线性变换的几何意义

本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景学院专业学号学生姓名指导教师姓名指导教师职称指导教师单位年月日学位论文写作声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。论文作者签名：日期：年月日论文作者签名：导师签名：日期：年月日线性变换的几何背景摘要线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。关键词：线性变换；几何现象；矩阵ThegeometrybackgroundoflineartransformationAbstract：Lineartransformationcouldbevisualizedthroughthegeometricphenomena,geometricphenomenoncouldberefinedthroughthelineartransformation.Thearticleanalyzesthelineartransformation,reflectsbygeometricphenomenon,studiestherelationshipofmatrixandlineartransformationonthebasisofgeometricmeaning,researchesthegeometricmeaningsoflineartransformation,reflectstheexpressionofnonnegativematrixoflineartransformation,discussesthesolutionstothequestionsonthebasisofconnectionbetweenlineartransformationandgeometry,andconsidersthelineartransformationofprojectivegeometry.Inconclusion,thethesisfindsoutthatthelineartransformationisathletic,linear,andmanygeometryphenomenaarelineartransformation.Thematrixcouldbeusedtoanalyzethegeometrymeaningoflinearmeaning,butthematrixisoneofthetoolstostudythegeometrymeaningoflineartransformation.Manyofthelineartransformationrelatedproblemsareinvolvedinthegeometricphenomena,andthecombinationoflineartransformationandgeometryisbeneficialtothesolutionstosomeproblems,butdifferentgeometryresearchobjectshavevariousaspects.Keywords:lineartransformation;geometryphenomenon;matrix目录一、基本定义和结论1二、几何现象中线性变换的影子22.1旋转变换的几何形象22.2反射变换的几何形象32.3投影变换的几何现象42.4伸压变换的几何形象52.5其他线性变换的几何形象5三、线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关系6四、与线性变换有关的分支问题的几何意义94.1、几何解释线性变换是否存在交换律94.2、几何解释线性变换是否消去律94.3几何解释线性变换的逆104.4同一线性变换下的矩阵相似的几何直观例子104.5线性变换对角化的几何意义114.6正交变换的几何意义114.7线性变换中特征值及特征向量的几何意义11五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换11六、具体问题中线性变换与几何的息息相关12七、射影几何中的线性变换137.1仿射几何中的平移变换137.2仿射变换的优点147.3射影几何中线性变换分解反应出的几何意义14总结16参考文献17致谢18一、基本定义和结论我们在讨论这个问题时，首先给出几个熟悉的定义与结论。