2021年九年级中考数学第一轮总复习-二次函数综合题课件

第八节二次函数综合题第八节二次函数综合题类型一与面积有关的问题设问突破一阶例1如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，C两点，与y轴交于点B(0，3)，连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；例1题图①类型一与面积有关的问题设问突破一阶例1如图，已知抛物线y解：(1)将B(0，3)和A(－3，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，当y＝0时，解得x1＝1，x2＝－3，∴C(1，0)；解：(1)将B(0，3)和A(－3，0)代入y＝－x2＋bx(2)求△ABC的面积；例1题图②(2)∵B(0，3)，∴OB＝3.∵C(1，0)，A(－3，0)，∴AC＝4，∴S△ABC＝AC·OB＝×4×3＝6；【思维教练】由点A，C的坐标可得边AC的长，由点B的纵坐标，可得OB的长，从而利用三角形面积公式计算．(2)求△ABC的面积；例1题图②(2)∵B(0，3)，【思(3)过点B作BE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，求△ABE的面积；例1题图③【思维教练】因为BE∥x轴，结合抛物线的对称性，点B与点E的纵坐标相同，求得点E坐标，得到BE的长，从而利用三角形面积公式求解即可．(3)∵点B(0，3)，BE∥x轴，∴点E的纵坐标为3，∴点E与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点E的横坐标为－2－0＝－2.∴BE的长为2，∴S△ABE＝BE·|yE|＝×2×3＝3；(3)过点B作BE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，求△ABE(4)D为抛物线顶点，连接AD，BD，求△ABD的面积；例1题解图①【思维教练】因为△ABD面积无法直接计算，可过点D作x轴的垂线，将△ABD分为两个三角形，利用点D的坐标和直线AB的解析式得到对应线段长度，从而求出△ABD的面积．(4)如解图①，过点D作DG⊥x轴于点G，交直线AB于点H，由(1)知y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∵D为抛物线顶点，∴点D的坐标为(－1，4)．∵DG⊥x轴，例1题图④(4)D为抛物线顶点，连接AD，BD，求△ABD的面积；例1∴点H的横坐标为－1，点G的坐标为(－1，0)，∴AG＝－1－(－3)＝2，GO＝0－(－1)＝1.∵A(－3，0)，B(0，3)，∴设直线AB的解析式为y＝kx＋3(k≠0)，将点A(－3，0)代入y＝kx＋3得0＝－3k＋3，解得k＝1.∴直线AB的解析式为y＝x＋3.∵点H在直线AB上，∴点H的纵坐标为y＝－1＋3＝2，∴点H的坐标为(－1，2)．∴DH＝4－2＝2.∴点H的横坐标为－1，点G的坐标为(－1，0)，∴S△ABD＝S△ADH＋S△BDH＝DH·AG＋DH·OG＝×2×2＋×2×1＝3.∴S△ABD＝S△ADH＋S△BDH【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑M点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：①点M在直线AB的上方，可先设出M点的横坐标并用其表示△ABM的面积，再列方程求解；②点M在直线AB的下方，可通过平移直线AB，使其经过点C，利用“同底等高的三角形面积相等”来求解．(5)在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM＝S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图⑤【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑M点的不同(5)存在．(i)如解图②，当点M在直线AB的上方时，过点M作MM′⊥x轴交直线AB于点N，交x轴于点M′，连接AM，BM，设点M的坐标为(m，－m2－2m＋3)，例1题解图②由(4)知直线AB的解析式为y＝x＋3，则N(m，m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m，∴S△ABM＝S△AMN＋S△BMN＝MN·AO(5)存在．例1题解图②由(4)知直线AB的解析式为y＝x＋＝×3×(－m2－3m)＝－m2－m，根据题意，知S△ABM＝S△ABC＝6，则－m2－m＝6，即m2＋3m＋4＝0，此方程无解，则不存在这样的点M；＝×3×(－m2－3m)(ii)如解图③，当点M在直线AB的下方时，例1题解图③∵S△ABM＝S△ABC，∴以AB作底，只要△ABM与△ABC的高相等即可．故平移直线AB，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的交点即为M.设平移后的直线CM的解析式为y＝x＋3＋b，将点C(1，0)代入得b＝－4，∴直线CM的解析式为y＝x－1，与抛物线联立得(ii)如解图③，当点M在直线AB的下方时，例1题解图③∵S解得(舍去)，∴存在这样的点M，其坐标为(－4，－5)；解得(舍去)，(6)N是线段AB上一点，过点N作NN′⊥x轴，若△ABC的面积被直线NN′分为1∶2的两部分，求点N的坐标；例1题图⑥【思维教练】由题意知，NN′将△ABC分成△ANN′和四边形NN′CB，且无法知道其对应面积比值，因此要分情况进行讨论：①△ANN′的面积占△ABC面积的；②△ANN′的面积占△ABC面积的.