2022届全国高考甲卷数学理科试卷及答案

第=page1515页，共=sectionpages1616页第=page1616页，共=sectionpages1616页2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）若z=−1+3i，则zzA.−1+3i B.−1−3i C.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则(

)A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B=x∣x2−4x+3=0，则A.{1,3} B.{0,3} C.{−2,1} D.{−2,0}如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(

)A.8 B.12 C.16 D.20函数y=3x−3−xcosxA. B.

C. D.当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f′(2)=(A.−1 B.−12 C.12在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知B1D与平面A.AB=2AD

B.AB与平面AB1C1D所成的角为30​∘

C.AC=C沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB⌢上，“会圆术”给出AB⌢的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA.当时，A.11−332

B.11−432

C.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若S甲A.5 B.22 C.10 D.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线A.32 B.22 C.12设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是A.53,136 B.53,已知a=3132,b=cos14A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a若双曲线y2−x2m2=1(m>0)的渐近线与圆从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

．已知▵ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）记Sn为数列an的前n项和．已知(1)证明：an是等差数列；

(2)若a4,在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．已知函数fx(1)若fx≥0，求(2)证明：若fx有两个零点x1,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t(t为参数)，曲线(1)写出C1(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C3与已知a，b，c均为正数，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a+11.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的运算，属基础题．【解答】解：z=−1−zzz

2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查统计图和平均数、中位数、标准差和极差的应用，考查读图能力、分析能力，属于基础题．

根据图中数据，逐一判断每个选项即可．【解答】解：讲座前中位数为70％+75％2>70％，所以A讲座后问卷答题的正确率只有一个是80％,4个85％，剩下全部大于等于90％，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100％−80％=20％，讲座前问卷答题的正确率的极差为95％−60％=35％>20％，所以错.

3.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的基本运算，属于基础题．【解答】解：由题意，B=xx2−4x+3=0=1,3，所以A∪B=

4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题．【解答】解：由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V=2+4

5.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数图象的辨别，是基础题．【解答】解：令fx=3则f−x所以fx为奇函数，排除BD又当x∈0,π2时，3x−

6.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的最值问题，属于中档题．【解答】解：因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f′1=0，而f′x=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f′x=−2x+2x2，因此函数

7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查线面角的求解，属中档题．

作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可．【解答】解：如图所示：不妨设AB=a,AD=b,AA1=c，依题意及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，对于B，过B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1对于C，AC=a2+b2=3对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C

8.【答案】B【解析】【分析】本题考查根据题中所给公式求弧长的近似值，属于基础题．

先求出CD，AB的长度，再代入公式即可．【解答】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以，又，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又，所以AB=OA=OB=2，则OC=3，故CD=2−所以s=AB+C

9.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可．【解答】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2则S甲S乙又2πr1l+2π所以甲圆锥的高ℎ1乙圆锥的高ℎ2所以V甲

10.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率，属于中档题．【解答】解：A−a,0，设Px1,y1则kAP故kAP又x12a所以b2a2所以椭圆C的离心率e=c

11.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象性质，函数的零点与最值问题．【解答】解：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+π3要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，

又y=sinx，则5π2<ωπ+π3≤3π

12.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数比大小，属于拔高题．【解答】解：因为cb=4tan14所以tan14>14设f(x)=cosf′(x)=−sinx+x>0，所以f(x)在则f14>f(0)所以b>a，所以c>b>a，

13.【答案】11【解析】【分析】本题考查向量数量积运算，属基础题．【解答】解：设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cosθ=1又a=1，b=3，所以所以2a

14.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查双曲线的渐近线，直线与圆的位置关系，属于基础题．

根据题意，表示出双曲线的渐近线即圆的切线，再依据圆心到直线的距离等于半径，求解参数．【解答】解：双曲线y2−x2m2=1(m>0)的渐近线为y=±不妨取x+my=0，圆x2+y2−4y+3=0，

即x依题意圆心0,2到渐近线x+my=0的距离d=|2m|解得m=33或m=−3

15.【答案】6【解析】【分析】本题以正方体为载体考查古典概型，属于基础题．【解答】解：从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12个，故所求概率

16.【答案】3−1(或【解析】【分析】本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题．【解答】解：设CD=2BD=2m>0，则在▵ABD中，AB在▵ACD中，AC所以A≥4−12当且仅当m+1=3m+1即所以当ACAB取最小值时，m=

17.【答案】解：(1)因为2Snn当n≥2时，2S①−②得，2S即2a即2n−1an−2n−1an−1所以an是以1(2)由(1)可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n−13，所以所以，当n=12或n=13时Sn【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前n项和最值问题．

18.【答案】证明(1)∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥BD，

取AB中点E，连接DE，可知DE=12AB=1，

∴CD/​/AB，CD=BE,CD//BE∴四边形BCDE为平行四边形，

∴DE=CB=1，

∵DE=12AB，

∴△ABD为直角三角形，AB为斜边，

∴BD⊥AD，

∵PD∩AD=D

∴BD⊥平面解：(2)由(1)知，PD，AD，BD两两垂直，BD=AB2−AD2=3

建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，

∴PD=(0,0,−3)，PA=(1,0,−3)，AB=(−1,3,0)，设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则

x−3【解析】

本题考查线线垂直的判断，用向量法求线面角正弦，属于拔高题．

19.【答案】

解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为P=P=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，PX=0PX=10PX=20PX=30即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望EX【解析】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机事件的分布列与均值，属中档题．

20.【答案】解：

(1)抛物线的准线为x=−p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为此时|MF|=p+p2=3所以抛物线C的方程为y2(2)设M(y12由x=my+1y2=4x可得y由斜率公式可得kMN=y直线MD:x=x1−2，所以y3=2y2所以k又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β，所以kAB若要使α−β最大，则β∈(0,π设kMN=2k当且仅当1k=2k即所以当α−β最大时，kAB=2代入抛物线方程可得y2，所以n=4，所以直线AB:x=2【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置及应用，属于难题．

(1)利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；

(2)解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系．

21.【答案】解：(1)f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=ex(x−1)x2−1x+1=(ex+x)(x−1)x2，

令f′(x)=0⇒x=1，所以当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x>1时f′(x)>0，f(x)单调递增;∴f(x)min=f(1)=e+1−a，要使得f(x)≥0恒成立，

即满足f(x)min=e+1−a≥0⇒a⩽e+1．

(2)由(1)知要使f(x)有两个零点，则f(x)min=f(1)=e+1−a<0⇒e+1 <a，

而f(x)=exx−ln x+x−a=ex−lnx+x−lnx−a，

令t=x−lnx，则f(x)=et+t−a有两个零点x1,x2等价于关于x的方程x−lnx=t0有两个不相等的实根，

再令ℎ(x)=x−lnx【解析】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，零点，证明不等式等问题.属于较难题．

22.【答案】解：(1)因为x=2+t6，y=t，所以x=2+y(2)因为x=−2+s6,y=−s，所以6x=−2−y由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcos联立y2=6x−