等差数列 课件-高二上学期数学人教A版必修5

2.2.1等差数列（1）人教版·数学·必修5·第二章《数列》通江中学李青林数列：实质：得到数列项的方法：按照一定顺序排成的一列数称为数列。

数列是一种特殊的函数

递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。(反映项与项之间的关系)通项公式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)复习回顾思考：下列数列都有什么特点？(1)1,3,5,7,9,11,13,15从第二项起每一项与它前一项的差都等于2(2)-3,0,3,6,9,12,15,18从第二项起每一项与它前一项的差都等于3(3)70,60,50,40,30,20,10从第二项起每一项与它前一项的差都等于-101、等差数列的定义一般地，如果一个数列a1，

a2，

a3，…，an，

…从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。这就是数列的递推公式等差数列定义的符号表示：(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n∈N*)(2){an}是等差数列⇔

an+1-an=d(n∈N*)判断题：①数列a，a，a，a，…是等差数列。（）②数列0，0，0，0，…是等差数列。（）③若an－an+1=3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列。（）④若a2－a1=a3－a2,则数列{an}是等差数列。（）√√××1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。不能颠倒。

2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正数，也可以是0和负数。（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要。温馨提示:（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列。（3）求公差d时，要注意相邻两项相减的顺序d=an-an-1或d=an+1-an（4）公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.（5）d=an-an-1或d=an+1-an是证明或判断一个数列是等差数列的依据温馨提示:（4）公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.（5）d=an-an-1或d=an+1-an是证明或判断一个数列是等差数列的依据2、等差数列通项公式的推导如果一个数列a1,a2,a3,…,an…是等差数列，它的公差是d，那么不完全归纳法：这种导出公式的方法不够严密∵{an}是等差数列，则有a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d……an=an-1+d=a1+(n–1)d∴an=a1+(n–1)d又，当n=1时,等式成立∴n∈N*时，an=a1+(n–1)d法一累加法：

这一推导思想在今后的数列求和问题中也有重要的应用∵{an}是等差数列，则有an–an-1=dan-1–an-2=dan-2–an-3=d……a2–a1=d相加得：an–a1=(n–1)d∴an=a1+(n–1)d又，当n=1时,等式成立∴n∈N*时，an=a1+(n–1)d法二an=a1+(n–1)d(a1为首项,d为公差,

n∈N*)(2)(3)在上述公式中，有an,a1,n,d四个变量，只要知道其中任意三个就可以求出第四个(1)要求等差数列的通项公式，只需求出a1,d两个基本量即可.2、等差数列的通项公式例1(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断–401是不是等差数列–5,–9,–13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：(1)由题意得：a1=8,d=5–8=–3,n=20∴这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11∴a20=11–3×20=-49

(2)由题意得：

a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：

an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1

令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项练习(1)求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；(2)判断100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：(1)根据题意得：

a1=3,d=7-3=11-7=4,∴这个数列的通项公式是：

an=a1+(n-1)d=4n-1∴a4=4×4-1=15,

a10=4×10-1=39.（2）由题意得：

a