(6)N是线段AB上一点，过点N作NN′⊥x轴，若△ABC的(6)由(2)知△ABC的面积为6，设N(n，n＋3)(－3<n<0)，①当S△ANN′＝S△ABC＝2时，即S△ANN′＝(n＋3)(n＋3)＝2，解得n1＝－1，n2＝－5(舍去)，∴N(－1，2)；②当S△ANN′＝S△ABC＝4时，即S△ANN′＝(n＋3)(n＋3)＝4，解得n1＝2－3，n2＝－2－3(舍去)，∴N(2－3，2)，综上所述，点N的坐标为(－1，2)或(2－3，2)；(6)由(2)知△ABC的面积为6，设N(n，n＋3)(－3(7)已知P是直线AB上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为p，求四边形AOBP面积的最大值．例1题图⑦【思维教练】要求四边形AOBP面积的最大值，观察可得不易采用面积公式直接求解，则此时需想到用“分割法”，将其面积分割为△ABP与△AOB的面积之和，△AOB的面积为定值，所以只需求△ABP面积的最大值，即可求得四边形AOBP面积的最大值.(7)已知P是直线AB上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为p(7)∵S四边形AOBP＝S△ABP＋S△AOB，S△AOB＝AO·OB＝×3×3＝，∴要求四边形AOBP面积的最大值，只需求△ABP面积的最大值．∵点P在抛物线上，∴点P的坐标为(p，－p2－2p＋3)．例1题解图④如解图④，过点P作PP′∥y轴交直线AB于点P′，则P′(p，p＋3)，∴PP′＝－p2－2p＋3－(p＋3)＝－p2－3p，∴S△ABP＝S△APP′＋S△BPP′(7)∵S四边形AOBP＝S△ABP＋S△AOB，例1题解图＝PP′·AO＝(－p2－3p)×3＝－p2－p＝－(p＋)2＋，∴当p＝－时，S△ABP有最大值，最大值为，∴S四边形AOBP的最大值为＋＝.＝PP′·AO满分技法

方法1：直接公式法

方法2：铅垂高、水平宽法适用情况直接使用三角形的面积公式S＝AB·h，其中AB是平行坐标轴或在坐标轴上的边，h为AB边上的高．适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)图形满分技法方法1：直接公式法方法2：铅垂高、水平宽法适用情满分技法面积S△ABC＝(xB－xA)·|yC|S△ABC＝(xC－xB)·(yA－yB)S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝BD·(AE＋CF)＝(xB－xD)·(yC－yA)S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝(yD－yB)·(xC－xA)注xA、xB、xC、xD分别表示点A、B、C、D的横坐标，yA、yB、yC、yD分别表示点A、B、C、D的纵坐标．【拓展】对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形来解决.满分技法面积S△ABC＝(xB－xA)·|yC|S1.已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；解：(1)不等式b＋2c＋8≥0成立．(1分)理由如下：∵二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，∴综合提升二阶1.已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3解得，(3分)∴b＋2c＋8＝0.∴不等式b＋2c＋8≥0成立；(4分)解得，(3分)(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．(2)∵由(1)知，∴二次函数y＝－2x2＋bx＋c＝－2x2＋12x－10.由题意可得点A的坐标为(3，0)，设M(x，－2x2＋12x－10)．(5分)当点M在x轴上方时，S＝OA·ym＝×3×(－2x2＋12x－10)，(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．(由S＝9得－2x2＋12x－10＝6，解得x1＝2，x2＝4.当点M在x轴下方时，S＝OA·(－ym)＝×3×[－(－2x2＋12x－10)]，由S＝9得2x2－12x＋10＝6，即x2－6x＋2＝0，解得x3＝3－，x4＝3＋，∴满足S＝9的所有点M的坐标为(2，6)，(4，6)，(3－，－6)，(3＋，－6)．(8分)由S＝9得－2x2＋12x－10＝6，2.如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；第2题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，∴，(1分)解得，(2分)2.如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴∴抛物线的解析式为y＝x2－4x.(3分)∵点O(0，0)与点A关于对称轴x＝2对称，∴A(4，0)．由图象可知，当y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；(4分)∴抛物线的解析式为y＝x2－4x.(3分)(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．设点P(t，t2－4t)，∵B(1，－3)，A(4，0)，∴F(t，0)，E(1，0)，∴AE＝3，BE＝3，AF＝4－t，PF＝t2－4t，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°.第2题解图FE(2)如解图，过点P作PF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥OA于点E，(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△P∵PA⊥BA，∴∠PAB＝90°，即∠PAO＝45°，∴△PAF为等腰直角三角形，即AF＝PF，∴4－t＝t2－4t，解得t1＝4(舍去)，t2＝－1，∴P(－1，5)．(6分)∴PA＝＝

