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青岛版九年级上册数学全册优质课件第一章图形的相似

相似多边形1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形的概念；2.理解相似图形的性质和判定。请观察下面几组图片，你能发现它们有什么特点吗？形状相同，大小不一定相同探究1：相似形

形状相同的平面图形叫做相似形。两两相似的几何图形ABDF想一想下列图形中，能确定相似的有（）A.两个半径不相等的圆；B.所有的等边三角形；C.所有的等腰三角形；D.所有的正方形；E.所有的等腰梯形；F.所有的正六边形。下列图形中____与_____是相似的。（1）

（2）

（3）

（4）选一选（1）

（4）图（1）是两个相似的三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？对于图（2）中两个相似的四边形，它们的对应角、对应边是否有同样的结论？对应角相等对应边的比相等有对应角相等对应边的比相等（1）（2）探究2:相似多边形相似多边形各个角对应相等，各边对应成比例。相似多边形的定义:两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的性质：符号“∽”读作“相似于”四边形ABCD与四边形A´B´C´D´相似，记作四边形ABCD∽四边形A´B´C´D´。相似多边形对应边的比叫做相似比全等相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？【例1】如图，四边形AEFD∽EBCF。（1）写出它们相等的角及对应边的比例式；（2）若AD=3，EF=4，求BC的长。

A

D

E

FB

C解（1）在四边形AEFD和四边形EBCF中，∵四边形AEFD∽四边形EBCF,∴∠A=∠BEF，∠AEF=∠B，∠DFE=∠C，∠D=∠EFC。并且如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x。DABC182178°83°β24GEFHαx118°DABC18cm21cm78°83°β24cmGEFHαx118°BC83°在四边形ABCD中，∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°。∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°【解析】四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等。由此可得DABC18cm21cm78°83°β24cmGEFHαx118°四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边的比相等。由此可得解得x＝28cm。1．下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（）

A.1、2、3、4B.1、2、2、4

C.3、5、9、13D.1、2、2、3B2．下列说法中，错误的是（

）

A．等边三角形都相似

B．等腰直角三角形都相似

C．矩形都相似

D．正方形都相似C3.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边框，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）D4.在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离。设两地的实际距离为xcmx=300000000（cm）,x=3000km答：甲、乙两地的实际距离为3000km。【解析=5.如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度。532cd7.5ba69【解析】由图所示，

可知两图形的相似比为：b

=4.5a=3c

=4d

=61.经过这节课的学习，你有哪些收获？2.你想进一步探究的问题是什么？谢谢第一课时怎样判定三角形相似

如何不通过测量，快速将一条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是2：3？1.能够通过推理掌握平行线分线段成比例定理及其推论；2.能够利用平行线分线段成比例定理及其推论进行推理与计算。探究活动一如图，直线l1、l2被平行直线l3、l4所截，交点分别为A，B，C，D。过线段AB的中点E，作直线l5//l4，交l2与点F，F是线段DC的中点吗？如果是，证明你的结论。EBADFCl1

l2l3l4l5探究活动一若直线l3//l5//l4，AE=EB，则DF=FC即你能用语言叙述吗？EBADFCl1

l2l3l4l5

三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果？猜想：你能否利用所学过的相关知识进行说明？ABCDEFl1l2l3ll

探究活动二则：这时你想到了什么？AP1=P1B=BP2=P2P3=P3CDQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F设线段AB的中点为P1，线段BC的三等分点为P2，P3，分别过点P1，P2，P3作直线a1，a2，a3平行于l1与l

的交点分别为Q1，Q2，Q3。有：P1P2P3ABCDEFl1l2l3Q1Q2Q3a1a2a3ll

ABCDEFl1l2l3ll

ABCDEFl1l2l3ll

利用比例的基本性质，还能得到什么样的结论？把你得到的结论写在学案上。基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。同桌两个说一说

说明：①条件是“两条直线被一组平行线所截”。②结论是“对应线段成比例”，注意“对应”两字。怎样将一条长5厘米的细线分成两部分，使这两部分之比是2：3？ABC学以致用：

