2022全国新高考II卷数学试题及答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page44页，共=sectionpages44页2022年全国新高考II卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={−1,1,2,4},B=x|x−1|≤1，则A∩B=（A．{−1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{−1,4}2．(2+2i)(1−2iA．−2+4i B．−2−4i C．6+2i3．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′,BB′,CC′,DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.94．已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．−6 B．−5 C．5 D．65．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种6．若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α-β)=1 B．C．tan(α−β)=-1 D．7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（A．100π B．128π C．144π D．192π8．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=A．−3 B．−2 C．0 D．1二、多选题9．已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点A．f(x)在区间0,5B．f(x)在区间−πC．直线x=7π6D．直线y=32−x10．已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|A．直线AB的斜率为26 B．C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°11．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V1,VA．V3=2VC．V3=V12．若x，y满足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+y三、填空题13．已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(2<X≤2.5)=0.36，则14．设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=115．已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N四、双空题16．曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，五、解答题17．已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且(1)证明：a1(2)求集合kb18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC=19．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间20．如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．21．已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22．已知函数f(x)=xe(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page1717页，共=sectionpages1717页参考答案：1．B【解析】【分析】求出集合B后可求A∩B.【详解】B={x|0≤x≤2}故选：B.2．D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2【详解】(2+2故选：D.3．D【解析】【分析】设OD1=D【详解】设OD1=D依题意，有k3−0.2=k所以0.5+3k3−0.3故选：D4．C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：c=3+t,4,cosa,c故选：C5．B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B6．C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sinα即：sinα即：sinα-β所以tanα-β故选：C7．A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径r1【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1=33sin60∘,2r2=43sin60∘，即r故选：A．8．A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f【详解】因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f因为f2=f1−f0=1−2=−1，f3一个周期内的f1所以k=122故选：A．9．AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：f2π3=sin即φ=−4又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π对A，当x∈0,5π12时，2x+2π3对B，当x∈−π12,11π12时，2x+2π3∈对C，当x=7π6时，2x+2π对D，由y′=2cos2x+2解得2x+2π3从而得：x=kπ或x=所以函数y=f(x)在点0,32处的切线斜率为切线方程为：y−32=−(x−0)故选：AD．10．ACD【解析】【分析】由AF=AM及抛物线方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B(p3,−6【详解】对于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得点A在FM代入抛物线可得y2=2p⋅3p4=32对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为x=12设B(x1,y1)，则62p+y则OB=对于C，由抛物线定义知：AB=对于D，OA⋅OB=(又MA⋅MB=(−又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则故选：ACD.11．CD【解析】【分析】直接由体积公式计算V1,V2，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，由【详解】设AB=ED=2FB=2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则V1V2=13⋅FB⋅S△ABC=13⋅a⋅又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则ED⊥AC，又ED∩BD=D，ED,BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF，又BM=DM=12BD=2a，过F作FG⊥DE于G则EM=2a2+EM2+FM2=EF则V3=VA−EFM+VC−EFM故选：CD.12．BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2−xy=1可变形为x因为x2+y2−xy=1变形可得x−y=43+23故选：BC．13．0.14##750【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为X∼N2,σ2，所以P故答案为：0.14．14．1【解析】【分析】首先求出点A关于y=a对称点A′的坐标，即可得到直线l【详解】解：A−2,3关于y=a对称的点的坐标为A′−2,2a−3，B所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y=a−3圆C:x+32+y+22依题意圆心到直线l的距离d=−3即5−5a2≤a−32+故答案为：115．x+【解析】【分析】令AB的中点为E，设Ax1,y1，Bx2,y2，利用点差法得到kOE⋅kAB=−12【详解】解：令AB的中点为E，因为MA=NB，所以设Ax1,y1，B所以x12所以y1+y2y1−y2令x=0得y=m，令y=0得x=−mk，即M−mk即k×m2−m2k又MN=23，即MN=m2所以直线AB:y=−22x+2故答案为：x+16．

y=1e【解析】【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0【详解】解：因为y=ln当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x故答案为：y=1e17．(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】（1）设数列an的公差为d（2）根据题意化简可得m=2(1)设数列an的公差为d，所以，a1+d−2(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a18．(1)2(2)1【解析】【分析】（1）先表示出S1,S2,S3（2）由正弦定理得b2(1)由题意得S1=1即a2+c2−b2=2，由余弦定理得则cosB=1−132(2)由正弦定理得：bsinB=asinA=19．(1)47.9(2)0.89；(3)0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式P(A)=1−P(A（3）根据条件概率公式即可求出．(1)平均年龄x

+55×0.020+65×0.017(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以P(A)=1−P(A(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这种疾病}则由条件概率公式可得P(C|B)=P(BC)20．(1)证明见解析(2)11【解析】【分析】（1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OA=OB，再根据直角三角形的性质得到AO=DO，即可得到O为BD的中点从而得到OE//（2）过点A作Az//(1)证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P−ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO⊂平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA≅△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE//平面(2)解：过点A作Az//因为PO=3，AP=5，所以OA=A又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=43所以AC=12，所以O23,2,0，B43,0,0，则AE=33,1,3设平面AEB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AE=33x+y+32设平面AEC的法向量为m=a,b,c，则m⋅AE=33a+b+32所以cos设二面角C−AE−B为θ，由图可知二面角C−AE−B为钝二面角，所以cosθ=−4故二面角C−AE−B的正弦值为111321．(1)x(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到x0+ky0=8k2k2-3；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=(1)右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±3x，∴ba=3，∴b=3a∴C的方程为：x2(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2),则条件①M在AB上，等价于y0两渐近线的方程合并为3x联立消去y并化简整理得：k设A(x3,y3设M(x则条件③|AM|=|BM|等价于x0移项并利用平方差公式整理得：x32x0-即x0由题意知直线PM的斜率为-3,直线QM的斜率为3∴由y1∴y1所以直线PQ的斜率m=y直线PM:y=-3x-x代入双曲线的方程3x2-得：y0解得P的横坐标：x1同理：x2∴