使用不等式的性质中,若是是由两个变量的范围求其差的范围,必然不能够直接作差,而要转变成同向不等式后作和.5.已知1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1,求2α-β的取值范围.解:设2α-β=m(α+β)+n(α-β),∴错误!?错误!又∵1≤α+β≤4,-2≤α-β≤-1,∴错误!?-错误!≤2α-β≤错误!。∴2α-β的取值范围为错误!.6.三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,求错误!的取值范围.解:两个不等式同时除以a,得错误!将②×(-1),得错误!两式相加,得1-错误!≤错误!-1≤2-错误!,解得错误!≤错误!≤错误!.即错误!的取值范围是错误!。课时追踪检测(一)1.以下命题中不.正确的选项是()A.若错误!〉错误!,则>B.若a〉,〉,则a-〉-abbcddbcC.若a>b>0,c〉d>0,则错误!〉错误!D.若a〉b>0,ac>bd,则c〉d解析:选D当a>b〉0,ac>ad时,c,d的大小关系不确定.2.已知〉〉,则以下不等式正确的选项是()abcA.ac〉bcB.ac2〉bc2C.b(a-b)>c(a-b)D.|ac|〉|bc|解析:选C>>?-〉0?(-)>(-)c.abcababbab3.若是a〈b〈0,那么以下不等式建立的是()1B.ab<b2A.a<错误!C.-ab〈-a2D.-错误!〈-错误!解析:选D对于A项,由a<b<0,得b-a>0,ab>0,故1a-错误!=错误!>0,错误!>错误!,4学必求其心得,业必贵于专精故A项错误;对于B项,由a<b<0,得b(a-b)>0,ab〉b2,故B项错误;对于C项,由a〈b〈0,得a(-)>0,2〉,即->-2,故C项错误;对于D项,由<<0,得-〈0,abaababaababab〉0,故-错误!-错误!=错误!〈0,-错误!〈-错误!建立,故D项正确.4.若a>0>b>-a,c<d<0,则以下结论:①ad>bc;②错误!+错误!<0;③a-c>-;④(-)>(-)中,建立的个数是()bdadcbdcA.1B.2C.3D.4解析:选C∵>0>,<<0,∴<0,bc>0,∴<bc,故①不能立.∵a>0abcdadad>b>-a,∴a>-b>0,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a(-c)>(-b)(-d),∴ac+bda<0,∴d+错误!=错误!<0,故②建立.∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,故③建立.∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④建立.建立的个数为3.5.给出四个条件:①b>0>a;②0>a〉b;③a>0〉b;④a〉b〉0.能得犯错误!<错误!建立的有________(填序号).解析:由错误!<错误!,得错误!-错误!〈0,错误!〈0,故①②④可推得错误!〈错误!建立.答案:①②④6.设〉>1,cc;③log(b-)>loga(b〈0,给出以下三个结论:①错误!〉错误!;②〈abcabac-c).其中所有的正确结论的序号是________.解析:由a〉b>1,c〈0,得错误!〈错误!,错误!>错误!;幂函数y=xc(c<0)是减函数,所以ac<bc;因为a-c>b-c,所以logb(a-c)〉loga(a-c)〉loga(b-c),①②③均正确.答案:①②③7.已知-1<x+y〈4且2<x-y〈3,则z=2x-3y的取值范围是________.解析:设z=2x-3y=m(x+y)+n(x-y),即2x-3y=(m+n)x+(m-n)y。∴错误!解得错误!∴2x-3y=-错误!(x+y)+错误!(x-y).∵-1〈x+y〈4,2〈x-y<3,∴-2〈-错误!(x+y)<错误!,5〈错误!(x-y)<错误!。由不等式同向可加性,得3<-错误!(x+y)+错误!(x-y)<8,即3<z<8.答案:(3,8)8.若a〉0,b>0,求证:错误!+错误!≥a+b.证明:∵错误!+错误!-a-b=(a-b)错误!=错误!,5学必求其心得,业必贵于专精(a-b)2≥0恒建立,且已知a>0,b>0,-2+b2∴a+b〉0,ab>0。∴ab≥0.∴a+错误!≥a+b。9.已知-6<a〈8,2<b〈3,分别求2a+b,a-b,错误!的取值范围.解:∵-6<a〈8,∴-12〈2a〈16.又2〈b<3,∴-10<2a+b<19。∵2<b<3,∴-3〈-b<-2。又∵-6<a〈8,∴-9〈a-b<6.2<b<3,∴错误!〈错误!<错误!。①当0≤a〈8时,0≤错误!<4;②当-6<a<0时,-3<错误!<0。综合①②得-3〈错误!〈4.∴2a+b,a-b,错误!的取值范围分别为(-10,19),(-9,6),(-3,4).10.已知a〉0,a≠1。(1)比较以下各式大小.a2+1与a+a;②a3+1与a2+a;③a5+1与a3+a2.(2)商议在m,n∈N+条件下,am+n+1与am+an的大小关系,并加以证明.解:(1)由题意,知a〉0,a≠1,a2+1-(a+a)=a2+1-2a=(a-1)2>0。∴a2+1〉a+a。②a3+1-(a2+a)=a2(a-1)-(a-1)=(a+1)(a-1)2>0,∴a3+1>a2+a,③a5+1-(a3+a2)a3(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)(a3-1).当a〉1时,a3>1,a2>1,∴(a2-1)(a3-1)〉0。当0<a<1时,0<a3〈1,0〈a2〈1,∴(a2-1)(a3-1)〉0,即a5+1>a3+a2。(2)依照(1)可得am+n+1>am+an.证明以下:am+n+1-(am+an)=am(an-

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