习题 实际问题中导数的意义 课时作业 Word版含解析

实际问题中导数的意义课时作业一、选择题1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为()A.5分米 B.6分米C.7分米 D.8分米解析：设底面边长为x分米，则高为h＝eq\f(256,x2)，其表面积S＝x2＋4·eq\f(256,x2)·x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，则x＝8.当0<x<8时S′<0，当x>8时S′>0，故x＝8时S最小．答案：D2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30，或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：D3．横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.eq\r(3)d，eq\f(\r(3),3)d B.eq\f(\r(3),3)d，eq\f(\r(6),3)dC.eq\f(\r(6),3)d，eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(6),3)d，eq\r(3)d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，求导数，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(\r(3),3)d或x＝－eq\f(\r(3),3)d(舍去)．当0<x<eq\f(\r(3),3)d时，f′(x)>0；当eq\f(\r(3),3)d<x<d时，f′(x)<0，因此，当x＝eq\f(\r(3),3)d时，f(x)取得极大值，也是最大值．综上，当矩形横断面的高为eq\f(\r(6),3)d，宽为eq\f(\r(3),3)d时，横梁的强度最大．答案：C4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()\r(3,V) \r(3,2V)\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：如右图，设底面边长为x(x>0)则底面面积S＝eq\f(\r(3),4)x2，∴h＝eq\f(V,S)＝eq\f(4V,\r(3)x2).S表＝x·eq\f(4V,\r(3)x2)×3＋eq\f(\r(3),4)x2×2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2.S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′表＝0，x＝eq\r(3,4V).∵S表只有一个极值，故x＝eq\r(3,4V)为最小值点．答案：C二、填空题5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝eq\f(k1,x)，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．于是由2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f(4,5).因此两项费用之和为y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：56．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知502×100＝k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝eq\f(500,\r(x)).总利润y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：257．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x千册(0<x<150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即eq\f(x,2)，故有y＝eq\f(150,x)×30＋eq\f(x,2)×40，y′＝－eq\f(4500,x2)＋20＝eq\f(20x＋15x－15,x2).∴当0<x<15时y′<0，当15<x<150时y′>0.故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为eq\f(150,15)＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．答案：1015000三、解答题8．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100km/解：设火车的速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.由题意，令40＝k·203，∴k＝eq\f(1,200)，则总费用f(x)＝(kx3＋400)·eq\f(a,x)＝a(kx2＋eq\f(400,x))．∴f(x)＝a(eq\f(1,200)x2＋eq\f(400,x))(0<x≤100)．由f′(x)＝eq\f(ax3－40000,100x2)＝0，得x＝20eq\r(3,5).当0<x<20eq\r(3,5)时，f′(x)<0；当20eq\r(3,5)<x<100时，f′(x)>0.∴当x＝20eq\r(3,5)时，f(x)取最小值，即速度为20eq\r(3,5)9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400