2022年福建省福州某校自主招生数学试卷及答案解析

2022年福建省福州一中自主招生数学试卷一.选择题（共10小题，满分40分）.下列说法正确的是（ ）A.“明天会下雨”是必然事件B.想了解“五•一”期间福州市各家庭的消费情况，适合的调查方式是抽样调查C.正方形是轴对称图形，不是中心对称图形D.120000用科学记数法表示是1.2XTOC\o"1-5"\h\z.下列运算正确的是（ ）A.x-2x=xB.（孙）2=才c.V2xV3=V6D.（-V2）2=4.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图.根据如图提供的信息、，红包金额的众数和中位数分别是（ ）.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.四棱柱।2xI7vI1.若关于x的不等式组 的解集为x<3,则A的取值范围为（ ）[x—k<2A.k>\ B.k<\ C.k^\ D..下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）.从-1,1,2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=h+〃的系数历b,则一TOC\o"1-5"\h\z次函数的图象不经过第四象限的概率是（ ）1111A.- B.- C.一 D.-6 2 3 4.有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球.比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（ ）A.4个 B.3个 C.1个 D.0个.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=6cm,动点P从点A出发，沿AB方向以每秒尤cm的速度向终点8运动；同时，动点。从点8出发沿8C方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P'.设。点运动的时间为t秒，若四边形QP'CP为菱形，贝h的值为（ ）A.V2 B.2 C.2V2 D.3.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M与,〃、n的关系是（ ）A.M=mn B.M=m（m+1）C.M=mn+lD.M=n（m+1）二.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）.如图，在△ABC中，CA=CB,NACB=90°,AB=2,点。为4B的中点，以点。为圆心作圆心角为90°的扇形OE凡点C恰在弧EFL,则图中阴影部分的面积为.

.如图，AC是。。的直径，弦8O_LA。，垂足为点E,连接8C,过点。作。尸，BC,垂足为F,若BD=8an,AE=2cm,则OF的长度是cm..如图，点A是双曲线y=-9在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点8,以AB为底作等腰ZVIBC,且NACB=I2O°,点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（上运动，则上的值为.一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖.三.解答题（共7小题，满分90分）（14分）⑴计算：（-2022）°+（-）'2-（-2）3.霓2 1 1（2）先将（——--）+乌化简，然后请你选一个自己喜欢的x值，求原式的值.x+1 X+1X(12分)如图，矩形A8CO中，AB=4cm,8c=6an,点P从8出发向点C运动，速度为lcm/s,点。从C出发，沿C-。-A方向运动，速度为2cm/s,P、Q两点同时出发，当点。到达终点4时，P、。两点同时停止运动，设点P的运动的时间为r(s).(1)当点P是线段BC的中点时，求AP的长;r为何值时，四边形4QCP是平行四边形;r为何值时，△PCQ是等腰三角形.(12分)如图，一次函数yi=-X-1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数”=(图象的一个交点为M(-2,m).(1)求反比例函数的解析式；(2)当然＞力时，求x的取值范围；(3)求点8到直线。历的距离.（12分）如图，△ABC内接于。€。，NC=120°.请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角.（保留作图痕迹，不写作法）.(1)在图1中，AC=BCx(2)在图2中，ACWBC.图1 图2（12分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔8C,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶8的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶8的仰角为76°.求:（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°=0.97,cos76°20.24,tan76°-4.01）(12分)在多项式中有一类比较有趣的因式分解，如我们已经学过的1-»=(1-x)*(1+x)1-/=(1-x)*(1+x+x2)(1)证明：1-x4=(1-/)•(1+X+/+Q；(2)据此猜想，对任意正整数〃22,1-/=.(不必证明)；11 1 1(3)利用(2),求一+(-)2+(一)3+…+(-)2。19的值.2 2 2 2(16分)如图所示，抛物线y=*+/?x+c经过4、B两点,4、B两点的坐标分别为(-1,0)、(0,-3).(1)求抛物线的函数解析式；(2)点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点。为y轴上一点，且DC=DE,求出点。