，(7分)BA＝＝

，(8分)∴S△PAB＝PA·AB＝×5×3＝15.(9分)∵PA⊥BA，∴P(－1，5)．(6分)3.如图，两条抛物线y1＝－x2＋4，y2＝－x2＋bx＋c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．(1)求抛物线y2的解析式和点B的坐标；第3题图解：(1)当y1＝0时，即－x2＋4＝0，解得x＝±2，∵点A在x轴负半轴上，∴A(－2，0)．(1分)∵y2＝－x2＋bx＋c的最高点为A(－2，0)，3.如图，两条抛物线y1＝－x2＋4，y2＝－x∴，解得.(2分)∴抛物线y2的解析式为y2＝－x2－x－.(3分)∴当y1＝y2时，即－x2－x－＝－x2＋4，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)．(4分)∴当x＝3时，y＝－32＋4＝－5，∴B(3，－5)．(5分)当y1＝y2时，即－x2－x－(2)点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D.当线段CD取最大值时，求S△BCD.(2)设点C(m，－m2＋4)，则点D(m，－m2－m－)，∵点C是抛物线y1上点A，B之间的一点，∴－2<m<3.∴CD＝－m2＋4－(－m2－m－)＝－m2＋m＋.(6分)(2)点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线当m＝－＝时，CD有最大值，即CD＝－×()2＋×＋＝5.(7分)如解图，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接BC、DE.∵点C的横坐标为，点B的横坐标为3，∴BE＝3－＝，∴S△BCD＝CD·BE＝×5×＝.(8分)第3题解图当m＝－＝时，CD有最例2题图①类型二与线段有关的问题设问突破一阶例2如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x－2交于点A、C，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；例2题图①类型二与线段有关的问题设问突破一阶例2如图，抛解：(1)由直线解析式得点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，－2)，∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线交于A、C两点，∴点A(4，0)，C(0，－2)在抛物线上，将点A(4，0)，C(0，－2)代入抛物线解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－2；解：(1)由直线解析式得点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2)设E为x轴上一点，当AE＝CE时，求点E的坐标；(2)如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则AE＝4－e.在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝(－2)2＋e2＝4＋e2，∵AE＝CE，∴(4－e)2＝4＋e2，解得e＝，∴点E的坐标为(，0)；例2题解图①【思维教练】设出点E的坐标，表示出AE的长，CE的长可利用勾股定理表示，联立方程即可求出点E的坐标．E(2)设E为x轴上一点，当AE＝CE时，求点E的坐标；(2)例2题图②(3)设P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点H，求当PH值最大时，点P的坐标；【思维教练】设点P的横坐标，由PH∥y轴，则点P，H的横坐标相同，再由点P在抛物线上，点H在直线AC上，可分别表示出点P，H的纵坐标，则PH＝yp－yH，进而利用二次函数性质求解．例2题图②(3)设P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作y(3)设点P(x，－x2＋x－2)，则H(x，x－2)，∴PH＝－x2＋x－2－x＋2＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2，∴当x＝2时，PH值最大，最大值为2.此时，点P的坐标为(2，1)；(3)设点P(x，－x2＋x－2)，则H(4)在(3)中，过点P作PD⊥AC，求PD的最大值；【思维教练】要求PD的最大值，不能直接用P，D坐标表示PD的长，可通过PH的长和锐角函数值来表示PD的长，通过二次函数的性质即可求得最值．(4)如解图②，由(3)知，PH＝－(x－2)2＋2，∵PH∥OC，∴∠PHD＝∠OCA.∵OC＝2，OA＝4，∴AC＝，例2题解图②(4)在(3)中，过点P作PD⊥AC，求PD的最大值；【思维∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCA＝PH＝－(x－2)2＋，∴当x＝2时，PD有最大值，最大值为；∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCA＝(5)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由．例2题图③【思维教练】因为BC长为定值，要使△BCF周长最小，即要使CF＋BF的值最小，由点A、B关于对称轴l对称，可知AC与对称轴l的交点即为点F，即可使CF＋BF最小．(5)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最∵BC为定值，且点B与点A关于直线l对称，∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F.