高中数学第二章平面向量25从力做的功到向量的数量积课件2北师大必修4

2.5

从力做的功到向量的数量积2.5【知识提炼】1.向量的夹角与投影(1)夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作=a,=b,则_________叫作向量a与b的夹角；②范围：_______________；∠AOB=θ0°≤θ≤180°【知识提炼】∠AOB=θ0°≤θ≤180°③大小与向量共线、垂直的关系：θ=0°⇔a与b_____，180°⇔a与b_____，90°⇔a___b.同向反向⊥③大小与向量共线、垂直的关系：θ=0°⇔a与b_____，同(2)投影①定义：如图所示：=a，=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=__________.__________叫做向量b在a方向上的投影数量(简称投影).|b|cosθ|b|cosθ(2)投影|b|cosθ|b|cosθ②大小与夹角的关系：|b|正值0负值-|b|②大小与夹角的关系：|b|正值0负值-|b|2.向量的数量积(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把_____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作_____，即a·b=_____________.|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ2.向量的数量积|a||b|cosθa·b|a||b|co(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影__________的乘积，或b的长度____与a在b方向上投影__________的乘积.(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积_____.|b|cosθ|b||a|cosθF·s(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上(4)性质：①若e是单位向量，则e·a=a·e=__________；②a⊥b⇔_______；(其中a,b为非零向量);③|a|=④cosθ=_________(|a||b|≠0)；⑤对任意两个向量a,b,有|a·b|___|a||b|.|a|cosθa·b=0≤(4)性质：|a|cosθa·b=0≤(5)运算律：交换律：a·b=_____.结合律：(λa)·b=_________=_________.分配律：a·(b+c)=__________.b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c(5)运算律：b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c【即时小测】1.思考下列问题:(1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗?提示:不相同.向量的夹角范围为[0,π],而直线的倾斜角范围为[0,π).(2)影响数量积的大小的因素有哪些?提示:影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小.【即时小测】2.若e1,e2是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是(

)A.e1·e2=1

B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.e1·e2<1【解析】选C.由于e1,e2是两个平行的单位向量,设其夹角为θ,则|cosθ|=1,所以|e1·e2|=|cosθ|=1.2.若e1,e2是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是(3.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范围是(

)

【解析】选A.因为a·b>0,所以cosθ>0,所以θ∈.3.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范围是()4.若e1,e2是夹角为

的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b等于

(

)A.1

B.-4

C.-

D.4.若e1,e2是夹角为的单位向量,且a=2e1+e【解析】选C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)==-6|e1|2+|e1||e2|cos+2|e2|2=-6×12+1×1×+2×12=-.【解析】选C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)5.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,则a·b=________.【解析】由a∥b,可知a与b的夹角为0或π,故a·b=±30.答案:±305.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,则a·b=____【知识探究】知识点1向量的数量积观察如图所示内容,回答下列问题:【知识探究】问题1:向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么?问题2:向量数量积a·b中的“·”能否省去?问题1:向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么?【总结提升】1.数量积的写法及与实数乘积的区别两向量a,b的数量积也称作内积,写成a·b,其应与代数中的a,b的乘积ab区分开来,其中“·”是一种运算符号,不同于实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替.【总结提升】2.数量积运算的结果(1)向量线性运算的结果是一个向量,但两个向量的数量积是一个数量.(2)由于0°≤θ≤180°,所以a·b可以为正数、负数和零,且当0°≤θ<90°时,a·b>0;当θ=90°时,a·b=0;当90°<θ≤180°时,a·b<0.2.数量积运算的结果(3)若a为零向量,则|a|=0,从而a·b=0,故零向量与任一向量的数量积为0.(4)a·a=a2=|a|2.(5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.(3)若a为零向量,则|a|=0,从而a·b=0,故零向量与知识点2数量积的性质及运算律观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:向量的数量积有什么重要的性质?问题2:数量积与实数乘积有什么差异?知识点2数量积的性质及运算律【总结提升】1.数量积五条性质的应用性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义;性质(2)可以解决有关垂直的问题;性质(3)可以求向量的长度;性质(4)可以求两向量的夹角;性质(5)可以解决有关不等式的问题,当且仅当a∥b时,等号成立.【总结提升】2.数量积运算遵循的运算律及常用公式(1)遵循的运算律:数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律,不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.2.数量积运算遵循的运算律及常用公式(2)常用公式及注意点:①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2;③(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2.注意:|a|2=a·a,|b|2=b·b.(2)常用公式及注意点:【题型探究】类型一平面向量数量积的概念及运算【典例】1.|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的射影等于(