教材练习探究活动三在△ABC中，DE//BC。线段AD，ABAE，AC成比例吗？线段AD，AB，DE，BC呢？证明你的结论。平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。推论说出成比例线段

ab基本图形：“A”字形L1L2L3ABCDEF拓展延伸ab基本图形：“x”字形L1L2L3ABCD（E）F拓展延伸教材练习

如图，△ABC中，DE//BC，DF//AC，AE=4，EC=2，BC=8。求BF和CF的长。FACB分析：运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解。DE例题通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流。1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。2.推论：ABCDEFABCDEF3.几种基本图ABCDEDEOBC谢谢第二课时怎样判定三角形相似判定两个三角形相似的方法：

类比三角形全等的判定方法，相似三角形的判定方法有哪些？判定三角形全等有哪些方法？1.初步掌握两角对应相等的两个三角形相似的判定方法；2.能够运用相似三角形的判定方法进行简单的证明及计算。讨论交流在学案“课前预习”的探究中，你画的三角形与已知三角形相似吗？说说你的见解。探究活动如图，在△ABC和△A´B´C´中，∠A=∠A´，∠B=∠B´。试猜想：△ABC与△A´B´C´是否相似？证明你猜的结论。判定定理

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简单说成：两角对应相等，两三角形相似。判定定理用推理的形式来表达：

在△ABC

和△A´B´C´中，∵∠A=∠A´，∠B=∠B´，∴△ABC∽△A´B´C´。巩固练习一教材练习例题1.如图，已知点B、D分别是∠A的两边AC、AB上的点，连接BE，CD，相交于点O，如果∠BDC=∠BEC，那么图中有那几对相似三角形？说明理由。巩固练习二已知等腰三角形△ABC

和△A´B´C´中，∠A、∠A´，分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A´，那么ΔABC∽△A´B´C´②如果∠B=∠B´，那么ΔABC∽△A´B´C´例题2.求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。已知：如图，∆ABC中，CD是斜边上的高。求证：∆ABC∽∆CBD∽∆ACDADBC拓展延伸教材练习通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流1.相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；2.基本图形：DEOBCABCDEADBC谢谢第三课时怎样判定三角形相似判定两个三角形相似的方法：类比全等三角形的“边角边”判定定理，我们能得出相似的什么结论呢？判定三角形全等有哪些方法？1.探索并掌握两个三角形相似的判定定理2；2.会选择恰当的方法进行简单的证明及计算。探究活动画一画：同桌两人一人画△ABC，使AB=4厘米，∠B=50°，BC=6厘米；另一人画△DEF，使DE=2厘米，∠E=50°，EF=3厘米，如图，观察并思考以下问题：∠C与∠F，∠A与∠D是否相等？两三角形是否相似探究活动如图，在△ABC和△A´B´C´中，∠A=∠A´，

求证：△ABC∽△A´B´C´判定定理2两边成比例，且夹角相等两个三角形相似。∴△ABC∽△A´B´C´。∠A=∠A´

ABCA´B´C´这两个三角形不一定相似D对于△ABC和△A´B´C´中，∠B=∠B´，这两个三角形一定相似吗？试着画画看。

思考例题例2如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，△ADE和△ABC相似吗？说明理由。

如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2cm，AB=4cm，AC=8cm，求证：△ABD∽△ABC。

变式训练1ACDB如图，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件

，就可以使△ADE与原△ABC相似。●ABCE有几种填法？变式训练2拓展延伸挑战自我

如右图，ABCD，CDEF，EFGH是三个相连的正方形，连接AC，AF，AG。

问题1：图中△ACF∽△GCA吗？若相似写出证明过程，若不相似说明理由。问题2：找出图中相等的角。教材练习通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流。

