电磁场与电磁波第三版之

第3章静电场分析

以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。

首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数;导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件。

最后讨论电容的计算，电场能量的计算。电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第1页!3.1静电场分析的基本变量3.2真空中静电场的基本方程3.3电位函数3.4泊松方程拉普拉斯方程3.5点电荷的函数表示格林函数3.6格林定理泊松方程的积分公式3.7惟一性定理3.8电介质的极化极化强度3.9介质中的高斯定律边界条件3.10恒定电场的基本方程边界条件3.11导体系统的电容3.12电场能量静电力电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第2页!3.1静电场分析的基本变量

关系式称为真空的电特性方程或本构关系

静电场的源变量是电荷

第2章中已由库仑定律引入了电荷产生的电场强度

任意电荷分布产生的电场强度

定义任意电荷分布产生的电位移矢量

电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第3页!二、电场的旋度真空中电场的基本方程在点电荷的电场中，任取一条曲线，积分当积分路径是闭合曲线，A、B

两点重合，得斯托克斯定理电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第4页!直角坐标系3.3电位函数由

，称为静电场的标量位函数，又称电位函数

由此可求得电位的微分在任意方向上的分量

空间A、B

两点的电位差

若选取为电位参（即），则任意点的电位为电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第5页!

解：取如图所示坐标系，场点的电位等于两个点电荷电位的叠加而当因此由于得电偶极子的电位电偶极子的电场强度例3.3.1求电偶极子的电位(教材例3.3.1)。电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第6页!3.5点电荷的函数表示格林函数

为表示点电荷的体密度，引入函数

于是位于处的点电荷q的体密度为

单位点电荷产生的电位满足的泊松方程

定义格林函数电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第7页!利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解以上公式说明，只要知道区域内的电荷分布以及区域边界面上的电位和电位梯度值，就可求出区域内的电位分布。电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第8页!3.8电介质的极化极化强度

当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。

极化强度：用p表示极化的程度，即式中：N为单位体积内被极化的分子数

极化体电荷

由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。

极化面电荷

（为介质表面外法线方向的单位矢量）电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第9页!

小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面积趋于零一、电位移矢量D的边界条件nh

将电场基本方程用于所作的圆柱形表面。

设两种不同的电介质，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为，h为无穷小量。方程左边电位移矢量D的边界条件用矢量表示方程右边为分界面上的自由电荷面密度电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第10页!对于电位由由

例3.9.1

半径分别为a和b的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示角部分填充介电常数为的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2)

解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，待求函数，在圆柱坐标系下于是电位满足的拉普拉斯方程其通解为同理电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第11页!3.10恒定电场的基本方程边界条件

恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。

恒定电场中的二个基本变量为电流密度和电场强度。

描述恒定电场基本特性的个方程是电流连续性方程，即或

电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为或

实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即

称为导电媒质的电导率。电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第12页!与静电场的讨论类似，由可引入恒定电场的电位函数一、恒定电场的电位由二、恒定电场的边界条件若用电位表示

将恒定电场的基本方程、分别用于二种不同导电媒质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第13页!

例3.10.2

一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为和外加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。(教材例3.10.2)

解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z方向。由边界条件得相应的电场外加电压U等于得于是由边界条件上极板的自由电荷面密度下极板的自由电荷面密度介质分界面上的自由电荷电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第14页!3.12电场能量静电力

电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。

设系统完全建立时，最终的电荷分布为，电位为。

设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为时，其电位分布为。的变化为。

整个充电过程外界对整个系统提供的总能量

用场变量表示该能量为

单位体积的能量，称为能量密度

对某一体积元，变为时（此时电位为电荷增加）外界提供的能量电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第15页!2、静电力

已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移dgi，则电场力做功dA＝Fidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第16页!例3.1.8

有一平行金属板电容器，极板面积为l×b，板间距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。所以电容器内的电场能量为由可求得介质片受到的静电力为

解

平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于ε>ε0，所以介质片所受到的力有将其拉进电容器的趋势电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第17页!表示闭合曲面S

对点电荷所在点张的立体角3.2真空中静电场的基本方程对任意闭合曲面S

积分一、电场的散度设空间存在一点电荷，则点的电位移所以在闭合面内在闭合面外若闭合面内有N个点电荷若闭合面内的电荷分布为真空中的高斯定律散度定理于是电场的散度方程（高斯定理的微分形式）电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第18页!当当

例3.2.1电荷按体密度分布于半径为a

的球形区域内，其中为常数。试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。（教材例3.2.1)解:电场具有球对称性，于是于是电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第19页!

对于点电荷的电场，其电位为

体电荷、面电荷、线电荷

产生的电位分别为若取处的电位为零，则电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第20页!3.4泊松方程拉普拉斯方程由在直角坐标系中电位的泊松方程若空间电荷分布为零，则有电位满足的拉普拉斯方程

例3.4.1

半径为a的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。解：

球外空间的电位满足拉氏方程

电位满足的边界条件由题意可知电位及电场具有球对称性在球坐标系下直接积分因此电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第21页!3.6格林定理泊松方程的积分公式格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理设而得格林恒等式同理，若设格林第一恒等式表示为——格林第二恒等式电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第22页!3.7惟一性定理

静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。

可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就是边值问题的惟一性定理

实际边值问题的边界条件分为三类第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件

惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第23页!3.9介质中高斯定理边界条件

引入极化电荷后，介质的极化效应由极化电荷表征，即空间的电场由自由电荷和极化电荷产生。而极化电荷和自由电荷的实质相同，则

由实验证明，P和E之间有一定的线性关系，即得（为电介质中的本构关系）介质的介电常数介质的相对介电常数极化率而得令（介质中的电位移矢量）于是介质中的高斯定理微分形式式中均为自由电荷电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第24页!二、电场强度E的边界条件（其中为回路所围面积的法线方向）

因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有电场强度E的边界条件：或表示为

在分界面上作一小的矩形回路，其两边分居于分界面两侧，而高。将方程用于此回路介质分界面两侧电场强度的切向分量连续电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第25页!其中系数A、B、C、D可由边界条件确定边界条件于是由此可知内导体表面单位长度的电荷由内导体和区域1的边界条件由内导体和区域2的边界条件得同轴线单位长度上的电容电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第26页!

要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。因此

Ee

是非保守场。

设局外场强为设局外场强为，则电源电动势为电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。则电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第27页!

解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内，导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位只是径向r的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为其通解边界条件为得导电媒质中的电场强度电流密度单位长度上的漏电流单位长度上的漏电导

例3.10.1

同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的和单位长度的漏电电导。（教材例3.10.1)电磁场与电磁波第三版之共32页，您现在浏览的是第28页!3.11导体系统的电容

N个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为

其中为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。（共有N个方程）

由以上N

个方程可解出（共有N

个方程）

当时称