2022年高考数学空间几何体及其表面积和体积知识点专项练习含答案

专题27空间几何体及其表面积和体积一、单选题（本大题共12小题，共60分）3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即“积层造型法”).过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用3D打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为102cm，母线与底面所成角的正切值为2.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取π=3.14，精确到0.1)(

)A.609.4 g B.447.3 g C.398.3 g D.357.3 g已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为(    )A.2：1 B.7：4 C.3：1 D.5：3“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其体积为(

)A.4023 B.5 C.173在三棱锥P-ABC中，△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB=3，AC=23，∠CAB=60°，则三棱锥P-ABC的外接球体积为(

)A.4π3 B.123π3公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式V=kD3求体积(在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a)、等边圆柱(底面圆的直径为a)、正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k1、k2、kA.14:16:1已知三棱锥P-ABC的底面是正三角形，PA=a，点A在侧面PBC内的射影H是△PBC的垂心，当三棱锥P-ABC体积最大值时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为A.43a3 B.3πa如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为()A.4πB.5πC.6πD.8π伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为(    )A.B.C.D.

体积为3的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为(    )A.773π B.287如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD=33.若该三棱柱的外接球O的表面积为12πA.362 B.3154如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为(    )A.6+23 B.6+如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AD与BC的夹角为θ，则sinθ2A.66B.24C.306二、单空题（本大题共6小题，共30分）已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足BA=BC=6，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为

．某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，己知该圆锥的底面半径R=3，正三棱柱的底面棱长a=3，且圆锥的侧面展开图的圆心角为6π5，则该几何体的体积为________．已知三棱锥P-ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，M，N分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则M、N两点间的距离最大值为___________．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ-ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点，，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ-ABCD的体积为___________(体积单位：立方丈)．

已知四面体ABCD内接于球O，且AB=BC=2,AC=2，若四面体ABCD的体积为233，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是在三棱锥P-ABC中，CA=CB=2，AC⊥BC，P在平面ABC内的投影为AB的中点O1，设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若V∈19,23三、解答题（本大题共2小题，共30分）11．如图所示，已知平行六面体，E是中点，过的截面把平行六面体分成两个部分，求左右两部分体积之比.12．如图所示，已知直三棱柱中，是用一平面截得的截面，且，若的面积为S，求证：介于截面与下底面之间的几何体的体积为.专题27空间几何体及其表面积和体积一、单选题（本大题共12小题，共60分）3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即“积层造型法”).过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用3D打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为102cm，母线与底面所成角的正切值为2.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取π=3.14，精确到0.1)(A.609.4 g B.447.3 g C.398.3 g D.357.3 g【答案】C【解析】解：如图，是几何体的轴截面，

因为圆锥底面直径为102cm，

所以半径为52cm．

因为母线与底面所成角的正切值为2，

所以圆锥的高为10cm．

设正方体的棱长为a，

则22a52=10-a10，解得a=5，

所以该模型的体积为．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为(    )A.2：1 B.7：4 C.3：1 D.5：3【答案】B【解析】解：设正三棱锥P-ABC的底面边长为2a，高为h，如图所示：

则圆柱高为h2，底面圆半径为33a，

利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径R=h216+a23．

由h=2R，可求得h=43a．

设正三棱锥P-ABC的外接球的半径为r，

则球心到底面距离为h-r，OA=23a3“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其体积为(

)A.4023 B.5 C.173【答案】D【解析】解：将该多面体放入正方体中，如图所示．由于多面体的棱长为2，则正方体的棱长为2．该多面体是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得的，所以该多面体的体积为23-8×13×在三棱锥P-ABC中，△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB=3，AC=23，∠CAB=60°，则三棱锥P-ABC的外接球体积为(A.4π3 B.123π3【答案】C【解析】解：如图所示：

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=32+232-2×3×23×12=9，则BC=3，

则有AC2=BC2+AB2，所以△ABC是Rt△，取AC的中点D，连接BD，PD，

则△ABC的外心是点D，又因为△PAC是等边三角形，所以PD⊥AC

而平面PAC⊥平面ABC，所以PD⊥平面ABC，

所以外接球球心O必在PD上，连接OB，

设球半径为R，△ABC外接圆半径为r，三棱锥的高为公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式V=kD3求体积(在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a)、等边圆柱(底面圆的直径为a)、正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k1、k2A.14:16:1【答案】D【解析】解：∵V1=43πR3=43π(a2)已知三棱锥P-ABC的底面是正三角形，PA=a，点A在侧面PBC内的射影H是△PBC的垂心，当三棱锥P-ABC体积最大值时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为A.43a3 B.3πa【答案】B【解析】解：根据题意，延长PH交BC于D，连接AD，

