双曲线练习题

圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题1.已知方程x2y21的图象是双曲线，那么的取值范围是（）2kk1A.B.C.D.222.双曲线x2y2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点，知足|PF2F1F2|，直线PF1与ab圆x2y2a2相切，则双曲线的离心率为（）A.5B.3C.23D.542333.过双曲线2y1的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（）x2A.1条B.2条C.3条D.4条4.等轴双曲线C:x2y2a2与抛物线y216x的准线交于A,B两点，AB＝43，则双曲线C的实轴长等于（）A.2B.22C.4D.8225x，则双曲线的焦点到直线的距离为5.已知双曲线x-y=1的一条渐近线的方程为y=( )9m3A．2B.C.D.6.若直线过点(3,0)与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条7.方程x2y2＝1(kR)表示双曲线的充要条件是（）k2k3A.k2或k3B.k3C.k2D.3k2二、填空题8.过原点的直线，假如它与双曲线y2x2.31订交，则直线的斜率的取值范围是49.设为双曲线x2-y2=1上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是．410.过双曲线x2y2a2-b2=1(a,b>0)的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线订交于两点，认为直径的圆恰巧过双曲线的右极点，则双曲线的离心率等于.11.已知双曲线x2y21(a0,b0)的渐近线与圆x2y24x20有交点，则该双曲线的离心率的取值a2b2范围是．三、解答题（此题共3小题，共41分）求合适以下条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为5；4（2）极点间的距离为6，渐近线方程为y=?3x213.已知双曲线x2y2a2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．（1）若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A3，作圆的切线，斜率为求双曲线的离心率．14.已知双曲线x2-y2=1（a>0,b>0)的离心率e=23，原点O到过点A(a,0),B(0,-b)的直线的距离是3.a2b232（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5(k?0)交双曲线于不一样的两点，且都在认为圆心的圆上，求的值一、选择题1.C分析：由方程的图象是双曲线知，,即2.D分析：设PF1与圆相切于点M，由于PF2F1F2，所以△PF1F2为等腰三角形，所以1F1MPF1.4又由于在直角△F1MO中，22222111aca，所以11.①4又PF1PF22a2c2a，②c2a2b2,③由①②③解得c5．3C分析：由题意知，.当只与双曲线右支订交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线切合条件；当与双曲线的两支都订交时，的最小值是实轴两极点间的距离，长度为，无最大值，联合双曲线的对称性，可得此时有2条直线切合条件.综上可得，有3条直线切合条件.4.C分析：设等轴双曲线C的方程为x2y2．①∵抛物线y216x，2p16，p8，∴p4．∴抛物线的准线方程为x4．2设等轴双曲线与抛物线的准线x4的两个交点为A(4,y),B(4,y)(y0)，则AB|y(y)|2y43，∴y23．将x4，y23代入①，得(4)2(23)2，∴4.∴等轴双曲线C的方程为

x2y24，即x2y2＝1.∴双曲线C的实轴长为4．445.C分析：双曲线

x2y29m53

1的一条渐近线方程为ymx5x，即.不如设双曲线的右焦点为,则焦点到3314直线l的距离为d

.25136.C分析：将双曲线化为标准方程为x2y21则点(3,0)为双曲线的右极点.过点(3,0)与x轴垂直的直线94知足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也知足题意，所以这样的直线共有3条.7.A分析：方程x2y2R)表示双曲线，当且仅当(k2)(k3)>0，∴k2或k3.反之，k2k＝1(k3x2y2当k2或k3时，双曲线方程中分母同号，方程R)表示双曲线.k2k＝1(k3二、填空题8.3U3y2x23∞,∞分析：双曲线1的渐近线方程为yx.若直线l与双曲线订交，32224则k3或k3.229.分析：设,，则x=x0,y=y0，即，.22将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为4x2-4y2=1，即.410.2分析：设双曲线的左焦点为右极点为又由于MN为圆的直径且点A在圆上，所以F为圆的圆心，且所以222c，得e2bca，即caca.由eeaaa11.(1,2]分析：由圆x2y24x20化为(x2)2y22，获得圆心(2，0)，半径r2．∵双曲线x2y21(a0,b0)的渐近线y＝bx与圆x2y24x20有交点，a2b2a2bb2≤a2．∴1＜e＝c＝1b2∴2，∴≤2．∴该双曲线的离心率的取值范围是(1,2]．a2≤b2aa2三、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为x2y22-2()．=1a>0,b>0ab2b12,由题意，得c5,解得a8,a4b6.a2b2c2,所以双曲线的标准方程为x2-y2=1．6436x2y2（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为22=1(a0,b0)ab2a，a3,6由题意，得b3解得b9a2，,2所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为x2-y2=1．9814同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为y2-x2=1．94方法二：设以y=?3x2-y2λλ(?0).x为渐近线的双曲线的方程为4=29当λ4λ=6，解得λ9x2-y2＞时，2．此时，所求的双曲线的标准方程为9=1．4814当λ＜时，2-9λ=6，解得λ．此时，所求的双曲线的标准方程为y2-x2=1．9413.解：（1）∵双曲线x2y2yba2b2＝1的渐近线方程为ax，∴若双曲线的一条渐近线方程为yx，可得b1，解得ab.a∵ca2b22，∴ab2.由此可得双曲线的方程为x2y2＝1.22（2）设点A的坐标为(m,n)，可得直线AO的斜率知足kn1，即m3n.①m3∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2y2c2，∴将①代入圆方程，得3n2n2c2，解得n1c，m3c.2223c21c13将点Ac,c代入双曲线方程，得22＝1.22a2b2化简，得3c2b21c2a2a2b2.44∵c2a2b2，∴将b2c2a2代入上式，化简、整理，得3c42c2a2a40.24两边都除以a4，整理，得3e48e240，解得e2或e22.3∵双曲线的离心率e1，∴该双曲线的离心率e2(负值舍去）.14.解：（1）由于c23，原点O到直线：的距离d=ab=ab=3，a3a2+b2c2所以b=1,a=3.故所求双曲线的方程为x2-y2=1.3（2）把y=kx+5代入x2-