的坐标；(3)在第二问的条件下，在直线OE上存在点P,使得以C、£＞、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.2022年福建省福州一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分40分）.下列说法正确的是（ ）A.“明天会下雨”是必然事件B.想了解“五•一”期间福州市各家庭的消费情况，适合的调查方式是抽样调查C.正方形是轴对称图形，不是中心对称图形D.120000用科学记数法表示是1.2X106解：A、”明天会下雨”是随机事件，故A错误；8、想了解“五•一”期间福州市各家庭的消费情况，适合的调查方式是抽样调查，故B正确；C、正方形是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；。、120000用科学记数法表示是1.2X105,故。错误；故选：B..下列运算正确的是（ ）A.x-2x=xB.（盯）1=xyLC.V2xV3=V6D.（-V2）2=4解：A、x-2x=-x,此选项错误：B、（xy）2=x2y2,此选项错误；C、V2xV3=V6＞此选项正确；D、（-V2）~—1t此选项错误；故选：C..抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（ ）20解：捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30,中间两个数分别为30和30,则中位数是30,故选：C..某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）A.圆锥 B.圆柱 C.长方体 D.四棱柱解：•••主视图和左视图都是长方形，.••此几何体为柱体，•.•俯视图是一个圆，•••此几何体为圆柱，故选：B.（2x+7>4x+1TOC\o"1-5"\h\z5.若关于x的不等式组•十 的解集为x<3,则％的取值范围为（ ）—k<2A.k>l B.k<l C.攵21 D.kWl解：不等式整理得：［x<3 ,由不等式组的解集为xV3,得到女的范围是221,故选：C..下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）：.b=9,:・a=b-1=8,.,.x=2fe2+a=162+8=170,故选：C..从-1,1,2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数的系数hb,则一TOC\o"1-5"\h\z次函数y=h+6的图象不经过第四象限的概率是（ ）1111A.- B.- C•一 D.—6 2 3 4解：列表，如图，k、人的取值共有6种等可能的结果；而一次函数y=fcc+6的图象不经过第四象限，则上＞0,6N0,，满足条件的入6的取值有（1,2）,（2,1）,...一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率=|=1..有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球.比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（ ）A.4个 B.3个 C.1个 D.0个解：若A真，则C真，显然不符合题意的要求；若C真，则A、8必有一个是真命题，显然也不符合题意：因此只有一种情况，即：8真，A、C为假命题，那么此时球队踢进求的个数是0个.故选：D.9.如图，在RtZ\A8C中，N4C8=90°,AC=BC=6cv”，动点P从点4出发，沿AB方向以每秒迎C7"的速度向终点B运动；同时，动点。从点8出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△POC沿BC翻折，点P的对应点为点P.设。点运动的时间为，秒，若四边形QP'CP为菱形，贝h的值为（ ）C AA.V2 B.2 C.2V2 D.3解：连接PP'交BC于O,•.•若四边形QPCP'为菱形，：.PP'J_QC,/.ZPOQ=90°,VZACB=90°,J.PO//AC,.APCO•.—>ABCB•.•设点。运动的时间为r秒，：.AP=\[2t,QB=t,/.QC=6-r,.,.CO=3-1,"：AC=CB=6,NACB=90°,：.AB=6y/2,.低3-g6y12 6解得：r=2,故选：B.10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M与小、〃的关系是( )A.M=mn B.M=m(n+1)C.M=mn+\D.M=n(m+1)解：V1X(2+1)=3,3X(4+1)=15,5X(6+1)=35,.•.右下圆圈内的数=上方圆圈内的数X(左下圆圈内的数+1),(n+1).故选：B.二.填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)11.如图，在△ABC中，CA=CB,NACB=90°,AB=2,点。为AB的中点，以点。为7T1圆心作圆心角为90°的扇形OE凡点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为一--.―4 2―B解：连接CD,9：CA=CB,NACB=90°,AZB=45°,・・,点。为AB的中点，：.DC=^AB=BD=\,CD±AB,ZDCA=45°,：・/CDH=NBDG,/DCH=/B,在和AOBG中，(Z.CDH=乙BDG{CD=BD,(Z.DCH=Z.B:.△DCgADBG(ASA),,,S,,S四边形 2sz\ABC=qX|AB.CD=1x2Xl=i；.S；.S阴影=Ssi®def-Sabdc=9t7T_14-2112.如图，AC是。。的直径，弦8OLAO,垂足为点E,连接BC,过点。作OFLBC,垂足为F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是解：连接解：连接AB,'：BD±AO,：.BE=ED=聂£)=4,由勾股定理得，AB=y/AE2+BE2=2西,■:OF1BC,:.CF=FB,又CO=Q4,OF=^AB=y/5(cm),故答案为：V5.