∵抛物线对称轴为直线x＝－＝－＝，∴将x＝代入y＝x－2，得y＝×－2＝－，∴点F的坐标为(，－)．∴点B(1，0)．(5)存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF最小，如解图③所示．F例2题解图③∵BC为定值，且点B与点A关于直线l对称，(5)存在．要使△在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝＝，∵OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2，∴△BCF周长的最小值为BC＋BF＋CF＝BC＋AC＝＋2＝3.在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝例3已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B(A在B的左侧)，与y轴交于点C，P为抛物线上一点．(1)画出草图；函数微技能二阶(1)画出草图如例1题解图①例3题解图①例3已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B(A(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为_________________；(3)过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q.设点H的横坐标为t，则点P的坐标可表示为________________，点Q的坐标可表示为______________；(4)设点P的横坐标为t，将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点P的对应点P1的坐标可表示为______________________；(5)设点P的横坐标为t，若点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标可表示为___________________________．(t，－t2＋2t＋3)(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)(t－3，－t2＋2t＋5)(2－t，－t2＋2t＋3)(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为_______能力点一设点坐标①函数图象上的点满足函数解析式，两函数图象的交点同时满足这两个函数解析式；②垂直于x轴的直线上的点的横坐标相等；③垂直于y轴的直线上的点的纵坐标相等．能力点一设点坐标(6)若点P为直线BC上方抛物线上一点(点P不与点B、C重合)，过点P作PH⊥x

轴交线段BC于点Q.设点P的横坐标为t.①当Q为线段BC的中点时，点Q的坐标为_____________；②当Q为线段PH的中点时，点Q的坐标为_____________；③当点P到对称轴的距离为2(3)个单位长度时，点P的坐标为_____________．(，)(1，2)(，)(6)若点P为直线BC上方抛物线上一点(点P不与点B、C重合(7)若点P是第一象限内抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.用含t的代数式表示下面各距离．①点P到x轴的距离为_______________；②点P到y轴的距离为________；③点P到对称轴的距离为________；④过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ的长为____________；⑤点P到直线BC的距离为_____________.－t2＋2t＋3t|t－1|－t2＋3t(7)若点P是第一象限内抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.能力点三表示线段长①与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)；②与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左)；③斜线段时，可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理求解．能力点三表示线段长①与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减易错警示1.解决线段最值问题的方法：首先设出关键点的坐标(通常是一个与所求线段关系密切的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的坐标(横坐标)表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，进而得到线段的最大值或最小值．2.求线段和的最小值或周长最小值时不妨先联想到用“对称性质”，把要求的某些线段集中在一起，根据“两点之间线段最短”来解决．有以下两种模型：易错警示1.解决线段最值问题的方法：2.求线段和的最小值易错警示(1)一线两点型(如图①)已知一直线及直线同侧两点，在直线上找一点使其到已知两点的距离的和最小，通常作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点P即为所求点．图①易错警示(1)一线两点型(如图①)图①易错警示(2)两线一点型(如图②)已知两直线及两直线之间的一点，在两直线上分别找一点使其与已知点顺次连接的线段和(三角形周长)最小，通常分别作该点关于两直线的对称点，连接两对称点，与两条直线的交点即为满足条件的点，再根据题意求解．图②易错警示(2)两线一点型(如图②)图②综合提升三阶1.(2020省卷23题12分)抛物线y＝x2

＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3)．点P为抛物线y＝x2＋bx＋c上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.(1)求b、c的值；综合提升三阶1.(2020省卷23题12分)抛物线y＝x2解：(1)将A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得，(1分)解得.∴b＝－2，c＝－3；(3分)解：(1)将A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx(2)设点F在抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；(2)点F的坐标为(1，－2)；(7分)【解法提示】由(1)可知y＝x2－2x－3.当y＝0时，x2－2x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)，B(3，0)，在△ACF中，∵点A、C固定，∴三角形周长最小时，AF＋CF最小．由题意可知，点A关于对称轴的对称点为B.设直线BC的解析式为y＝kx－3.把B(3，0)代入，得3k－3＝0，∴k＝1，∴yBC＝x－3.∵抛物线对称轴为直线x＝－＝1，把x＝1代入得y＝1－3＝－2.∴F(1，－2)．(2)设点F在抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴上，当△ACF(3)在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在满足要求的点P，由(1)知y＝x2－2x－3.令y＝0，得0＝x2－2x－3，解得x1＝－1，x2＝3.∵A(－1，0)，∴B(3，0)．设直线BC对应的函数解析式为y＝kx＋m(k≠0)，第1题解图(3)在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点把B(3，0)，C(0，－3)代入y＝kx＋m，得，解得.∴直线BC对应的函数解析式为y＝x－3.如解图，设P(n，n2－2n－3)，根据题意得n>3，E(n，n－3)，D(n，0)，PE＝n2－3n，DE＝n－3.(9分)∵点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，把B(3，0)，C(0，－3)代入y＝kx＋m，∴以BE为底的△BEP的面积是以BE为底的△BED面积的5倍，即S△BEP＝5S△BED.∵S△BEP＝PE·BD，S△BED＝DE·BD，∴PE·BD＝5×DE·BD，∴PE＝5DE.(11分)∴n2－3n＝5(n－3)，即(n－3)(n－5)＝0，解得n＝3或n＝5.∵n>3，∴n＝5，y＝52－2×5－3＝12.∴点P的坐标为(5，12)．(12分)∴以BE为底的△BEP的面积是以BE为底的△BED面积的5倍第八节二次函数综合题第八节二次函数综合题类型一与面积有关的问题设问突破一阶例1如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，C两点，与y轴交于点B(0，3)，连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；例1题图①类型一与面积有关的问题设问突破一阶例1如图，已知抛物线y解：(1)将B(0，3)和A(－3，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，当y＝0时，解得x1＝1，x2＝－3，∴C(1，0)；解：(1)将B(0，3)和A(－3，0)代入y＝－x2＋bx(2)求△ABC的面积；例1题图②(2)∵B(0，3)，∴OB＝3.∵C(1，0)，A(－3，0)，∴AC＝4，∴S△ABC＝AC·OB＝×4×3＝6；【思维教练】由点A，C的坐标可得边AC的长，由点B的纵坐标，可得OB的长，从而利用三角形面积公式计算．(2)求△ABC的面积；例1题图②(2)∵B(0，3)，【思(3)过点B作BE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，求△ABE的面积；例1题图③【思维教练】因为BE∥x轴，结合抛物线的对称性，点B与点E的纵坐标相同，求得点E坐标，得到BE的长，从而利用三角形面积公式求解即可．(3)∵点B(0，3)，BE∥x轴，∴点E的纵坐标为3，∴点E与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点E的横坐标为－2－0＝－2.∴BE的长为2，∴S△ABE＝BE·|yE|＝×2×3＝3；(3)过点B作BE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，求△ABE(4)D为抛物线顶点，连接AD，BD，求△ABD的面积；例1题解图①【思维教练】因为△ABD面积无法直接计算，可过点D作x轴的垂线，将△ABD分为两个三角形，利用点D的坐标和直线AB的解析式得到对应线段长度，从而求出△ABD的面积．(4)如解图①，过点D作DG⊥x轴于点G，交直线AB于点H，由(1)知y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∵D为抛物线顶点，∴点D的坐标为(－1，4)．∵DG⊥x轴，例1题图④(4)D为抛物线顶点，连接AD，BD，求△ABD的面积；例1∴点H的横坐标为－1，点G的坐标为(－1，0)，∴AG＝－1－(－3)＝2，GO＝0－(－1)＝1.∵A(－3，0)，B(0，3)，∴设直线AB的解析式为y＝kx＋3(k≠0)，将点A(－3，0)代入y＝kx＋3得0＝－3k＋3，解得k＝1.∴直线AB的解析式为y＝x＋3.∵点H在直线AB上，∴点H的纵坐标为y＝－1＋3＝2，∴点H的坐标为(－1，2)．∴DH＝4－2＝2.