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文档简介

第2讲不等式与线性规划(介绍时间:50分钟)一、选择题1.(2014·川四)若a>b>0,c<d<0,则必然有()ababA.c>dB.c<dababC.d>cD.d<c答案D剖析令a=3,b=2,c=-3,d=-2,则ac=-1,bd=-1,因此A,B错误;a=-3,b=-2,d2c3b因此d<c,因此C错误.应选D.2.若x∈(0,1),则以下结论正确的选项是()1A.lgx>x2>2x1B.2x>lgx>x21C.x2>2x>lgx1D.2x>x2>lgx答案

D1剖析

分别画出函数

y=2x,y=x2

,y=lgx的图象,以以下列图,由图象可知,在

x∈(0,1)时,1有2x>x2>lgx,应选D.3.(2013·庆重)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于()57A.2B.21515C.4D.2答案A剖析由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因a>0,因此不等式的解集为(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=52.4.(2014重·庆)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案Dab>0,a>0,剖析由题意得ab≥0,因此b>0.3a+4b>0,又log4(3a+4b)=log2ab,因此log4(3a+4b)=log4ab,因此3a+4b=ab,故4a+3b=1.因此a+b=(a+b)(4+3)=7+3a+4babba3a4b≥7+2·=7+43,ba3a4bD.当且仅当b=a时取等号.应选x+y-5≤05.已知变量x,y满足拘束条件x-2y+1≤0,则z=x+2y-1的最大值为()x-1≥0A.9B.8C.7D.6答案Bx+y-5≤0剖析拘束条件x-2y+1≤0所表示的地域如图,x-1≥0由图可知,当目标函数过

A(1,4)时获取最大值,故

z=x+2y-1的最大值为

1+2×4-

1=8.二、填空题6.已知

f(x)是

R

上的减函数,

A(3,-1),B(0,1)是其图象上两点,则不等式

|f(1+lnx)|<1

的解集是

________.答案

(1,e2)e剖析∵|f(1+lnx)|<1,∴-1<f(1+lnx)<1,f(3)<f(1+lnx)<f(0),又∵f(x)在R上为减函数,0<1+lnx<3,∴-1<lnx<2,2e<x<e.x-y≤0,7.若

x,y满足条件

x+y≥0,

且z=2x+3y的最大值是

5,则实数

a的值为

________.y≤a,答案

1剖析画出满足条件的可行域如图阴影部分所示,则当直线

z=2x+3y过点

A(a,a)时,z=2x+3y获取最大值5,因此5=2a+3a,解得a=1.8.若点A(1,1)在直线2mx+ny-2=0上,其中mn>0,则1+1的最小值为________.mn答案32+2剖析∵点A(1,1)在直线2mx+ny-2=0上,2m+n=2,∵11=(112m+n1+2mn+1)m+m+)2=(2+nn2nm12mn3+2,≥(3+2n·)=22m当且仅当2m=n,即n=2m时取等号,m1+1的最小值为3+2.

2三、解答题9.设会集

A为函数

y=ln(-x2-2x+8)的定义域,会集

B为函数

y=x+

1x+1

的值域,会集

C1为不等式(ax-)(x+4)≤0的解集.求A∩B;若C??RA,求a的取值范围.解(1)由-x2-2x+8>0得-4<x<2,即A=(-4,2).y=x+1=(x+1)+1-1,x+1x+1当x+1>0,即x>-1时y≥2-1=1,此时x=0,吻合要求;当x+1<0,即x<-1时,y≤-2-1=-3,此时x=-2,吻合要求.因此因此

B=(-∞,-3]∪[1,+∞),A∩B=(-4,-3]∪[1,2).1

1(2)(ax-a)(x+4)=0有两根

x=-4或x=a2.1当a>0时,C={x|-4≤x≤a2},不可以能C??RA;1当a<0时,C={x|x≤-4或x≥a2},若C??RA,则1212≥2,∴a≤,a2∴-2≤a<0.故a的取值范围为[-2,0).2210.投资生产A产品时,每生产100吨需要资本200万元,需场所200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100吨需要资本300万元,需场所100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资本1400万元,场所900平方米,问:应作怎样的组合投资,可使盈利最大?解设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,利润为S百万元,2x+3y≤14,2x+y≤9,则拘束条件为目标函数为S=3x+2y.作出可行域如图阴影部分所示,x≥0,y≥0,作直线l0:3x+2y=0,将l0向上平移时,S=3x+2y随之增大,当它经过直线2x+y=9和2x+3y=14135135的交点(,)时,S最大,此时,Smax=3×+2×=424214.75.因此,生产A产品325吨,生产B产品250吨时,利润最大为1475万元.11.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式S=k+5,0<x<6,3x+x-8已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.14,x≥6.求k的值;当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.k+2,0<x<6,解(1)由题意可得L=2x+x-811-x,x≥6.因为当x=2时,L=3,因此3=2×2+k+2,2-8解得k=18.当0<x<6时,L=2x+18+2,因此x-8L=2(x-8)+18+18=-

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