定义1：设为数域上的线性空间，为映射，且满足以下两个条件：i）、；ii）、。则称为（由到的）线性映射，而此时如果是线性空间到自身的线性映射，则称它为线性变换。而定义中的i）和ii）二条件也可用下述一条代替：定义2：设是数域上线性空间的一组基，是数域上线性空间的一组基,设为由到的线性映射，上基向量的像可由上的基线性表出：于是其中令则称为在基和下的矩阵，而此时如果是线性空间到自身的线性映射，则称为在基下的矩阵。定义3：设和是数域上的两个线性空间，若满足：i）、是到的一个双射；ii）、；iii）、。则称是到的同构映射。此时称与是同构的。结论1：线性空间到上全体线性映射，对于下面定义的加法和数量乘法，也构成数域上的一个线性空间，我们记它为。(其中为由到的两个线性映射)。i）、；ii）、。而此时如果是线性空间到自身的线性映射，我们则称线空间上的全体线性变换，对于上面定义的加法和数量乘法，也构成数域上的一个线性空间，我们记它为。结论2：数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。线性空间的元与其坐标向量之间的对应是同构的，数域上的维向量空间与维向量空间是同构的。结论3：正交变换是保持点之间距离不变的线性变换。且它在任一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵。二、几何现象中线性变换的影子让我们先在欧式几何中看看，一些几何现象是否具有线性变换的影子？例如一缕阳光照射在物体在地面留下的影子的现象，某一物体发生旋转的现象，用手把一本书沿着一条对称轴翻过去的现象，用手压缩或拉伸某一固定物体的现象。2.1旋转变换的几何形象我们先看旋转，在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑把平面中每一个向量旋转的变换，其中。对于上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象（见图一和图二、图三）。（图一）（图二）（图三）从图中我们可以直观看出两点：i)、和分别逆时针旋转之后的向量之和等于对作用得到的向量。ii）、将的倍逆时针旋转之后的向量等于对作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量旋转的变换是线性变换。2.2反射变换的几何形象我们再看反射，物体或图形在某种变换条件下，其相同部分间有规律重复的现象，即在一定变换下的不变现象叫做反射。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑关于的轴反射的变换，其中。对于上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象（见图四和图五、图六）。（图四）（图五）（图六）从图中我们可以直观看出两点：i)、和分别作关于轴反射得到的向量之和等于对作用得到的向量。ii）、将的倍作关于轴反射得到的向量等于对作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量关于的轴反射变换是线性变换。2.3投影变换的几何现象我们紧接着看投影，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）或者直线上得到的影子叫做物体的投影。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑投影到的轴变换，其中。对于上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象（见图七和图八、图九）。（图七）（图八）（图九）从图中我们可以直观看出两点：i)、和分别投影于轴的向量之和等于对作用得到的向量。ii）、将的倍投影于轴得到的向量等于对作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量关于的轴的投影是线性变换。