∴点H的横坐标为－1，点G的坐标为(－1，0)，∴S△ABD＝S△ADH＋S△BDH＝DH·AG＋DH·OG＝×2×2＋×2×1＝3.∴S△ABD＝S△ADH＋S△BDH【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑M点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：①点M在直线AB的上方，可先设出M点的横坐标并用其表示△ABM的面积，再列方程求解；②点M在直线AB的下方，可通过平移直线AB，使其经过点C，利用“同底等高的三角形面积相等”来求解．(5)在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM＝S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图⑤【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑M点的不同(5)存在．(i)如解图②，当点M在直线AB的上方时，过点M作MM′⊥x轴交直线AB于点N，交x轴于点M′，连接AM，BM，设点M的坐标为(m，－m2－2m＋3)，例1题解图②由(4)知直线AB的解析式为y＝x＋3，则N(m，m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m，∴S△ABM＝S△AMN＋S△BMN＝MN·AO(5)存在．例1题解图②由(4)知直线AB的解析式为y＝x＋＝×3×(－m2－3m)＝－m2－m，根据题意，知S△ABM＝S△ABC＝6，则－m2－m＝6，即m2＋3m＋4＝0，此方程无解，则不存在这样的点M；＝×3×(－m2－3m)(ii)如解图③，当点M在直线AB的下方时，例1题解图③∵S△ABM＝S△ABC，∴以AB作底，只要△ABM与△ABC的高相等即可．故平移直线AB，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的交点即为M.设平移后的直线CM的解析式为y＝x＋3＋b，将点C(1，0)代入得b＝－4，∴直线CM的解析式为y＝x－1，与抛物线联立得(ii)如解图③，当点M在直线AB的下方时，例1题解图③∵S解得(舍去)，∴存在这样的点M，其坐标为(－4，－5)；解得(舍去)，(6)N是线段AB上一点，过点N作NN′⊥x轴，若△ABC的面积被直线NN′分为1∶2的两部分，求点N的坐标；例1题图⑥【思维教练】由题意知，NN′将△ABC分成△ANN′和四边形NN′CB，且无法知道其对应面积比值，因此要分情况进行讨论：①△ANN′的面积占△ABC面积的；②△ANN′的面积占△ABC面积的.(6)N是线段AB上一点，过点N作NN′⊥x轴，若△ABC的(6)由(2)知△ABC的面积为6，设N(n，n＋3)(－3<n<0)，①当S△ANN′＝S△ABC＝2时，即S△ANN′＝(n＋3)(n＋3)＝2，解得n1＝－1，n2＝－5(舍去)，∴N(－1，2)；②当S△ANN′＝S△ABC＝4时，即S△ANN′＝(n＋3)(n＋3)＝4，解得n1＝2－3，n2＝－2－3(舍去)，∴N(2－3，2)，综上所述，点N的坐标为(－1，2)或(2－3，2)；(6)由(2)知△ABC的面积为6，设N(n，n＋3)(－3(7)已知P是直线AB上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为p，求四边形AOBP面积的最大值．例1题图⑦【思维教练】要求四边形AOBP面积的最大值，观察可得不易采用面积公式直接求解，则此时需想到用“分割法”，将其面积分割为△ABP与△AOB的面积之和，△AOB的面积为定值，所以只需求△ABP面积的最大值，即可求得四边形AOBP面积的最大值.(7)已知P是直线AB上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为p(7)∵S四边形AOBP＝S△ABP＋S△AOB，S△AOB＝AO·OB＝×3×3＝，∴要求四边形AOBP面积的最大值，只需求△ABP面积的最大值．∵点P在抛物线上，∴点P的坐标为(p，－p2－2p＋3)．例1题解图④如解图④，过点P作PP′∥y轴交直线AB于点P′，则P′(p，p＋3)，∴PP′＝－p2－2p＋3－(p＋3)＝－p2－3p，∴S△ABP＝S△APP′＋S△BPP′(7)∵S四边形AOBP＝S△ABP＋S△AOB，例1题解图＝PP′·AO＝(－p2－3p)×3＝－p2－p＝－(p＋)2＋，∴当p＝－时，S△ABP有最大值，最大值为，∴S四边形AOBP的最大值为＋＝.＝PP′·AO满分技法

方法1：直接公式法

方法2：铅垂高、水平宽法适用情况直接使用三角形的面积公式S＝AB·h，其中AB是平行坐标轴或在坐标轴上的边，h为AB边上的高．适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)图形满分技法方法1：直接公式法方法2：铅垂高、水平宽法适用情满分技法面积S△ABC＝(xB－xA)·|yC|S△ABC＝(xC－xB)·(yA－yB)S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝BD·(AE＋CF)＝(xB－xD)·(yC－yA)S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝(yD－yB)·(xC－xA)注xA、xB、xC、xD分别表示点A、B、C、D的横坐标，yA、yB、yC、yD分别表示点A、B、C、D的纵坐标．【拓展】对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形来解决.满分技法面积S△ABC＝(xB－xA)·|yC|S1.已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；解：(1)不等式b＋2c＋8≥0成立．