1.相似三角形的判定定理2：两边成比例，且夹角相等两个三角形相似；2.相似三角形的识别方法；3.基本图形。ABCDEABCDE21OCBAD常见图形OCDABABCDE谢谢第四课时怎样判定三角形相似判定两个三角形相似的方法：类比全等三角形的“边边边”判定定理，我们能得出相似的什么结论呢？判定三角形全等有哪些方法？1.探索并掌握两个三角形相似的判定定理3；2.尝试选择判断两个三角形相似的方法，并能灵活解决简单的证明及计算。思考两三角形是否相似三组对应边的比相等探究活动画一画：同桌两人，一人画△ABC，使AB=2厘米，AC=3厘米，BC=4厘米；另一人画△DEF，DE=3厘米，DF=4.5厘米，EF=6厘米，画完后观察并思考以下问题：∠C与∠F，∠A与∠D是否相等？两三角形是否相似？探究活动求证：△ABC∽△A´B´C´判定定理3三边成比例的两个三角形相似。∽

我们有哪些方法可以识别三角形相似？请同学们归纳。议一议小试牛刀

1.图中的三角形相似吗？为什么？小试牛刀2.如图所示的两个三角形是否相似？议一议如图，相似吗？与

教材练习

教材例题试说明∠BAD=∠CAE。ADCEB变式训练教材练习拓展延伸教材练习

通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流

1.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似2.相似三角形的识别方法3.基本图形谢谢第五课时怎样判定三角形相似乐山大佛世界上最高的树——红杉世界上最高的楼——台北101大楼怎样测量这些非常高大物体的高度？世界上最宽的河——亚马孙河怎样测量河宽？利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度或高度的问题？1.理解判定三角形相似的条件。2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度的一些实际问题。

相似三角形的判定方法性质1：相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形的性质相似三角形的应用

在同一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？例题为了测量水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住。已知小亮的身高BC=1.6m，此时，他的影子的长AC=1m，他距水塔的底部E处11.5m，水塔的顶部为点D。根据以上数据，你能算出水塔的高度DE是多少吗？例题反思：测高的方法（1）说一说解决本题用到了哪些知识？（2）在同一时刻的太阳光下，物体的高度与它的影长成正比例，试用这一性质再设计一个测水塔高的方法。

如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。

为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D。此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB。

AEDCB例题例题反思：测高的方法

测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。

例题AEDCB教材练习拓展延伸教材练习

1.相似三角形的应用主要有两个方面：

（1）测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。（2）测距：测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流。2.解决相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题，根据实物画出符合题意的数学图形，并标上相应的字母；

（2）找出相似的三角形；分清对应边和对应角；（3）根据题意，求出答案。谢谢相似三角形的性质回顾全等三角形有哪些性质？类比全等三角形的性质，相似三角形还有哪些性质呢？根据定义相似三角形具有什么性质？

掌握相似三角形的有关性质，并能利用这些性质解决一些简单的问题。探究活动已知△ABC∽△A'B'C'，AD与A'D'分别是对应边BC与B'C'上的高。求证：相似三角形对应高线的比与相似比的关系：ABCDB’D’C’A’相似三角形的对应高线之比等于相似比。ABCDB’D’C’A’ΔABC∽ΔA′B′C′∵

∴用推理的形式来表达：结论：类比结论自主思考---CBAEA′C′B′E′结论：相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比。结论：相似三角形对应中线的比等于相似比。DCBAD'C'B'A'说说推理形式相似三角形周长的比与相似比的关系：类比思考ACBB′A′C′已知：求证：已知△ABC∽△A'B'C'，相似三角形面积的比与相似比的关系：探究活动ABCDA'D'C'B'相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。归纳：1.两个相似三角形的相似比为2：3，它们的对应边之比为________，周长之比为_______，面积之比为_________。2.若两个三角形面积之比为16：9，则它们的周长之比为_____。小试牛刀：

例1如图1-24，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=3∶1，△ABC的面积为48，求△ADE的面积。如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，求：（1）S△ADE：S△ABC

（2）S△ADE：S梯形DBCE

跟踪练习：教材练习例2如图1-25，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=12cm，高AD=8cm。现要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB，AC上，求裁出的正方形的边长。变式练习：

若四边形PQMN为矩形，边BC=12cm，高AD=8cm，且PN：PQ=2：1，求矩形PQMN的面积。

1.相似三角形对应边成比例，对应角相等；2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比；3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形的性质：通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流。谢谢第一课时图形的位似轴对称情境导入平移旋转？1.了解图形的位似，知道利用位似可以按指定的比例将一个图形放大或缩小。2.会按照给出的相似比画出与已知多边形位似的图形。学习目标