)A.2

B.120°C.-1D.由向量b的长度确定2.已知|a|=3,|b|=6,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与b的夹角是60°时,分别求a·b,a·(a+b).【题型探究】【解题探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?提示:|a|cosθ.2.a∥b时,两向量的夹角是多少?提示:若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,若a与b反向,则它们的夹角θ=180°.【解题探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?【解析】1.选C.根据平面向量数量积的几何意义可知|a|cos120°=2×=-1.2.(1)当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,所以a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18,a·(a+b)=a2+a·b=9+18=27.若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,所以a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18,a·(a+b)=a2+a·b=9-18=-9.【解析】1.选C.根据平面向量数量积的几何意义可知|a|co(2)当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,所以a·b=0,a·(a+b)=a2=9.(3)当a与b的夹角是60°时,有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.a·(a+b)=a2+a·b=18.(2)当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,【方法技巧】1.求平面向量数量积的流程【方法技巧】2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的运算技巧及注意点(1)技巧:类似于实数多项式的运算,将运算转化为向量a,b的数量积运算.(2)注意点:①a与b的数量积不可书写或认为是ab,②a2=|a|2的应用.2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的运算技巧及注意点【拓展延伸】数量积运算时的两个注意点(1)要找准两向量的夹角.(2)注意向量数量积的运算律的应用.【拓展延伸】数量积运算时的两个注意点【变式训练】已知正三角形ABC的边长为1.求:

【变式训练】已知正三角形ABC的边长为1.求:【解析】(1)的夹角为60°,所以

(2)因为的夹角为120°,所以

【解析】(1)的夹角为60°,类型二利用数量积求向量的模【典例】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为.求|a+b|,|a-b|.【解题探究】联想到|a|2=a2,要求|a+b|,|a-b|,应先求什么?提示:应求|a+b|2与|a-b|2,进而可知先求a·b.类型二利用数量积求向量的模【解析】方法一:由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2×=75,所以|a+b|=5.同理因为|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25,所以|a-b|=5.【解析】方法一:由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,使AB=AD=5,设

如图,则

方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,使AB=A【延伸探究】1.(改变问法)本例的条件不变求|3a+b|.【解析】由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因为|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=325.所以|3a+b|=5.【延伸探究】2.(变换条件)本例的已知条件若改为“|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5”,如何求|3a+b|的值?2.(变换条件)本例的已知条件若改为“|a|=|b|=5,且【解析】因为|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b,又因为|3a-2b|=5,所以325-12a·b=25,即a·b=25.所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400.所以|3a+b|=20.【解析】因为|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法【补偿训练】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:(1)|a+b|.(2)|3a-4b|.【补偿训练】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12,所以|a+b|=2.(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×16-24×(-4)+16×4=304,所以|3a-4b|=4.【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°【延伸探究】1.(变换条件)本例条件变为“已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|a+b|=2

”,求|b|.【延伸探究】【解析】因为a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos120°=-2|b|.所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=16-4|b|+|b|2.因为|a+b|=2,即|a+b|2=12,所以16-4|b|+|b|2=12.解得|b|=2.【解析】因为a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos2.(改变问法)若本例删去条件“已知向量a与b的夹角为120°,”求|a+b|的取值范围.【解析】设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=4×2×cosθ=8cosθ.|a+b|2=a2+2a·b+b2=42+2×8cosθ+22=20+16cosθ.因为θ∈[0,π],所以cosθ∈[-1,1],所以|a+b|2∈[4,36],则|a+b|∈[2,6].2.(改变问法)若本例删去条件“已知向量a与b的夹角为120类型三向量的夹角或垂直【典例】1.已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,则a与b夹角θ=________.2.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7.求a与b的夹角θ.类型三向量的夹角或垂直【解题探究】1.典例1中,若求a与b的夹角θ,还需要什么?提示:需要利用(a-b)·(a+2b)=-29求出a·b.2.要求a与b的夹角θ,关键是先求哪些量?提示:关键是先求a·b.【解题探究】1.典例1中,若求a与b的夹角θ,还需要什么?【解析】1.因为(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32=-31+a·b,所以-31+a·b=-29,所以a·b=2,所以

又因为0≤θ≤π,所以θ=.答案:【解析】1.因为(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2.因为a+b+c=0,所以a+b=-c,所以|a+b|=|c|.所以(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2.所以a·b=