通过上面的例子，我们可以看出一些几何现象确实具有线性变换的影子，这些几何现象可以用线性变换来表示。当中我们也可发现：线性变换具有线性和运动的观念。所谓线性，我们可以称它是自始自终保持某种组合不变的对应关系，所谓运动，是它可以看成从一个空间射到此空间的函数。这时，我们可以再来回头看看前面提出的问题，一缕阳光照射在物体在地面留下的影子的现象，某一物体发生旋转的现象，用手把一本书沿着一条对称轴翻过去的现象都是线性变换，因为我们知道图形是由无数个向量组成的，故几何体的旋转、反射、投影来说都是线性变换，我们用伸压变换来验证。2.4伸压变换的几何形象我们考虑用手去水平压缩一块正方形的物体，我们考虑建立平面直角坐标系，假设正方形所处的区域为，手用力的方向为轴的负半轴，且使它在接触线上受力均匀，它使物体被压缩了倍。我们可以用下面的图（见图十和图十一）来表示这个形变过程。（图十）（图十一）而我们再考虑它是不是线性变换时，由于它是无数多向量组成，我们只需考虑变换，其中是不是线性变换，就可以判断上述的压缩物体的变换是不是线性变换。我们很容易验证此变换满足线性变换的加法和数量乘法，故是线性变换，则此压缩物体的变换也为线性变换。2.5其他线性变换的几何形象此外，我们还可以通过检验发现更多的线性变换，他们各具几何特点，下面列表如下（见表一）。表1常见的线性变换类型变换名称变换矩阵几何特征恒等变换图形变成图形伸压变换1、沿轴方向：2、沿轴方向图形变成图形，大小和形状可能变化反射变换1、关于轴反射2、关于轴反射3、关于反射4、关于原点反射图形变成图形，大小和形状不变，位置可能改变旋转变换图形变成图形，大小和形状不变，位置可能改变投影变换1、投影到轴2、投影到轴图形变成线或点切变变换1、沿轴方向：2、沿轴方向图形变成图形，大小和形状可能变化三、线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关系从上面的例子，我们可以看出，这些几何现象都有线性变换的影子，而在这些线性变换中，我们可以看出每一种几何现象都对应一种矩阵。此时，我们不禁会问：矩阵的几何意义与线性变换的几何意义有什么关系？能不能用线性变换的观点看矩阵，或者说用矩阵的观点看线性变换？那么我们就该研究在固定一组基下，线性变换与矩阵是否具有一一对应的关系？这个答案是肯定的。但是当中又蕴含着怎样的思想呢？其实，我们在定义2中已经给出了线性映射的矩阵的定义，但是这个线性映射是否是唯一的，如果这个线性映射是唯一的，我们又能说明什么？而通过定义2，我们又可以从中得到什么更一般的结论呢，得出的结论对于几何背景的研究又有什么用呢？我们可以得到答案：这里面蕴含着线性变换当中同构的思想，而同构是理解矩阵与线性变换关系的桥梁。我们可以通过用同构的思想更好地解释定义2，并且在解释这个定义后对一个命题进行证明，从而得到更一般的结论。在定义2中，我们知道，由于上基向量的像可由上的基线性表出，则可写成：此时参考上面的结论2，由于，与矩阵的第列的坐标向量的对应关系是同构的。此时我们只要得出线性变换是由基像唯一确定，就表明确定在基和下的矩阵，就确定了。而一个线性映射完全是被它在一组基上的作用决定的，我们假设有另一个线性映射，使得：则必有。这是因为对于空间中的任意向量，我们有：则有：而反之，当确定时，则必有基像唯一确定，故在固定两组基下，线性映射与矩阵具有一一对应的关系。而下面我们通过定义2的铺垫，落实到线性空间上，对一个命题进行证明，给出了更一般的结论。命题：设和是数域上的线性空间，，，则同构于上的矩阵的全体构成的线性空间。证明：取定和的基和，考察映射其中是的矩阵。，于是在中的坐标为。1、证明是单射，设，若它们的矩阵分别为，则。否则中任一向量在下的像坐标相同；2、证明是满射，任给，定义从到的映射，满足。再对任一令，易见线性，即线性映射的矩阵就是。3、证明是线性映射，设，它们的矩阵分别为，于是在和下的矩阵为；故可得到：。于是在和下的矩阵为；故可得到：同理可证。命题得证。因此，抽象的线性映射就可以通过同构的思想用具体的矩阵的观点来研究，矩阵当中成立的性质对于线性映射也同样成立；同样，矩阵也可以用线性映射的观点来研究，在线性映射中成立的性质在矩阵当中也成立。