下图各组是经过放大或缩小得到的多边形，它们相似吗？如果相似，观察这种相似什么特征？是相似图形每组对应点连线相交于一点探究新知对应边互相平行或共线位似图形的概念

对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。BAA´EDCE´D´C´B´判断下列图形是不是位似图形.（1）相似五边形ABCDE与五边形A´B´C´D´E´（2）正方形ABCD与正方形A´B´C´D´CABD´C´B´A´D（3）等边三角形ABC与等边三角形A´B´C´C´CB´BA´A跟踪练习观察下列位似图形的位似中心，你发现了什么？结论：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个图形的同侧、异侧，图形的内部、边上或顶点上。DEFAOBC将△

ABC放大到（为）原来的2倍。DEFAOBC精讲点拨思考：作图时应注意什么？ABC0以0为位似中心把△ABC缩小为原来的一半。跟踪练习1.位似图形。2.利用位似的特殊性质可以把一个图形放大或缩小。课堂小结谢谢第二课时图形的位似1.什么叫做位似图形？2.怎样把一个图形放大或缩小？情境导入

在平面直角坐标系中，会通过坐标的变化把一个图形按一定比例放大或缩小，并掌握点的坐标变化的规律。学习目标（1）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4），（0，4）。

如果将点O，A，B，C的横、纵坐标都缩小一半，得到点O'，A'，B'，C'，顺次连接点O'，A'，B'，C'，得到了一个怎样的图形？实验与探究（2）四边形O'A'B'C'与矩形OABC是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？它们的相似比是多少？实验与探究规律总结位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。（3）如图，已知△OAB的顶点O是坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（-1，2），（-3，0）。

把△OAB各个顶点的横、纵坐标都扩大到原来的3倍，得到点O'，A'，B'。

连接O'A'，O'B'，A'B'，△O'A'B'与△OAB是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？实验与探究例2如图，四边形OABC

的顶点坐标分别为（0，0），（2，0），（4，4），（-2，2）（1）如果四边形O'A'B'C'

与四边形OABC

位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形OABC面积的倍，分别写出点A'，B'，C'

的坐标.（2）画出四边形OA'B'C'.精讲点拨跟踪练习1.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）

A.（﹣2，1） B.（﹣8，4）或（8，﹣4）

C.（﹣8，4）

D.（﹣2，1）或（2，﹣1）2.△ABO的顶点坐标是A（-3，3）、B（3，3）、O（0，0），试将△ABO放大，使放大后的△EFO与△ABO对应边的比为2：1，则E点坐标是（）

A.（-6，6）（6，6）B.（6，-6）（6，6）

C.（-6，6）（6，-6）D.（6，6）（-6，-6）课堂小结位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。谢谢第二单元解直角三角形锐角三角比学习目标1.了解直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切的概念，认识锐角三角比sin、cos、tan的符号。2.会求直角三角形中锐角的三角比。复习旧知导入新课ABC在Rt△ABC中，1.∠C=90°，∠A+∠B=

。三边的关系为：

思考：直角三角形边与角之间有什么关系？ABCB1C1C2C3C4B2B3B4

有一块长2米的平滑木板AB。小亮将它的一端B架高1米，另一端A放在平地上（如图），分别量得木板上的点B1，B2，B3，B4到A点的距离AB1，AB2，AB3，AB4与它们距地面的高度B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，数据如下表所示：木板上的点到A点的距离/米距地面的高度/米B10.800.40B21.000.50B31.200.60B41.500.75合作探究ABCB1C1C2C3C4B2B3B4木板上的点到A点的距离/米距地面的高度/米B10.800.40B21.000.50B31.200.60B41.500.75

