习题 集合的含义与表示 课后强化作业

集合的含义与表示课后强化作业基础巩固一、选择题1．下列对象能构成集合的是()A．陕西某中学所有有爱心的女生B．青岛某中学部分特长生C．中国的歌唱家D．大于π的自然数[答案]D[解析]A中“有爱心”的标准不明确，B中“部分”不明确，C中“歌唱家”的标准不明确，D中π≈，所以大于π的自然数为4,5,6，….2．已知集合A＝{x∈R|2x－1>x＋3}，则下列各式正确的是()A．4∈A B．4∉AC．6∉A D．2∈A[答案]B[解析]由于A＝{x∈R|2x－1>x＋3}＝{x∈R|x>4}，即集合A是由大于4的实数构成的集合，因此4∉A.3．由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是()A．0 B．－1C．1 D．－1或1[答案]B[解析]验证法：若x＝0时，x2＝0，不合题意；若x＝1时，x2＝1，不合题意；若x＝－1时，x2＝1，符合题意，故选B.4．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．等腰三角形C．钝角三角形 D．直角三角形[答案]B[解析]根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B.5．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1}＝0中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4[答案]A[解析]本题考查分类讨论思想及一元二次方程问题．若a＝0，则有1＝0显然不成立；若a≠0，则有a2－4a＝0即a＝0或a＝4，所以a6．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为()A．9 B．8C．7 D．6[答案]B[解析]列举法：P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，共8个元素．二、填空题7．集合{x∈Z|(x－1)2(x＋1)＝0}用列举法可以表示为________．[答案]{－1,1}[解析]∵方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三个：－1,1,1，而作为解集，集合中元素只能是－1,1.8．(1)集合{x∈N|－1<x<4}用列举法可表示为________．(2)集合M＝{a|eq\f(6,5－a)∈N，且a∈Z}，用列举法可表示为M＝________.[答案](1){0,1,2,3}(2){4,3,2，－1}[解析](1)因为x∈N，且－1<x<4，所以x＝0,1,2,3，故所求集合为{0,1,2,3}．(2)因为eq\f(6,5－a)∈N，且a∈Z，所以5－a是6的正因数，故5－a＝1,2,3,6，即a＝4,3,2，－1.三、解答题9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.[解析]当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，解得x＝2.此时集合A＝{2}．当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.能力拓展一、选择题1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1 B．－2C．6 D．2[答案]C[解析]解法一：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C.解法二：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，∴a≠±2.又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，∴a≠1且a≠－2，故选C.2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9[答案]C[解析]∵x∈A，y∈A，当x＝0时，由y＝0,1,2得，x－y＝0，－1，－2；当x＝1时，由y＝0,1,2得，x－y＝1,0，－1；当x＝2时，由y＝0,1,2得，x－y＝2,1,0.由集合中元素的互异性可知，B＝{－2，－1,0,1,2}中共5个元素．二、填空题3．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．[答案]2[解析]∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，∴25＋5a∴a＝－4，∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，∴x＝2，∴该集合中所有元素之和为2.4．能被5整除的正整数集合用描述法表示为________．[答案]{x|x＝5n，n∈N＋}[解析]能被5整除的正整数是5的倍数．因而写成：x＝5n，其中n∈N＋.三、解答题5．用另一种方法表示下列集合．(1){－3，－1,1,3,5}；(2){x||x|≤3，x∈Z}；(3){1,22,32,42，…}；(4)已知M＝{2,3}，P＝{(x，y)|x∈M，y∈M}，写出集合P；(5)集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，写出集合B.[解析](1){x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3}．(3){x|x＝n2，n∈N＋}．(4)P＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}．(5)A＝{－2，－1,0,1,2}，所以B＝{3,0，－1}．6．若集合A中有且仅有三个数1、0、a，若a2∈A，求a的值．[解析]若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，∴a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，∵由元素的互异性知a≠1，∴a＝－1时适合．若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a＝－1.7．下列三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们的各自含义是什么？[解析](1)它们是不相同的集合．(2)集合①是函数y