(1分)理由如下：∵二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，∴综合提升二阶1.已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3解得，(3分)∴b＋2c＋8＝0.∴不等式b＋2c＋8≥0成立；(4分)解得，(3分)(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．(2)∵由(1)知，∴二次函数y＝－2x2＋bx＋c＝－2x2＋12x－10.由题意可得点A的坐标为(3，0)，设M(x，－2x2＋12x－10)．(5分)当点M在x轴上方时，S＝OA·ym＝×3×(－2x2＋12x－10)，(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．(由S＝9得－2x2＋12x－10＝6，解得x1＝2，x2＝4.当点M在x轴下方时，S＝OA·(－ym)＝×3×[－(－2x2＋12x－10)]，由S＝9得2x2－12x＋10＝6，即x2－6x＋2＝0，解得x3＝3－，x4＝3＋，∴满足S＝9的所有点M的坐标为(2，6)，(4，6)，(3－，－6)，(3＋，－6)．(8分)由S＝9得－2x2＋12x－10＝6，2.如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；第2题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，∴，(1分)解得，(2分)2.如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴∴抛物线的解析式为y＝x2－4x.(3分)∵点O(0，0)与点A关于对称轴x＝2对称，∴A(4，0)．由图象可知，当y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；(4分)∴抛物线的解析式为y＝x2－4x.(3分)(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．设点P(t，t2－4t)，∵B(1，－3)，A(4，0)，∴F(t，0)，E(1，0)，∴AE＝3，BE＝3，AF＝4－t，PF＝t2－4t，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°.第2题解图FE(2)如解图，过点P作PF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥OA于点E，(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△P∵PA⊥BA，∴∠PAB＝90°，即∠PAO＝45°，∴△PAF为等腰直角三角形，即AF＝PF，∴4－t＝t2－4t，解得t1＝4(舍去)，t2＝－1，∴P(－1，5)．(6分)∴PA＝＝

，(7分)BA＝＝

，(8分)∴S△PAB＝PA·AB＝×5×3＝15.(9分)∵PA⊥BA，∴P(－1，5)．(6分)3.如图，两条抛物线y1＝－x2＋4，y2＝－x2＋bx＋c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．(1)求抛物线y2的解析式和点B的坐标；第3题图解：(1)当y1＝0时，即－x2＋4＝0，解得x＝±2，∵点A在x轴负半轴上，∴A(－2，0)．(1分)∵y2＝－x2＋bx＋c的最高点为A(－2，0)，3.如图，两条抛物线y1＝－x2＋4，y2＝－x∴，解得.(2分)∴抛物线y2的解析式为y2＝－x2－x－.(3分)∴当y1＝y2时，即－x2－x－＝－x2＋4，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)．(4分)∴当x＝3时，y＝－32＋4＝－5，∴B(3，－5)．(5分)当y1＝y2时，即－x2－x－(2)点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D.当线段CD取最大值时，求S△BCD.(2)设点C(m，－m2＋4)，则点D(m，－m2－m－)，∵点C是抛物线y1上点A，B之间的一点，∴－2<m<3.∴CD＝－m2＋4－(－m2－m－)＝－m2＋m＋.(6分)(2)点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线当m＝－＝时，CD有最大值，即CD＝－×()2＋×＋＝5.(7分)如解图，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接BC、DE.∵点C的横坐标为，点B的横坐标为3，∴BE＝3－＝，∴S△BCD＝CD·BE＝×5×＝.(8分)第3题解图当m＝－＝时，CD有最例2题图①类型二与线段有关的问题设问突破一阶例2如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x－2交于点A、C，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；例2题图①类型二与线段有关的问题设问突破一阶例2如图，抛解：(1)由直线解析式得点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，－2)，∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线交于A、C两点，∴点A(4，0)，C(0，－2)在抛物线上，将点A(4，0)，C(0，－2)代入抛物线解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－2；解：(1)由直线解析式得点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2)设E为x轴上一点，当AE＝CE时，求点E的坐标；(2)如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则AE＝4－e.