全国各地中考数学分类汇编锐角三角函数与特殊角(含解析)

匠心文档，专属精选。锐角三角函数与特别角一.选择题1.（2016·山东潍坊·3分）对于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】根的鉴别式；特别角的三角函数值．【剖析】由方程有两个相等的实数根，联合根的鉴别式可得出sinα=，再由α为锐角，即可得出结论．【解答】解：∵对于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0，解得：sinα=，∵α为锐角，∴α=30°．应选B．（2016·陕西·3分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连结AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A．B．C．D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【剖析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，依据tan∠ACD=即可计算．【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不如设A（﹣3，0），B（1，0），y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，极点C（﹣1，4），如下图，作CD⊥AB于D．匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．3．（2016·四川攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【剖析】连结CD，可得出∠OBD=∠OCD，依据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连结CD，如下图：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．应选：D．匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。【评论】本题考察了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；娴熟掌握圆周角定理是解决问题的重点．4.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连结AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，获得△BPF，延伸FP交BA延伸线于点Q，以下结论正确的个数是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．A．4B．3C．2D．1【考点】四边形综合题．【剖析】第一证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可获得①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，获得△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，依据正弦的定义即可求解；依据AA可证△BGE与△BCF相像，进一步获得相像比，再根据相像三角形的性质即可求解．【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CF=BE，在△ABE和△BCF中，，Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；依据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．应选：B．5．（2016·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的极点称为格点，△ABC的极点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2B．C．D．匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。【剖析】先依据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．应选D．【评论】本题考察的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和必定等于斜边长的平方是解答本题的重点．6.（2016·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．【剖析】依据勾股定理，可得AC、AB的长，依据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，tan∠B==，应选：D．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．二、填空题1.（2016·青海西宁·2分）⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为75°或15°．【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．匠心教育文档系列5匠心文档，专属精选。【剖析】连结OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，依据垂径定理求出AE、FA值，依据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，而后分两种状况求出∠BAC即可．【解答】解：有两种状况：①如图1所示：连结OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如图2所示：连结OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；故答案为：75°或15°．2.（2016·福建龙岩·3分）如图，若点A的坐标为，则sin∠1=．匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【剖析】依据勾股定理，可得OA的长，依据正弦是对边比斜边，可得答案．【解答】解：如图，，由勾股定理，得OA==2．sin∠1==，故答案为：．2.（2016·广西桂林·6分）计算：﹣（﹣4）+|﹣5|+﹣4tan45．°【考点】零指数幂；特别角的三角函数值．【剖析】先去括号、计算绝对值、零指数幂、三角函数值，再计算乘法、减法即可．【解答】解：原式=4+5+1﹣4×1=6．三．解答题1．（2016·四川南充）计算：+（π+1）0﹣sin45°+|﹣2|【剖析】原式利用二次根式性质，零指数幂法例，特别角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可获得结果．【解答】解：原式=×3+1﹣+2﹣=3．【评论】本题考察了实数的运算，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．匠心教育文档系列7匠心文档，专属精选。2．（2016·四川泸州）计算：（﹣1）0﹣×sin60°+（﹣2）2．【考点】实数的运算；零指数幂；特别角的三角函数值．【剖析】直接利用特别角的三角函数值以及联合零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简从而求出答案．【解答】解：（﹣1）0﹣×sin60°+（﹣2）2=1﹣2×+4=1﹣3+4=2．3.（2016·黑龙江龙东·6分）先化简，再求值：（1+）÷，此中x=4﹣tan45．°【考点】分式的化简求值；特别角的三角函数值．【剖析】先算括号里面的，再算除法，求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=?，当x=4﹣tan45°=4﹣1=3时，原式==．4.（2016·湖北黄石·4分）计算：（﹣1）2016+2sin60﹣°|﹣0．|+π【剖析】依据实数的运算次序，第一计算乘方和乘法，而后从左向右挨次计算，求出算式（﹣1）2016+2sin60﹣°|﹣0的值是多少即可．|+π【解答】解：（﹣1）2016|+0+2sin60﹣°|﹣π=1+2×﹣+1=1+﹣+1=2【评论】（1）本题主要考察了实数的运算，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算同样，要从高级到初级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要依据从左到有的次序进行．此外，有理数的运算律在实数范围内仍旧合用．匠心教育文档系列8匠心文档，专属精选。（2）本题还考察了零指数幂的运算，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）本题还考察了特别角的三角函数值，要切记30°、45°、60°角的各样三角函数值．5.（2016·湖北荆门·4分）计算：|1﹣|+3tan30﹣°（）0﹣（﹣）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特别角的三角函数值．【剖析】第一去掉绝对值符号，计算乘方，代入特别角的三角函数值，而后进行加减计算即可；【解答】解：原式=﹣1+3×﹣1﹣（﹣3）=﹣1++3=2；6.（2016·四川眉山）计算：．【剖析】分别利用零指数幂的性质、特别角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=1﹣3×+1﹣2=1﹣+1﹣2=﹣．【评论】本题主要考察了零指数幂的性质、特别角的三角函数值和负整数指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题重点7.（2016·福建龙岩·6分）计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；特别角的三角函数值．【剖析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法例，以及平方根定义计算即可获得结果．【解答】解：原式=2+3﹣﹣﹣3+1=1．8.（2016·广西百色·6分）计算：+2sin60+|3°﹣|﹣（﹣π）0．【考点】实数的运算；零指数幂；特别角的三角函数值．【剖析】本题波及二次根式化简、特别角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，而后依据实数的运算法例求得计算结果．【解答】解：+2sin60°+|3﹣|﹣（﹣π）0=3+2×+3﹣﹣1=3++3﹣﹣1匠心教育文档系列9匠心文档，专属精选。=5．﹣10．9.（2016·贵州安顺·8分）计算：cos60°﹣2+﹣（π﹣3）【剖析】原式第一项利用特别角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法例计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法例计算即可获得结果．【解答】解：原式=