∵H是△PBC的垂心，∴BC⊥PD，

∵AH⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴AH⊥BC，

又AH⊂平面APD，PD⊂平面PAD，AH∩PD=H，

∴BC⊥平面APD，又AD⊂平面APD，

∴BC⊥AD，

连接BH并延长交PC于E，连接AE，

由AH⊥平面PBC可得AH⊥PC，

又BE⊥PC，AH∩BE=H，

∴PC⊥平面ABE，∴AB⊥PC．

设P在平面ABC上的射影为O，延长CO交AB于F，连接PF．

∵PO⊥AB，PC∩PO=P，

∴AB⊥平面PCF．

∴PF⊥AB，CF⊥AB．

∴O是△ABC的中心，F是AB的中点，

∴PB=PA=a=PC，

当PA，PB，PC两两垂直时，三棱锥P-ABC体积取得最大值时，

三棱锥P-ABC的外接球的半径R满足：

(2R)2=3×a2，解得R=32a．

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为(A.4πB.5πC.6πD.8π【答案】B【解析】解：设底面圆半径为r，由母线长为4，

所以侧面展开扇形的圆心角为α=2πr4=πr2；

将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，

最短距离为BM，如图所示：

在△ABM中，

BM=42+22-2×4×2×cosπr2=20-16cosπr2伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为(    )A.B.C.D.【答案】A【解析】解：∵球内切于圆柱，所以圆柱高h等于球直径2R，圆柱底面积S底等于球最大横截面面积S，

圆柱体积V圆柱=S底×h，

球体积V球=43πR3，

球最大横截面积S=π×R2，

∴圆柱体积与球体积比为：，

圆锥的体积，

体积为3的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为(    )A.773π B.287【答案】B【解析】解：因为VP-ABC=13PA·SΔABC=13×2×12×AB×BC×sin120°=3，

所以AB·BC=6，

在△ABC中，由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=AB2+BC2+AB·BC≥3AB·BC=18，

当AB=BC时取等号，

所以AC≥32，

设△ABC外接圆的半径为r，球O的半径为R，

则由正弦定理有2r=ACsin∠ABC≥26，r≥6，如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD=33.若该三棱柱的外接球OA.362 B.3154【答案】A【解析】由展开图可知，直三棱柱ABC-A1B其外接圆的半径满足2r=3sin60º=2由4πR2=12π球心O到底面ABC的距离为d=R结合球和直三棱柱的对称性可知，AA则直三棱柱ABC-A1B故选A．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A'，若点G及四面体A'DEF的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为(    )A.6+23 B.6+【答案】A【解析】解：由题意可知△A'EF是等腰直角三角形，且A'D⊥平面A'EF，三棱锥的底面A'EF扩展为边长为2的正方形，

然后扩展为正四棱柱，此正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高是4，

三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，

直径为：4+4+16=24．

∴球的半径为R=6，

∴设△DEF的外接圆的半径为r，

∵DE=DF=22+42=25，EF=22，

∴EF边上的高为252-22=32，

∴sin∠DEF=3225，

∴2r=25322如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AD与BC的夹角为θ，则sinA.66B.24C.306【答案】A【解析】解：设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为22+22+222=3，

∴内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例，

依题意CD，AB最长为(3)2-12=2，AC最长为小球的直径2．

∵三角形的面积S=12⋅ab⋅sinC，若a，b为定值，则C=π2时面积取得最大值．

画出图象如下图所示，其中A，C分别是所在正方形的中心，

O是正方体内切球与外接球的球心，CD//AD1，CD=AD1，CB1//AB，CB1=AB．

∵VA-BCD=13VABD1-C二、单空题（本大题共6小题，共30分）已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足BA=BC=6，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为

．【答案】32【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC为截面圆的直径，故外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，

∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，

棱锥的最大高度为PD，

∴13×12×6×6×PD=3，

解得PD=3，

设外接球的半径为R，则OD=3-R，OC=R，

在△ODC中，CD=12AC=3，

某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，己知该圆锥的底面半径R=3，正三棱柱的底面棱长a=3，且圆锥的侧面展开图的圆心角为6π5，则该几何体的体积为【答案】12π-2【解析】解：因为圆锥的底面半径R=3，圆锥的侧面展开图的圆心角为6π5，

设圆锥的母线长为l，则，解得l=5，

所以圆锥的高H1=52-32=4，圆锥的体积，

因为正三棱柱的底面棱长a=3，

所以底面三角形的高为3×32=32，

显然圆锥的底面圆心为正三棱柱的底面重心，

设正三棱柱的高为H2，则H2H1已知三棱锥P-ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，M，N分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则M、N两点间的距离最大值为___________．【答案】2+【解析】解：由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．

则三棱锥内切球球心O，外接球球心O2，

以及内切球与面ABC的切点G三点均在PD1上，且GO2=16PD1=33．

设内切球半径为r，外接球半径为R，则R=1222×3=3．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ-ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点，，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ-ABCD的体积为___________(体积单位：立方丈)．

【答案】5【解析】解：如图所示，该几何体可看作是由一个三棱柱和两个相同的四棱锥拼接而成，

其中三棱柱的底面为底边长3，高为1的等腰三角形，三棱柱的高为2，

所以三棱柱的体积为12×3×1×2=3，

每个四棱锥的底面均为矩形，该矩形相邻的边长分别为1、3，四棱锥的高为1，

所以两个四棱锥的体积之和为2×13×1×3×1=2，

所以该楔体PQ-