故线性映射的几何意义其实可以说就是矩阵的几何意义。这个命题意义重大，它可以提供很多判断不是线性变换的例子。例如照相机照相，它把维向量射为维向量。而我们肯定不能找出一个线性变换，使它对应一个的矩阵，故照相机照相不是线性变换。四、与线性变换有关的分支问题的几何意义我们再来看与线性变换有关的问题中的几何意义。我们不通过矩阵的语言，而通过几何形象来解释线性变换中的一些性质和相关问题。4.1、几何解释线性变换是否存在交换律首先我们讨论线性变换是否具有交换律。即对于两个线性变换、，是否有。我们考虑一种情况：为关于轴的反射变换，为关于的反射变换。我们假设平面第一象限有一个正方形，则对其作用的过程如下图（见图十二、图十三、图十四）。（图十二）（图十三）（图十四）而对其作用的过程如下图（见图十五、图十六、图十七）。（图十五）（图十六）（图十七）故从上面直观的几何形象，最终变换的结果不同，我们可以得到线性变换不具有交换律。4.2、几何解释线性变换是否消去律其次我们讨论线性变换是否具有消去律。即对于三个线性变换、、，当，是否存在。我们考虑一种情况：为关于轴的反射变换，为关于原点的反射变换，是关于轴的反射变换。我们假设平面第一象限有一个正方形，则对其作用的过程如下图（见图十八、图十九、图二十）。（图十八）（图十九）（图二十）而对其作用的过程如下图（见图二十一、图二十二、图二十三）。（图二十一）（图二十二）（图二十三）从上我们可以得到，故线性变换不存在消去律。4.3几何解释线性变换的逆我们知道，当线性变换时(其中为恒等变换)时，就称是可逆的线性变换。对于压缩变换，伸长变换，此时，则、互为对方的逆矩阵。我们此时用可以从中得到什么线性变换分支问题的几何形象呢？我们可以下结论：对于一个物体，处于某种状态，给它一个线性变换，若它能经过一系列线性变换之后回到这种状态，则一定是可逆的。而此时我们就可以得出例如阳光的正投影就不是可逆的，因为点不能通过线性变换再次变成阳光。4.4同一线性变换下的矩阵相似的几何直观例子接下来我们再来探讨一个有趣的例子。例如我们在照相时拍一个物体，比如一栋建筑，从正面照相就是正面的几何形象、从侧面照相是侧面的几何形象，各个不同的角度都呈现建筑的不同几何形象。但是，虽然照出来的几何形象不同，但是我们能说这就是一个不同的建筑了吗？所有这样照出来的照片都是这同一栋建筑的描述，但是又都不是这栋建筑本身。此时，我们就可以考虑一个问题：给两张这栋建筑的照片，怎么判断它就是同一栋建筑？这种生活中的几何形象能解释线性变换中什么的相关问题呢？其实这里面的几何背景当中隐含的是同一线性变换下的矩阵是相似的思想，因为只有这样，才能得出建筑是只有一个，但是各个角度照都不一样的现实。4.5线性变换对角化的几何意义我们再对线性变换的对角化问题进行思考。我们此时或许会提出为什么要提出线性变换对角化呢？我们很明显就是为了研究问题简便。但是其中又蕴含怎样的思想呢？我们可以得出：线性变换的对角化实质是寻找一个恰当的坐标系，使得这个变换对这个新的坐标系的单位向量只做伸压变换，不做旋转变换。我们做具体分析，假设对于线性空间中的线性变换，它在一组基下的矩阵为,且中的向量在这组基的下的坐标为，则。但若为对角矩阵，我们就可以先把向量在基向量方向上分解成若干个分量：。故，则可以得到此线性变换对这些分量做了伸压变换。4.6正交变换的几何意义我们在探讨线性变换的几何意义时，我们可以发觉引入带有度量的线性空间具有很重要的意义，带有度量的线性空间里的线性变换带有更深的几何意义。而在这样的线性空间里，正交变换是其重要的变换之一，它保持距离不变。而我们根据结论3和表一中各变换的矩阵，我们可以得出伸压变换、投影变换不是正交变换，而通过查阅正交变换的定义，我们也可以得到旋转变换和反射变换是正交变换。4.7线性变换中特征值及特征向量的几何意义若存在一个非零向量和属于数域的非零数，使得数域上线性空间上的线性变换，满足，则称为线性变换的特征值，而为线性变换属于特征值的特征向量。但是它们有什么几何意义呢？其实这里的几何意义也非常直观，特征向量就是经过线性变换后扔保持与其平行的向量，而特征值就是经过线性变换后向量的伸压系数。