2.因为a+b+c=0,又因为a·b=|a||b|cosθ,所以=3×5×cosθ.即cosθ=,因为θ∈[0,π],所以θ=.又因为a·b=|a||b|cosθ,【延伸探究】典例2中若条件不变,是否存在实数μ使μa+b与a-2b垂直?存在,求出μ值,不存在,说明理由.【解析】假设存在实数μ使μa+b与a-2b垂直.可得(μa+b)·(a-2b)=0.即μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.所以9μ-2×25-2μ×解得μ=-.所以存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直.【延伸探究】典例2中若条件不变,是否存在实数μ使μa+b与a【方法技巧】1.求向量夹角的解题流程及注意事项(1)解题流程:【方法技巧】(2)注意事项在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值.2.求cosθ的两种情形(1)求出a·b,|a|,|b|的值代入公式计算.(2)得到a·b,|a|,|b|之间的关系代入公式计算.(2)注意事项3.两向量垂直的确定与应用(1)确定:通常利用两向量垂直的充要条件,即计算a·b是否为0.(2)应用:若a⊥b,则a·b=0可求其中参数的值.3.两向量垂直的确定与应用【变式训练】(2015·重庆高考)若非零向量a,b满足

且则a与b的夹角为(

)

【解题指南】解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算,然后求出夹角.【变式训练】(2015·重庆高考)若非零向量a,b满足【解析】选A.设a与b的夹角为θ,因为所以

解得cosθ=,因为θ∈[0,π],所以θ=.【解析】选A.设a与b的夹角为θ,【补偿训练】1.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.【解题指南】由(a+3b)·(7a-5b)=0及(a-4b)·(7a-2b)=0建立a·b与b2以及|a|与|b|的等量关系,可求a与b的夹角.【补偿训练】1.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5【解析】由已知得(a+3b)·(7a-5b)=0,即7a2+16a·b-15b2=0①(a-4b)·(7a-2b)=0,即7a2-30a·b+8b2=0②①,②两式相减得2a·b=b2,所以a·b=b2,代入①,②中任一式得a2=b2,设a,b的夹角为θ,则

因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.【解析】由已知得(a+3b)·(7a-5b)=0,2.设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.2.设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2m+【解析】m和n是两个单位向量,其夹角是60°,所以m·n=|m|×|n|×cos60°=,设a=2m+n与b=2n-3m的夹角为α,所以

因为0°≤α≤180°,所以α=120°.即a=2m+n与b=2n-3m的夹角为120°.【解析】m和n是两个单位向量,其夹角是60°,易错案例根据向量的夹角求范围【典例】设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.易错案例根据向量的夹角求范围【失误案例】【失误案例】【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围.(2te1+7e2)·(e1+te2)<0包括了向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π即共线且方向相反的情况,故应排除这种情况.【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗?【自我矫正】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,得cosθ=即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.【自我矫正】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则所以所求实数t的取值范围是设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则【防范措施】1.注意向量夹角的取值范围由公式cosθ=可知若θ为钝角,则cosθ<0,即a·b<0,同时也应注意向量a,b共线且反向这一情况,要排除掉.如本题,若没有注意到这一情况,将会造成失分.【防范措施】2.注意问题转换的等价性数量积的符号同向量夹角的关系如下:对于非零向量a和b,①a·b=0⇔a⊥b;②a·b>0⇔<a,b>为锐角或零角,③a·b<0⇔<a,b>为钝角或平角.例如,本例利用2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得等价关系式.2.注意问题转换的等价性3.注意思考问题的全面性由向量的夹角求参数的范围时,务必注意思考问题的全面性,如本例应排除向量2te1+7e2与e1+te2共线且反向的特殊情形,即求出-7<t<-后,应注意排除夹角为平角的情形.3.注意思考问题的全面性2.5

从力做的功到向量的数量积2.5【知识提炼】1.向量的夹角与投影(1)夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作=a,=b,则_________叫作向量a与b的夹角；②范围：_______________；∠AOB=θ0°≤θ≤180°【知识提炼】∠AOB=θ0°≤θ≤180°③大小与向量共线、垂直的关系：θ=0°⇔a与b_____，180°⇔a与b_____，90°⇔a___b.同向反向⊥③大小与向量共线、垂直的关系：θ=0°⇔a与b_____，同(2)投影①定义：如图所示：=a，=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=__________.__________叫做向量b在a方向上的投影数量(简称投影).|b|cosθ|b|cosθ(2)投影|b|cosθ|b|cosθ②大小与夹角的关系：|b|正值0负值-|b|②大小与夹角的关系：|b|正值0负值-|b|2.向量的数量积(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把_____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作_____，即a·b=_____________.|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ2.向量的数量积|a||b|cosθa·b|a||b|co(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影__________的乘积，或b的长度____与a在b方向上投影__________的乘积.(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积_____.|b|cosθ|b||a|cosθF·s(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上(4)性质：①若e是单位向量，则e·a=a·e=__________；②a⊥b⇔_______；(其中a,b为非零向量);③|a|=④cosθ=_________(|a||b|≠0)；⑤对任意两个向量a,b,有|a·b|___|a||b|.|a|cosθa·b=0≤(4)性质：|a|cosθa·b=0≤(5)运算律：交换律：a·b=_____.结合律：(λa)·b=_________=_________.分配律：a·(b+c)=__________.b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c(5)运算律：b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c【即时小测】1.思考下列问题:(1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗?提示:不相同.向量的夹角范围为[0,π],而直线的倾斜角范围为[0,π).(2)影响数量积的大小的因素有哪些?提示:影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小.【即时小测】2.若e1,e2是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是(

