习题2：空间几何体全章综合测试

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章末综合题(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图是物体的实物图，四个选项对应的图形是它的一个俯视图的是(　　)解析：选C.观察实物图，它的俯视图应为C.2．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是(　　)解析：选A.根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．3．下列说法中正确的是(　　)A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：选A.结合棱柱的概念及几何特征知选A.4．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　)A．120°　 B．150°C．180°　 D．240°解析：选C.设圆锥底面半径为r，母线为l，则πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，∴展开图扇形半径为2r，弧长为2πr，∴展开图是半圆，∴扇形的圆心角为180°，故选C.5．如图所示的直观图的平面图形ABCD是(　　)A．任意梯形　 B．直角梯形C．任意四边形　 D．平行四边形解析：选∥y，AD∥x，故AB⊥AD.又BC∥AD且BC≠AD，所以为直角梯形．6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为(　　)A．72π　 B．48πC．30π　 D．24π解析：选C.由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为＝V半球＋V圆锥＝eq \f(1,2)·eq \f(4,3)π·33＋eq \f(1,3)·π·32·4＝30π.故选C.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)A．16π　 B．20πC．24π　 D．32π解析：选C.正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为2eq \r(2)，正四棱柱的对角线为2eq \r(6).而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝2eq \r(6)，R＝eq \r(6)，S球＝4πR2＝24π.8．已知正方体外接球的体积是eq \f(32,3)π，那么正方体的棱长等于(　　)A．2eq \r(2)　 \f(2\r(2),3) \f(4\r(2),3)　 \f(4\r(3),3)解析：选D.由V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π，∴R＝2.设正方体的棱长为a，则3a2＝(2R)2＝16.∴a2＝eq \f(16,3)，∴a＝eq \f(4\r(3),3).9．已知圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是(　　) \f(2\r(3)π,3)　 B．2eq \r(3)π \f(7\r(3)π,6)　 \f(7\r(3)π,3)解析：选D.上底半径r＝1，下底半径R＝2.因为S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π.所以l＝2.所以高h＝ eq \r(l2－R－r2)＝eq \r(3).所以V＝eq \f(1,3)π·eq \r(3)(1×1＋1×2＋2×2)＝eq \f(7\r(3),3)π.10．正三棱柱有一个半径为eq \r(3) cm的内切球，则此棱柱的体积是(　　)A．9eq \r(3) cm3　 B．54 cm3C．27 cm3　 D．18eq \r(3) cm3解析：选B.由题意知棱柱的高为2eq \r(3) cm，底面正三角形的内切圆的半径为eq \r(3) cm，底面正三角形的边长为6 cm，∴正三棱柱的底面面积为9eq \r(3) cm2，故此三棱柱的体积V＝9eq \r(3)×2eq \r(3)＝54(cm3)．二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为______cm2.解析：圆柱的底面半径为r＝eq \f(1,2)×4＝2，故S侧＝2π×2×4＝16π.答案：16π12．如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸(单位：cm)，几何体的表面积是________cm2.解析：这是一个放倒的正三棱柱，其底面边长和高分别为2 cm和3 cm，所以其表面积为eq \f(1,2)×2×2×sin 60°×2＋2×3×3＝(18＋2eq \r(3))cm2.答案：18＋2eq \r(3)13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．解析：根据该几何体的三视图可得其直观图，如图所示，是底面为直角梯形的直四棱柱，且侧棱AA1＝4，底面直角梯形的两底边AB＝2，CD＝5，梯形的高AD＝4，故该几何体的体积V＝4×(eq \f(2＋5,2)×4)＝56.答案：56三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1 cm的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4 cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为________cm.解析：三棱柱ABC－A′B′C′侧面展开是长为4 cm，宽为3 cm的矩形，所以小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，小虫所行的最短路程为矩形的对角线长，应为5 cm.答案：5一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________cm2.解析：球的体积等于底面半径为16 cm，高为9 cm的圆柱的体积，设球的体积为R cm，所以eq \f(4,3)πR3＝π×162×9，解得R＝12，所以S球＝4πR2＝576π(cm2)．答案：576三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，求圆锥的母线长．解：如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.∵eq \f(l－10,l)＝eq \f(r,R)，∴eq \f(l－10,l)＝eq \f(1,4)，∴l＝eq \f(40,3) cm.即圆锥的母线长为eq \f(40,3) cm.17．把球的表面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的多少倍？解：设未扩大前半径为r1，扩大后半径为r2，则S1＝4πreq \o\al(2,1)，S2＝4πreq \o\al(2,2)＝2S1，∴req \o\al(2,2)＝2req \o\al(2,1)，∴r2＝eq \r(2)r1，又∵V1＝eq \f(4,3)πreq \o\al(3,1)，V2＝eq \f(4,3)πreq \o\al(3,2)＝eq \f(4,3)π·(eq \r(2)r1)3＝2eq \r(2)V1，∴体积扩大为原来的2eq \r(2)倍．18．据说伟大的阿基米德死后，敌军将领马塞拉斯给他立了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比．解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，圆锥的底面半径为r，高为h，所以V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h，球的半径为r，所以V球＝eq \f(4,3)πr3.又h＝2r，所以V圆锥∶V球∶V圆柱＝eq \f(1,3)πr2h∶eq \f(4,3)πr3∶πr2h＝eq \f(2,3)πr3∶eq \f(4,3)πr3∶2πr3＝1∶2∶3.19．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图．(1)几何体的体积V＝eq \f(1,3)·S矩形·h＝eq \f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高h1＝eq \r(42＋32)＝5.左、右侧面的底边上的高h2＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).故几何体的侧面积S＝2·(eq \f(1,2)×8×5＋eq \f(1,2)×6×4eq \r(2))＝40＋24eq \r(2).养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．　 (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×π×82×4＝eq \f(256,3)π(m3)；如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×π×62×8＝eq \f(288,3)π(m3)．