五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换尽管我们已经得到全体线性变换组成的空间与对应的矩阵空间同构。但有时把线性变换用矩阵表示不一定是最好的，有时用非矩阵表示的线性变换同样具有几何意义。例如内积的表示等等。从这里，我们可以看出矩阵只是研究线性变换几何意义的工具之一。在三维几何空间中，我们定义这样的变换，它体现出了内射影的几何形象。即对于空间的某一向量，有(如图二十四)。（图二十四）我们可以验证此变换满足加法和数量乘法，故它是线性变换，则我们得出用内积也是研究线性变换的工具之一。六、具体问题中线性变换与几何的息息相关当我们把线性变换和几何联系在一起考虑一个具体的问题时，我们或许会发现解决这个问题的途径。而我们通过线性变换的转换，我们也可能解决一些几何问题。所以我们此时可以形象的形容线性变换是一个“几何朋友”，它们互相离不开谁，密不可分，息息相关。其中不乏例子，例如由于在同一基下一个线性变换对应这一个矩阵，故矩阵的秩就是对应的线性变换的秩，而矩阵的秩关系到直线、平面的位置关系，故线性变换的知识就和几何联系起来了。我们举一个例子，来阐述线性变换与几何的息息相关。例子：设曲面为球面。试计算第一型曲面积分。分析：我们考虑用选取适当的线性变换来简化这个问题，此时，我们选择具有几何形象的旋转变换，它是正交变换，它会使得原来的空间直角坐标系变成新的直角坐标系。从而，线性变换与几何就联系起来了。我们考虑这样的线性变换：在此变换下，空间的点不变，而只是空间中的点的坐标变了，则此时的方程变为:。故所求的积分变为。再利用球面的参数坐标，有：则曲面面积元素。即得。这样，我们就通过建立线性变换与几何的联系之后顺利地解决了问题。七、射影几何中的线性变换我们在前面研究线性变换的几何意义时，立足在欧式几何当中，现在我们考虑在射影几何里面的线性变换与欧式几何里面的线性变换是否存在区别？射影几何中的线性变换有什么用，能不能比欧式几何更容易解决问题？并且我们在射影几何中还讨论线性变换的分解问题中相关例子的几何意义。7.1仿射几何中的平移变换我们都知道平移变换在欧式几何中不是线性变换，而在射影几何当中，它是不是线性变换呢？要研究这个问题，我们首先要研究仿射几何为什么是线性变换？我们参考《高等几何》第十一页上关于仿射变换的定义。定义4：平面上点之间的一个线性变换叫做仿射变换。而如果当我们从定义1出发，我们会直觉地认为这个定义4不是一个线性变换，但是我们知道科学研究几何的顺序是先定义射影几何，再定义仿射几何，最后定义欧式几何。因此，定义4的仿射变换只是一种简写形式。我们首先必须清楚如下的定义5。定义5：平面的点到平面的点的射影变换为，其中且。而我们此时当上述定义5使得直线上的点通过变换仍为该直线上的点时，则此变换为仿射变换，此时我们可以得到，故仿射变换的实质是可以写成（1），其中且。故仿射变换是线性变换。而上式（1）通过改写，可以改为的形式，故简写形式不改其本质。现在我们就可以判断平移在仿射几何中是线性变换了，因为根据平移的定义，故明显可以得出其是线性变换。7.2仿射变换的优点我们或许要问：仿射变换什么用？其实这些变换都是保向量平行的，若两条直线平行，经过同一仿射变换后仍是平行的。而且，在解决问题中，仿射变换联立仿射几何相关知识优势明显。例如我们要求出椭圆的面积。我们只要把椭圆方程做一个仿射变换，就可以得到圆，如图二十五所示。再加上仿射几何中封闭图形面积是仿射不变量。则：，得椭圆面积为。（图二十五）7.3射影几何中线性变换分解反应出的几何意义在现实生活中，我们或许会感到某些运动是另一些运动的乘积。但是怎样通过数学的语言来描述它呢？这就涉及一个运动分解的问题。我们在这里用仿射几何里面的线性变换来解释这类问题。我们举出一个例子。我们都有这样一种直观的感觉，一个图形在运动之后保持形状不变（但是大小和位置可能发生改变），它的这种运动会不会是某些运动的乘积呢？因此，这种几何运动形象可以通过线性变换来判断它是否成立。我们知道正交变换保长度，位似变换报角度，相似变换保图形形状不变。我们此时就可以猜想：是不是相似变换总可以分解成一个正交变换和一个位似变换的乘积呢？我们在仿射几何里研究这个问题，我们首先根据课本给出位似变换的定义6。定义6：满足，且的变换是相似变换。故此时我们让，，，，故此时有：我们令，则且故