利用上述数据，计算，，，，的值，你有什么发现？

ABBC111ABCB222ABCB333ABCB444ABCB444ABCB=333ABCB=222ABCB=111ABCB=ABBC因为Rt△ABC∽Rt△AB′C′ABCB′C′观察与思考（1）如图，作一个锐角A，在∠A的一边上任意取两个点B，B′,经过这两个点分别向∠A的另一边作垂线，垂足分别为C，C′，比值与相等吗？为什么？ABBC'''ABCB，'''ABCBABBC=ABCB′C′对于确定的锐角A来说，比值k与点B′在AB边上的位置无关。（2）如果设=k，那么对于确定的锐角A来说，比值k的大小与点B′在AB边上的位置有关吗？'''ABCBABCB′C′B″C″

对于确定的锐角A来说，比值k与点B′在AB边上的位置无关，只与锐角A的大小有关。（3）如图，以点A为端点，在锐角A的内部作一条射线，在这条射线上取点B″，使AB

″=AB′，这样又得到了一个锐角∠CAB″。过B″作

B″C″⊥AC，垂足为C″，比 与k的值相等吗？为什么？由此你得到怎样的结论？"""ABCBABC斜边∠A的邻边∠A的对边由锐角A确定的比 叫做∠A的正弦，∠A的对边斜边sinA=∠A的对边斜边记作sinA，即由锐角A确定的比 叫做∠A的余弦，∠A的邻边斜边cosA=∠A的邻边斜边记作cosA，即∠A的对边∠A的邻边由锐角A确定的比 叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比。结论例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠A的正弦、余弦、正切的值。BAC4252精讲点拨

求出如图所示的Rt△ABC中sinA和sinB、tanA和cosB的值。ACB⑵513ACB⑴43跟踪训练

∠A的正弦：sinA=∠A的对边斜边∠A的余弦：cosA=∠A的邻边斜边∠A的正切：tanA=∠A的对边∠A的邻边锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比。课堂小结谢谢30°，45°，60°角的三角比ABCcba┌1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数；2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。

AB

C∠A的对边∠A的邻边斜边思考

两块三角板中有几个不同的锐角？如何求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值？45°的三角比┌45°45°ABC作Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.设a=1，那么b=1，由勾股定理，┌30°60°30°ABCD30°的三角比1.你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的关系吗？2.你能得出一个锐角A的正弦值、余弦值和正切值的关系吗？仔细观察右表，回答下面问题。sinA=cos（90°∠A）；一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值。cosA=sin（90°∠A）；一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦值。tanA·tan（90°∠A）=1。一个锐角的正切值与这个角余角的正切值互为倒数。【例】求下列各式的值.

（1）cos260°+sin260°sin²60°表示（sin60°）²，即sin60°·sin60°。【解析】（1）cos²60°+sin²60°=（）²+（）²=÷-1=0=1；当A、B为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB。（2）1.cos30°=（）A．B．C．D．

【解析】选C。由三角函数的定义知cos30°=2.计算的结果等于（）【答案】选B.3.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=，则下底BC的长为__________。【答案】104.计算：【解析】5．已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8，∠B＝60°，连接AC。（1）求cos∠ACB的值；（2）若E，F分别是AB，DC的中点，连接EF，求线段EF的长。∴cos∠ACB=cos30°=∴EF==12.【解析】（1）∵∠B＝60°，∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠DCA=∠BCA∴∠ACB=30°（2）AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，∵E，F

分别是AB，DC

的中点，【规律方法】1.记住30°，45°，60°的特殊值，及推导方式，可以提高计算速度。2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结合三角函数灵活运用。直角三角形三边的关系。直角三角形两锐角的关系。直角三角形边与角之间的关系。特殊角30°，45°，60°角的三角函数值。互余两角之间的三角函数关系。同角之间的三角函数关系。bABCa┌c┌┌30°60°45°45°小结谢谢用计算器求锐角三角比1.经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义。2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。3.发现实际问题中的边角关系，提高有条理地思考和表达的能力。我们可以借助计算器求锐角的三角函数值。

通过前面的学习我们知道，当锐角A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？【例1】求sin18°。第一步：按计算器键，sin第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18°=0.309016994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）tan第一步：按计算器键，【例2】求tan30°36′。第二步：输入角度值30，分值36（可以使用键），DMS屏幕显示答案：0.591398351.第一种方法：第二种方法：tan第一步：按计算器