13.如图，点A是双曲线y=-9在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点8,以AB为底作等腰ZVIBC,且NACB=I2O°,点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（上运动，则&的值为3.解：连接CO,过点4作A。Lr轴于点。，过点C作CELx轴于点E,•.•连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且NACB=120°,J.COLAB,ZCAB=30°,则NAO£>+NCOE=90°,'：ZDAO+ZAOD=90°,:.NDAO=NCOE,又A。。=NCEO=90°,.△AO£）s/\oc£,ADODOA—=—ADODOA—=—=—=tan60°=EOS^AODS>EOCCE0C=（V3）2=3,•点A是双曲线y=-9在第二象限分支上的一个动点,1 9・Sa40D=2X优yl=2,2 1 2•Saeoc=2'即5xOEXCE=.k=OEXCE=3,故答案为：3.故答案为：O一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有，颗糖.解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数.又知盒子里装有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88>99、110、121、132、143、154、165、176、187、198.又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数为12的倍数+1.又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13,25,37,49,61,73,85,97,109,121,133,145,157,169,181,193.取上面两组数的交集可得121,故盒子里共有121颗糖.故答案为：121.三.解答题（共7小题，满分90分）（14分）（1）计算：（-2007）°+（-）'2-（-2）3.（2）先将（—————）+弓化简，然后请你选一个自己喜欢的x值，求原式的值.x+1x+1x解：（I）原式=1+4-（-8）=5+8=13；当x=2时，原式=2.(12分)如图，矩形ABCO中，AB^4cm,BC=6cm,点P从8出发向点C运动，速度为kvn/s,点。从C出发，沿C-。-A方向运动，速度为2cm/s,P、Q两点同时出发,当点。到达终点A时，P、。两点同时停止运动，设点P的运动的时间为，(s).(1)当点P是线段8c的中点时，求AP的长:(2)，为何值时，四边形4QCP是平行四边形;(3)，为何值时，△PC。是等腰三角形.解：(I)是BC的中点，.".BP=3cm,'：AB=4cm,NB=90°,.".AP—5cm；•••四边形AQC尸是平行四边形，：.AQ=CP,：.10-2r=6-t,解得：t=4；(I)若0在CO边上时，只有PC=CQ,即：6-t=2t,解得：r=2；(II)若。在4。边上时，①当PQ=CQ时，-(6-r)=2t-4,解得：仁等：②PC=C0时，(6-r)2=42+(2r-4)2,解得：r=2或f=g(舍去)；PQ=PC时，(6-f)2=42+(10-3Z)2,整理得：?-6r+10=0,△=36-40=-4<0,无解，14 ~所以当f=2、石■时，△PCQ是等腰三角形.(12分)如图，一次函数yi=-X-1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数”=［图象的一个交点为M(-2,/”).(1)求反比例函数的解析式；(2)当”>yi时，求x的取值范围：(3)求点B到直线OM的距离.解：(1)把M(-2,m)代入y=-x-1得m=2-1=1,则M(-2,1),把M(-2,1)代入尸右得仁-2X1=-2,所以反比例函数解析式为尸一；JX⑵解方程组｛；二3得］端匕，则反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为(1,-2),当-2<x<0或x>l时，”>yi；(3)y=-x-1与y轴交于点B所以B的坐标为(0,-1),所以08=1,OM=a2+22=V5,Saomb=*x1X2=1,设点B到直线。例的距离为h,—•V5*/i=1»解得/z=2 32\/5即点B到直线OM的距离为一.5（12分）如图，AABC内接于。€。，ZC=120°.请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件在AB的下方作一个30°的圆周角.（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在图1中，AC=BC；（2）在图2中，AC^BC.图1 图2解：（1）如图1所示：ZBDC=30°；(2)如图2所示：ZADE=30°.（12分）已知，如图，在坡顶4处的同一水平面上有一座古塔8C,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶4处又测得该塔的塔顶8的仰角为76°.求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°-0.97,cos76°=0.24,tan76°*4.01）解：(1)过点A作AHLPO,垂足为点H,.•斜坡AP的坡度为1：2.4,.AH5.=,PH12设A〃=5&,则P”=12A,由勾股定理，得AP=13亿/.13)1=26,解得％=2,"〃=10,答：坡顶A到地面P0的距离为10米.(2)延长3c交尸。于点O,VBC1AC,AC//PO,：.BDA.PO,J四边形A”QC是矩形，CO=A〃=10,AC=DH,・•NBPD=45°,:.PD=BD,设8C=斯贝iJx+10=24+£>〃，：.AC=DH=x-14,orx在RtZXABC中，tan76°=芸，即 =4.01.解得x=«19.答：古塔BC的高度约为19米.B(12分)在多项式中有一类比较有趣的因式分解，如我们已经学过的-7=(1-x)>(1+x)1-9=(1-%)•(1+x+x2)(1)证明：1-x4=(1-%)•(1+x+j^+x3)；(2)据此猜想，对任意正整数〃22,1-/= (1-x)・(l+x+/+/+・・・+/i).(不必证明)；(3)利用(2),求*(>2+43+.“+(32019的值.2 2 2 2解：(1)证明：V(1-x)・(l+x+/+/)=1+x+r+/- X，=1-3/.1-x4=(1-1)•(1+X+/+X3)；(2)根据题干所列的两个等式及(1)中的等式猜想，对任意正整数1-/=(1-X”(1+穴+/+尸+…)；故答案为：(1-x)・(1+X+/+/+…+/I)；(3)Vl-ci)2020=(1-1)[1+1+(1)2+(|)3+-+(-)2019],.,.[1+1+(1)2+(1)3+-+(1)20|9]=[1-(1)20201-1,.-.[1+1+(-)2+(-)3+-+(-)2。19]=2_由2叫2 2 2 2 222.(16分)如图所示，抛物线y=7+hx+c经过A、B两点，A、8两点的坐标分别为(-1,0)、(0,-3).(1)求抛物线的函数解析式；(2)点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点。为y轴上一点，且DC=DE,求出点。的坐标；(3)在第二问的条件下，在直线OE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.解：(1)•.•抛物线y=W+6x+c经过A(-1,0)、B(0,-3),*fl—力+c=0"1=一3解得｛之二;,故抛物线的函数解析式为)，=/-2.3；(2)令