在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝(－2)2＋e2＝4＋e2，∵AE＝CE，∴(4－e)2＝4＋e2，解得e＝，∴点E的坐标为(，0)；例2题解图①【思维教练】设出点E的坐标，表示出AE的长，CE的长可利用勾股定理表示，联立方程即可求出点E的坐标．E(2)设E为x轴上一点，当AE＝CE时，求点E的坐标；(2)例2题图②(3)设P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点H，求当PH值最大时，点P的坐标；【思维教练】设点P的横坐标，由PH∥y轴，则点P，H的横坐标相同，再由点P在抛物线上，点H在直线AC上，可分别表示出点P，H的纵坐标，则PH＝yp－yH，进而利用二次函数性质求解．例2题图②(3)设P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作y(3)设点P(x，－x2＋x－2)，则H(x，x－2)，∴PH＝－x2＋x－2－x＋2＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2，∴当x＝2时，PH值最大，最大值为2.此时，点P的坐标为(2，1)；(3)设点P(x，－x2＋x－2)，则H(4)在(3)中，过点P作PD⊥AC，求PD的最大值；【思维教练】要求PD的最大值，不能直接用P，D坐标表示PD的长，可通过PH的长和锐角函数值来表示PD的长，通过二次函数的性质即可求得最值．(4)如解图②，由(3)知，PH＝－(x－2)2＋2，∵PH∥OC，∴∠PHD＝∠OCA.∵OC＝2，OA＝4，∴AC＝，例2题解图②(4)在(3)中，过点P作PD⊥AC，求PD的最大值；【思维∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCA＝PH＝－(x－2)2＋，∴当x＝2时，PD有最大值，最大值为；∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCA＝(5)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由．例2题图③【思维教练】因为BC长为定值，要使△BCF周长最小，即要使CF＋BF的值最小，由点A、B关于对称轴l对称，可知AC与对称轴l的交点即为点F，即可使CF＋BF最小．(5)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最∵BC为定值，且点B与点A关于直线l对称，∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F.∵抛物线对称轴为直线x＝－＝－＝，∴将x＝代入y＝x－2，得y＝×－2＝－，∴点F的坐标为(，－)．∴点B(1，0)．(5)存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF最小，如解图③所示．F例2题解图③∵BC为定值，且点B与点A关于直线l对称，(5)存在．要使△在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝＝，∵OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2，∴△BCF周长的最小值为BC＋BF＋CF＝BC＋AC＝＋2＝3.在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝例3已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B(A在B的左侧)，与y轴交于点C，P为抛物线上一点．(1)画出草图；函数微技能二阶(1)画出草图如例1题解图①例3题解图①例3已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B(A(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为_________________；(3)过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q.设点H的横坐标为t，则点P的坐标可表示为________________，点Q的坐标可表示为______________；(4)设点P的横坐标为t，将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点P的对应点P1的坐标可表示为______________________；(5)设点P的横坐标为t，若点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标可表示为___________________________．(t，－t2＋2t＋3)(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)(t－3，－t2＋2t＋5)(2－t，－t2＋2t＋3)(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为_______能力点一设点坐标①函数图象上的点满足函数解析式，两函数图象的交点同时满足这两个函数解析式；②垂直于x轴的直线上的点的横坐标相等；③垂直于y轴的直线上的点的纵坐标相等．能力点一设点坐标(6)若点P为直线BC上方抛物线上一点(点P不与点B、C重合)，过点P作PH⊥x

轴交线段BC于点Q.设点P的横坐标为t.①当Q为线段BC的中点时，点Q的坐标为_____________；②当Q为线段PH的中点时，点Q的坐标为_____________；③当点P到对称轴的距离为