键，第二步：输入角度值30.6（因为30°36′＝30.6°）屏幕显示答案：0.591398351.如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角度数。【例3】已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还可以利用键，进一步得到∠A≈30°07′08.97″。第一步：按计算器键；2ndFsin第二步：然后输入函数值0.5018；屏幕显示答案：30.11915867°（按实际需要进行精确）DMS2ndF1.求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）。【解析】按下列顺序依次按键：显示结果为0.897859012。所以sin63゜52′41″≈0.8979。DMSDMSDMS2.使用计算器求下列三角函数值。（精确到0.0001）sin24゜，cos51゜42′20″，tan70゜21′。【答案】sin24°≈0.4067，

cos51°42′20″≈0.6197，tan70°21′≈2.8006。3.用计算器求下列式子的值。（精确到0.0001）sin81°32′17″+cos38°43′47″【答案】1.76924.已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A。（精确到1′）【答案】∠A≈72°31′5.比较大小：cos30°______cos60°，

tan30°______tan60°。【答案】﹥，﹤在[0，]时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。6.已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）（1）sina=0.2476；

（2）cosa=0.4（3）tana=0.1890；

【答案】（1）a≈14°21′；（3）a≈10°43′。（2）a≈66°25′；7.在△ABC中，∠C=90°，∠A=72°，

AB=10，则边AC的长约为（精确到0.1）（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5【解析】选C。AC=ABcos72°≈10×0.309≈3.1C8．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点20m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB＝65°，则这幢大楼的高度为（）65ºA.42.8m B.42.80mC.42.9mD.42.90mC9．如图，工件上有一V型槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm。求V型角（∠ACB）的大小（结果精确到1°

）。∴∠ACD≈27.5°

∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°∴V型角的大小约55°。确定值的范围当锐角A>45°时，sinA的值（）（A）小于（B）大于（C）小于（D）大于B（A）小于（B）大于（C）小于（D）大于当锐角A>30°时，cosA的值（）C确定角的范围（A）小于30°（B）大于30°（C）小于60°（D）大于60°3.当∠A为锐角，且tanA的值大于时，∠A（）B4.当∠A为锐角，且tanA的值小于时，∠A（）（A）小于30°（B）大于30°（C）小于60°（D）大于60°C5.当∠A为锐角，且cosA=时那么（）（A）0°＜∠A

＜30°（B）30°＜∠A＜

45°（C）45°＜∠A

＜60°（D）60°＜∠A

＜90°

确定角的范围6.当∠A为锐角，且sinA=，那么（）（A）0°＜∠A

＜30°（B）30°＜∠A

＜45°（C）45°＜∠A

＜60°（D）60°＜∠A

＜90°DA通过本节课的学习，我们应掌握以下主要内容：1.求已知锐角的三角函数值；2.已知三角函数值求锐角；3.一个角的三角函数值随着度数的增加是增大还是减小。小结谢谢第一课时解直角三角形

已知直角三角形的两个元素（至少一边）会解直角三角形。学习目标ABabcC在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素。图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素。知识回顾（2）角之间的关系∠A＋∠B＝90°

（3）边角之间的关系（1）边之间的关系（勾股定理）ABabcC在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素。图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素。知识回顾思考：利用上面这些关系，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？

图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素。ABCcba两个元素（至少一个是边）两个角

两条边一边一角×√√交流发现

由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。例1在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17，c＝34。解这个直角三角形。分析：这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题。ABCcba精讲点拨解这个直角三角形ABCcba°45，128902已知中在例=Ð=°=ÐDBC，ABCRt，c精讲点拨分析：这是已知直角三角形的一边一角解直角三角形的问题。1．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，

a=12，b=24。解这个直角三角形。2．在Rt△ABC

中，∠C=90°。

（l）已知c=15，∠B=60°，求a

；

（2）已知∠A＝45°，a＝24，求b

、c

。跟踪练习（2）已知一边和一个锐角注意：1.数形结合有利于分析问题；

2.选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确；

3.解直角三角形时，应求出所有未知元素。（1）已知两条边解直角三角形，只有下面两种情况：20004001024课堂小结谢谢第二课时解直角三角形某中学计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮。已知∠A=150°，AB=20m，AC=30m，毎平方米草皮的售价为a元，购买这种草皮至少需要多少元？BAC情境导入通过添加辅助线（作三角形一边上的高），把解非直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题。学习目标D例3 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=20，求AB的长。ABC作AB边上的高，把锐角三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形。化

