习题2：双曲线的简单几何性质

双曲线几何性质的应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1\f(y2,8)－eq\f(x2,4)＝1解析：由已知可知双曲线的焦点在y轴上，从而可设方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．∵顶点为(0,2)，∴a＝2.又∵实轴长与虚轴长之和等于焦距的eq\r(2)倍，∴2a＋2b＝2eq\r(2)c.又∵a2＋b2＝c2，∴解得b2＝4.∴所求方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1.答案：B2．设P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．7B．6C．5D．3解析：由方程可得渐近线为y＝±eq\f(3,a)x，∴eq\f(3,a)＝eq\f(3,2).∴a＝2.又∵|PF1|＝3小于两顶点间的距离4，∴点P只能在双曲线的左支上．∴由|PF2|－|PF1|＝2a，得|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋4＝7.答案：A3．(2022·湖南高考)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1解析：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝0，整理得3x±ay＝0，故a＝2，选C.答案：C图14．如图1所示，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()A．1B．2\r(3)D．2eq\r(3)解析：如题图，设AB＝2c，由于∠CAB＝∠CBA＝30°，则AE＝BD＝c，BE＝AD＝eq\r(3)c.则椭圆的离心率为eq\f(2,\r(3)＋1)，双曲线的离心率为eq\f(2,\r(3)－1)，故两个离心率的倒数和为eq\r(3).答案：C5．直线y＝k(x＋eq\r(2))与双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1有且只有一个公共点，则k的不同取值有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，顶点(±2,0)，而直线恒过(－eq\r(2)，0)，故有两条与渐近线成平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点，故选D.答案：D6．已知点F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)＋1，＋∞)B．(1，eq\r(3))C．(1,1＋eq\r(2))D．(eq\r(3)，＋∞)图2解析：如图2所示．由于∠F1AB＝∠F1BA，△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角．故只需要∠AF1F2<45°即可即eq\f(|AF2|,|F1F2|)<1，∴eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(c2－a2,2ac)<1即c2－a2<2ac.即e2－2e－1<0，解得1－eq\r(2)<e<1＋eq\r(2)，又因为e>1，故1<e<1＋eq\r(2)答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知圆C过双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．解析：由双曲线的几何性质，易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为±4.故圆心坐标为(4，±eq\f(4\r(7),3))或(－4，±eq\f(4\r(7),3))．易求得它到双曲线中心的距离为eq\f(16,3).答案：eq\f(16,3)8．设双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．图3解析：如图3，双曲线渐近线方程为y＝eq\f(4,3)x，F(5,0)，∴直线过F且斜率为eq\f(4,3)，∴方程是y＝eq\f(4,3)(x－5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－5,\f(x2,9)－\f(y2,16)＝1))得eq\f(x2,9)－eq\f(x－52,9)＝1，即10x＝34，x＝eq\f(17,5)，y＝－eq\f(32,15)，而|AF|＝c－a＝5－3＝2，∴S△AFB＝eq\f(1,2)·|AF|·|y|＝eq\f(1,2)×2×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案：eq\f(32,15)9．双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(eq\r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－eq\f(2,3)，则双曲线的方程为________．解析：由题意知中点坐标为(－eq\f(2,3)，－eq\f(5,3))，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,7－a2)＝1.M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),7－a2)＝1①，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),7－a2)＝1②，①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＝eq\f(y1＋y2y1－y2,7－a2)，即eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq\f(a2,7－a2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)，所以eq\f(－\f(4,3),－\f(10,3))＝eq\f(a2,7－a2)，解得a2＝2，故双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1.答案：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1三、解答题(共40分)10．(10分)双曲线的两条渐近线的方程为y＝±eq\r(2)x，且经过点(3，－2eq\r(3))．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|.解：(1)∵双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，∴可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)又∵双曲线经过点(3，－2eq\r(3))，代入方程可得λ＝6，∴所求双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝eq\r(3)(x－3)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－3,2x2－y2＝6))，得x2－18x＋33＝0，由韦达定理得x1＋x2＝18，x1x2＝33，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(324－132)＝16eq\r(3)，即弦长|AB|＝16eq\r(3).11．(15分)过双曲线M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，求双曲线M的离心率．解：由双曲线M为x2－eq\f(y2,b2)＝1，∴左顶点A的坐标为(－1,0)，两条渐近线为y＝±bx.又∵直线l的斜率为1，∴l的方程为y＝x＋1.从而可求得直线l：y＝x＋1与渐近线y＝bx的交点为C(eq\f(1,b－1)，eq\f(b,b－1))，AC的中点为(eq\f(2－b,2b－1)，eq\f(b,2b－1))，且在渐近线y＝－bx上，则eq\f(b,2b－1)＝－b·eq\f(2－b,2b－1)，得b＝3，c＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(10).∴双曲线的离心率为eq\r(10).12．(15分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得，(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,－\f(2k,k2－2)>0，,\f(2,k2－2)>0.))解得k的取值范围是－2<k<－eq\r(2).(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k,2－k2)，,x1·x2＝\f(2,k2－2).))②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．则由FA⊥FB得(x1－c