函数定义域总结

定义域的求法一、常规型注意根号，分式，对数，幂函数，正切2、常见的定义域①当f(x)是整式时，定义域为R。②当f(x)是分式时，定义域为使分母不为零的x的取值的集合。③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x的取值的集合。④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x的取值的集合。⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x的取值的集合。⑥正切函数y=tanx,,y=tanxx01求函数的定义域。2求函数的定义域。复合函数定义域的求法（1）已知的定义域，求的定义域。其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。测试：设函数的定义域为，求函数的定义域。（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。测试：已知函数的定义域为，求函数f(x)的定义域。（2）已知的定义域，求f(t(x))的定义域。其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，也就是t(x)的值域，求出t(x)的定义域测试、已知函数的定义域为，求函数的定义域。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例1已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。例2已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。四参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例6已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：，即即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当时，F（x）的定义域为；（2）当时，F（x）的定义域为；（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。五对数有关定义域为R（1）y=（a≠0）的定义域为R,则满足（2）当值域为R则满足定义域的作用分析一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数例1．判断函数与=是否同一函数？二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义域，否则所求函数关系式就可能出错.另外，根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合，若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集，那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式．例1．把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，求矩形面积S与矩形长x的函数关系式.解：设矩形的长为cm，则宽为cm，由题意得：，故所求的函数关系式为：.如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围，解题思路还不够严密．因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数或零，即矩形的面积为非正数，这与实际问题相矛盾，故还要补上自变量的范围：，所以函数关系式为：（）.评析：从此例可以看出，用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，结果很有可能出错.例3．判断式子y=是否为函数关系式．解：要使上面的式子有意义，则1-x2≥0且x2-1>0，其解集为空集，由函数定义可知这个式子不表示函数关系式．评注：解题时若忽视了定义域的作用，则很可能得到一个错误结果．三．函数定义域对函数值域的限制作用函数的值域是指全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定后，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应特别注意函数定义域.其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：⑴当时在上单调递增函数；⑵当时，在上单调递减函数；⑶当时在上最值情况是：，．即最大值是中最大的一个值。例4．求函数的值域．错解：令∴，故所求的函数值域是．四．函数定义域对函数奇偶性的作用例1．判断函数y=(1+x)的奇偶性．错解∵，∴，∴函数y=(1+x)是偶函数．故在解例6：判断函数y=sinx，x∈[0，6π]的周期性．六．函数定义域对函数单调区间的作用函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，而函数的单调区间是函数定义域的子集，所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内讨论函数的单调区间．例1．指出函数的单调区间． 七．函数定义域对求反函数的影响有些函数不存在反函数，但在其单调区间内存在反函数，在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，也要注意定义域例8．求函数的反函数．错解：函数的值域为y[2,6]，又，即，∴，∴所求的反函数为y=2±EQ\R(6-x)(2≤x≤6)．八．函数定义域对解不等