)A.e1·e2=1

B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.e1·e2<1【解析】选C.由于e1,e2是两个平行的单位向量,设其夹角为θ,则|cosθ|=1,所以|e1·e2|=|cosθ|=1.2.若e1,e2是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是(3.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范围是(

)

【解析】选A.因为a·b>0,所以cosθ>0,所以θ∈.3.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范围是()4.若e1,e2是夹角为

的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b等于

(

)A.1

B.-4

C.-

D.4.若e1,e2是夹角为的单位向量,且a=2e1+e【解析】选C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)==-6|e1|2+|e1||e2|cos+2|e2|2=-6×12+1×1×+2×12=-.【解析】选C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)5.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,则a·b=________.【解析】由a∥b,可知a与b的夹角为0或π,故a·b=±30.答案:±305.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,则a·b=____【知识探究】知识点1向量的数量积观察如图所示内容,回答下列问题:【知识探究】问题1:向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么?问题2:向量数量积a·b中的“·”能否省去?问题1:向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么?【总结提升】1.数量积的写法及与实数乘积的区别两向量a,b的数量积也称作内积,写成a·b,其应与代数中的a,b的乘积ab区分开来,其中“·”是一种运算符号,不同于实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替.【总结提升】2.数量积运算的结果(1)向量线性运算的结果是一个向量,但两个向量的数量积是一个数量.(2)由于0°≤θ≤180°,所以a·b可以为正数、负数和零,且当0°≤θ<90°时,a·b>0;当θ=90°时,a·b=0;当90°<θ≤180°时,a·b<0.2.数量积运算的结果(3)若a为零向量,则|a|=0,从而a·b=0,故零向量与任一向量的数量积为0.(4)a·a=a2=|a|2.(5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.(3)若a为零向量,则|a|=0,从而a·b=0,故零向量与知识点2数量积的性质及运算律观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:向量的数量积有什么重要的性质?问题2:数量积与实数乘积有什么差异?知识点2数量积的性质及运算律【总结提升】1.数量积五条性质的应用性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义;性质(2)可以解决有关垂直的问题;性质(3)可以求向量的长度;性质(4)可以求两向量的夹角;性质(5)可以解决有关不等式的问题,当且仅当a∥b时,等号成立.【总结提升】2.数量积运算遵循的运算律及常用公式(1)遵循的运算律:数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律,不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.2.数量积运算遵循的运算律及常用公式(2)常用公式及注意点:①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2;③(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2.注意:|a|2=a·a,|b|2=b·b.(2)常用公式及注意点:【题型探究】类型一平面向量数量积的概念及运算【典例】1.|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的射影等于(

)A.2

B.120°C.-1D.由向量b的长度确定2.已知|a|=3,|b|=6,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与b的夹角是60°时,分别求a·b,a·(a+b).【题型探究】【解题探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?提示:|a|cosθ.2.a∥b时,两向量的夹角是多少?提示:若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,若a与b反向,则它们的夹角θ=180°.【解题探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?【解析】1.选C.根据平面向量数量积的几何意义可知|a|cos120°=2×=-1.2.(1)当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,所以a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18,a·(a+b)=a2+a·b=9+18=27.若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,所以a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18,a·(a+b)=a2+a·b=9-18=-9.【解析】1.选C.根据平面向量数量积的几何意义可知|a|co(2)当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,所以a·b=0,a·(a+b)=a2=9.(3)当a与b的夹角是60°时,有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.a·(a+b)=a2+a·b=18.(2)当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,【方法技巧】1.求平面向量数量积的流程【方法技巧】2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的运算技巧及注意点(1)技巧:类似于实数多项式的运算,将运算转化为向量a,b的数量积运算.(2)注意点:①a与b的数量积不可书写或认为是ab,②a2=|a|2的应用.2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的运算技巧及注意点【拓展延伸】数量积运算时的两个注意点(1)要找准两向量的夹角.(2)注意向量数量积的运算律的应用.【拓展延伸】数量积运算时的两个注意点【变式训练】已知正三角形ABC的边长为1.求:

【变式训练】已知正三角形ABC的边长为1.求:【解析】(1)的夹角为60°,所以

(2)因为的夹角为120°,所以

【解析】(1)的夹角为60°,类型二利用数量积求向量的模【典例】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为.求|a+b|,|a-b|.【解题探究】联想到|a|2=a2,要求|a+b|,|a-b|,应先求什么?提示:应求|a+b|2与|a-b|2,进而可知先求a·b.类型二利用数量积求向量的模【解析】方法一:由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2×=75,所以|a+b|=5.同理因为|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25,所以|a-b|=5.【解析】方法一:由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,使AB=AD=5,设

如图,则

方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,使AB=A【延伸探究】1.(改变问法)本例的条件不变求|3a+b|.【解析】由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因为|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=325.所以|3a+b|=5.【延伸探究】2.(变换条件)本例的已知条件若改为“|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5”,如何求|3a+b|的值?2.(变换条件)本例的已知条件若改为“|a|=|b|=5,且【解析】因为|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b,又因为|3a-2b|=5,所以325-12a·b=25,即a·b=25.所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400.所以|3a+b|=20.【解析】因为|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法【补偿训练】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:(1)|a+b|.(2)|3a-4b|.【补偿训练】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12,所以|a+b|=2.(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×16-24×(-4)+16×4=304,所以|3a-4b|=4.【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°【延伸探究】1.(变换条件)本例条件变为“已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|a+b|=2

”,求|b|.【延伸探究】【解析】因为a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos120°=-2|b|.所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=16-4|b|+|b|2.因为|a+b|=2,即|a+b|2=12,所以16-4|b|+|b|2=12.解得|b|=2.【解析】因为a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos2.(改变问法)若本例删去条件“已知向量a与b的夹角为120°,”求|a+b|的取值范围.【解析】设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=4×2×cosθ=8cosθ.|a+b|2=a2+2a·b+b2=42+2×8cosθ+22=20+16cosθ.因为θ∈[0,π],所以cosθ∈[-1,1],所以|a+b|2∈[4,36],则|a+b|∈[2,6].2.(改变问法)若本例删去条件“已知向量a与b的夹角为120类型三向量的夹角或垂直【典例】1.已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,则a与b夹角θ=________.2.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7.求a与b的夹角θ.类型三向量的夹角或垂直【解题探究】1.典例1中,若求a与b的夹角θ,还需要什么?提示:需要利用(a-b)·(a+2b)=-29求出a·b.2.要求a与b的夹角θ,关键是先求哪些量?提示:关键是先求a·b.【解题探究】1.典例1中,若求a与b的夹角θ,还需要什么?【解析】1.因为(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32=-31+a·b,所以-31+a·b=-29,所以a·b=2,所以

又因为0≤θ≤π,所以θ=.答案:【解析】1.因为(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2.因为a+b+c=0,所以a+b=-c,所以|a+b|=|c|.所以(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2.所以a·b=

2.因为a+b+c=0,又因为a·b=|a||b|cosθ,所以=3×5×cosθ.即cosθ=,因为θ∈[0,π],所以θ=.又因为a·b=|a||b|cosθ,【延伸探究】典例2中若条件不变,是否存在实数μ使μa+b与a-2b垂直?存在,求出μ值,不存在,说明理由.【解析】假设存在实数μ使μa+b与a-2b垂直.可得(μa+b)·(a-2b)=0.即μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.所以9μ-2×25-2μ×解得μ=-.所以存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直.【延伸探究】典例2中若条件不变,是否存在实数μ使μa+b与a【方法技巧】1.求向量夹角的解题流程及注意事项(1)解题流程:【方法技巧】(2)注意事项在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值.2.求cosθ的两种情形(1)求出a·b,|a|,|b|的值代入公式计算.(2)得到a·b,|a|,|b|之间的关系代入公式计算.(2)注意事项3.两向量垂直的确定与应用(1)确定:通常利用两向量垂直的充要条件,即计算a·b是否为0.(2)应用:若a⊥b,则a·b=0可求其中参数的值.3.两向量垂直的确定与应用【变式训练】(2015·重庆高考)若非零向量a,