未知

为已知。转化思想：△ABC不是直角三角形，怎么办？精讲点拨ABCD1.如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，AC=5，AD=3，求BC的长。2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，且一腰长与底边的比是5:8，求sinB，cosB的值。ABCD跟踪练习

某中学计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮。已知∠A=150°，AB=20m，AC=30m，毎平方米草皮的售价为a元，购买这种草皮至少需要多少元？BAC变式练习CABDABCED课堂小结（1）当锐角三角形时，选择一边作高。（2）当钝角三角形时，可内部作高或外部作高。注意：通常过非特殊角顶点作高。谢谢第一课时解直角三角形的应用1.了解仰角、俯角的概念，能利用仰角、俯角构造直角三角形；2.运用锐角三角函数的知识解决有关实际问题。（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系

ABabcC铅垂线水平线视线视线仰角俯角

在实际测量中，从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角；从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角。东方明珠塔是上海市的一个标志性建筑。为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200

m处的地面上，安放高1.20

m的测角仪支架，测得东方明珠塔的仰角为60°48′。根据测量结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20

m，CB=20

m，∠ADE=60°48′。你能求出AB的长吗？ABCDEABCDE【例1】一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5

km，飞机距目标4.5

km。求飞机在A处观测目标B的俯角.（精确到1′）解：如图，在Rt△ABC中，AC=1.5

km，AB=4.5

km。ABC【例2】武汉长江二桥为斜拉索桥，AB和AC分别是直立塔AD左右两边的两根最长的钢索.已知AB=AC，BC=100mAB与BC的夹角为30°，求钢索AB的长及直立塔AD的高.（精确到0.1

m）ABCDABCD解：由题意可知，△ABC为等腰三角形，AD为底边BC上的高。如图，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50

m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）。要解决这个问题，我们仍需将其数学化。30°60°DABC┌50m30°60°答：该塔约有43

m高。【解析】如图，根据题意可知，∠A=30°，∠DBC=60°，AB=50

m。设CD=x，则∠ADC=60°，∠BDC=30°。1.如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B之间的距离为（）A.150米B.180米C.200米D.220米C2.如图，孔明同学背着一桶水，从山脚出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），已知AB=80米，则孔明从A到B上升的高度是

米。【解析】依题意得，∠ACB=90°。所以sin∠BAC=sin30°=所以BC=40（米）。【答案】40ACB3.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC

40

m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度。（精确到0.1

m）【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，在Rt△ACD中：所以AB=AC－BC=55.1－40=15.1m答：棋杆的高度为15.1m。ABCD40m54°45°利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1.将实际问题抽象为数学问题；（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案。小结谢谢第二课时解直角三角形的应用1.熟练应用锐角三角函数的知识解决实际问题；2.培养学生分析问题、解决问题的能力。（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系

ABabcC【例3】住宅的采光是建筑和购房时人们所关心的问题之一。如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m。已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°。16.8南楼北楼（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙角，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？ABCD35°解：（1）如图，南楼高AB，北楼高CD，根据题意，∠ADB=35°。ABCDEF（2）AE为冬至这天中午12时的太阳光线，AE交CD于点E，ED为南楼在北楼上的影子。作EF⊥AB，垂足为点F，则∠AEF=35°。已知AB=CD=16.8

m，BD=20m。1.如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4

000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）。度度【解析】作CF⊥AB于F，则。。∴∴海底黑匣子C点距离海面的深度m【解析】要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE

的一个外角，2.如图，沿AC方向开山修路。为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线？（精确到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D

332.8

m正好能使A，C，E成一直线。（m）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1.将实际问题抽象为数学问题；（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案。小结谢谢第三课时解直角三角形的应用1.能应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的实际问题；2.培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。1.测量高度时，仰角与俯角有何区别？2.解答下面的问题如图，有两个建筑物，在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°。求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC。AEDCB甲乙坡度（坡比）、坡角：（1）坡度也叫坡比，用i表示。即i=h:l，h是坡面的铅直高度，l为对应水平距离，如图所示；（2）坡角：坡面与水平面的夹角；（3）坡度与坡角（若用α表示）的关系：i=tanα。

方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫方向角。【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）65°34°PBCA解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.505（海里）在Rt△BPC中，∠B＝34°答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里．65°34°PBCA如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡比i=1∶1.5，则AB=

m。C1.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000

m，则他升高了（）A2.如图，一水库迎水坡AB的坡度则该坡的坡角α=______。30°i3.如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶。在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向。求该军舰行驶的路程。（计算过程和结果均不取近似值）

解：∵∠A=60°，∴BC=AB×tanA=500×tan60°=4.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAD60°北BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°。由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x，AD=2x。则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=6。10.4>8没有触礁危险。30°60°北5.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平距离CE的比，i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平距离BF的比），根据图中数据求：坡角α和β。BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5BADFEC6

mαβi=1:3i=1:1.5解：在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°小结1.进一步理解坡度和坡角的概念；2.能用解直角三角形的方法解决实际问题；3.掌握用解直角三角形的方法的解题步骤。谢谢第三单元对园的进一步认识第一课时圆的对称性1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；2.进一步培养观察问题、分析问题和解决问题的能力；3.通过圆的对称性，培养对数学的审美观，并激发对数学的热爱。问题：你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠。观察右图，有什么等量关系？AO=BO=CO=DO，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD，AE＝BE

AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD··已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD。垂径定理

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。垂径定理证明猜想·判断下列图形，能否使用垂径定理？【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！定理辨析·····例1：如图，在以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD。求证：OA=OB。OAB例题CDE证明：作OE⊥AB，垂足为点E。由垂径定理，得

CE=DE。∵AC=BD，∴AC+CE=BD+DE，即AE=BE。∴OE为线段AB的垂直平分线。∴OA=AB。·变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？变式3：EA＝____，

EC=_____。FDFB变式4：______，AC=BD。OA=OB变式5：______，AC=BD。

归纳：OC=OD·····如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MPBO关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。跟踪训练【解析】提示作OM垂直于PB

，连接OA。答案：

A·2.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OE B．CE＝DE CEC．OE＝D．∠AOC＝60°B1．已知⊙O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是（

）A.3B.4C.6D.8D3.如图，⊙O过点B，C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A.B.C.D.【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3。

又∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则AD==3，∴OD=3-1=2。∴OB=【解析】如图所示，连接OB，则OB=5，OD=4，利用勾股定理求得BD=3，因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3，所以AB=6。答案：64.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是。5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DEAE－CE＝BE－DE所以，AC＝BD。E.ACDBO通过本课时的学习，需要我们：

1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

2．利用垂径定理解决相应的数学问题。

小结谢谢第二课时圆的对称性1.掌握圆心角的概念。

2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量相等就可以推出其它的两个量对应相等，以及它们在解题中的应用。圆的对称性圆的轴对称性（圆是轴对称图形）垂径定理及其推论圆的中心对称性？？？？（一）圆的中心对称性（1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°，你能发现什么？圆绕着它的圆心旋转180°，能与原来的图形重合。因此圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。·

圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合。____________________。（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？BOAα圆具有旋转不变性（1）相关概念

_______：顶点在圆心的角

________________________________

圆心角圆心角所对的弧圆心角所对的弦

（二）

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系295（2）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系OBCA__________，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。在同圆或等圆中定理例题【例1】如图，AB与DE是⊙O的两条直径，C是⊙O上一点，AC∥DE。求证:（1）（2）ABCDEO证明（1）连接OC∵AC∥DE∴∠AOD=∠OAC∠COE=∠OCA∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠AOD=∠COE∴（2）∵∠AOD=∠BOE

∴∠BOE=∠COE∴BE=CE【例2】如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。MN证明：作OM⊥AB，