常微分方程期末试卷(A)

广西师范大学漓江学院试卷（20082009）课程名称：常微分方程 课程序号： 开课院系：理学系任课教师：陈迪三 年级、专业：07数学 考试时间：120分。考核方式：闭卷■开卷□ 试卷类型：A卷■ B卷□完卷试持保得 分评卷人注意 一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15得 分评卷人注请 (请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分).；面背卷试 11M(x,y)dxN(x,y)dy0有积分因子uuy)的充要条件为

(y).到 写 M可，时

足2f封不 密空订留

(x,yf(xyy装题 答3、函数组etete2t答题 答笔铅用

etetet

e2t2e2t6e2t．4e2t使y能 1不，

(x), y2

(x)是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们无(有或无)共同零点．外5A具有n个线性无关的特征向量vv图 1 画

,,n

，它们对应的特征值分别为1 2

,，n除 那么常系数线性方程组x'，迹字色

Ax的一个基解矩阵(t=[etv111

,etv,222

,etv].nnn得 分评卷人得 分评卷人专业现出得不题答生专考 dy：1、形如dx

二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)(请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分)P(x)y(x)yn(n0,1)的方程是（D ）.级 A．欧拉方程 贝塞尔方程 黎卡尔方程 伯努力方年2、设p(x),q(x)连续，y1

(x), y2

yp(xyq(xy0在(上的两个线性无关解，且y1

(0)0,y2

(0)0，则（A ）.（A）p(0)0,q(0)0p(0)1,q(0)0（C）p(0)0,q(0)1（D）p(0)1,q(0)13、二阶非齐次线性微分方程的所有解（（A）2维线性空间不能构成一个线性空间C．（B）构成一个3维线性空间（D）构成一个无限维线性空间f(x,y) dy4、如果f(x,y)， y 都在xoy平面上连续，而且f(x,y)有界，则方程dx任一解的存在区间（A ．（A）必为(,) 必为(0,)必为(,0) 将因解而定

f(x,y)的5、若(x)是齐次线性方程组dYA(x)Y的一个基解矩阵，T为非奇异nn常数矩阵，那么dx(x)T是否还是此方程组的基解矩阵（B ）.不是 (B)是 (C)也许是 (D)也许不是得 分评卷人三、计算题(4624)(的通解得 分评卷人得分1、dy 2x ；得分dx yx2y1、解：ydy

2x(1x2)

dx （2）则有ydy1

1(1x2)

d(x21) （1）从而得

y2ln(x2)c(c为任意的常数． 3分）22、(x3xy2)dxx2yy3)dy0；M解：由于

2xyN

，所以原方程是恰当方程． （2分）y xu假设存在u

ux3xy2 和

x2yy3 （1）1 1 u则有u x4 x2y2(y)且 x2y'(y)，所以'(y)y3 （2分）4 2 y1(y)

y4，即原方程的通解为：x42x2y2y4C （1分）43、x"2x'2xetcost；解：齐次方程的特征方程为 220,1,2

1i齐次方程的通解为 xet(c1

costc2

sint). （2分）令x"

2x'

2xte(1i)t，并求其特解如下：由于1i是单根，故设特解为xt(AtB)e(1i)ti 1代入原方程比较系数得A1

,B 4 4所以x

tet[(costtsint)i(sinttcost)].41则原方程有特解Re{x}tet(costtsint). （3分）4xet(c1

costc2

sint tet(costtsint). （1分）1414、t2x"3tx'x0；解：令方程的解为xtk，代入原方程有k(k1)10 （3分）于是k1（二重1分）故原方程的通解为xct1c1 2

t1ln|t|（2分）得 分评卷人四、解答题(21020得 分评卷人得分（1）设函数(x连续且满足(xex得分

xt(t)dtxx(t)dt，求(x.0 0解：两边关于x求一阶导数，有(x)ex

x(t)dt （2）0两边关于x再求一阶导数，得(x)ex(x) （2分）即(x)(x)ex

而且(0)(0)1 （1分）1而方程(x)(x)ex的解表示为(x)c1

cosxc2

sinx

2ex （3）由(0)(0)1，可得(x)dx3xy1

1 1 1 cosx sinx ex （2） 2 2 2dt（2）求方程组

1满足初始条件(0) 的解.1dydt

3y 解：方程组的特征方程为0

13(3)20，所以特征根为3（二重） （2分）0 对应齐次方程组的基解矩阵expAte3tI(A3E)te3t1 t 0 满足初始条件的特解(t)expAexpAttexp(As)f(s)ds 2分）01 t1

1 t

1 s1=e3t

e3t

te3s

ds0 1 0

0

0t1 t11e3t=e3t1

e3t0 3 3

……（3分）

0 te3t2e3t1= 3 3 e3t

得 分评卷人五、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分得 分评卷人(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后). 1、假设x t1

0

a t1

a 2

x0的解，其中a和a在区间上连续，试证：1 2（1）x2

x1 2

a1

wx,x1

0；xxc 1extasdsdtc（2）方程的通解可以表示为：ttb.0

11 x2 1 t01t0

2

cc1 2（１）wx,x1 2

a1

wx,x1

0xx1 2

xx1 2

axx11 2

axx 011 2xx1 2

axx11

axx11

axx11 2

axx 011 2xxaxax1 2 1 2 1 2

……（6分）x2

ax1 2

ax1

0,x1

0即x的解。2（２）xx1 2

为方程的解，则由刘维尔公式1 x x w1

e

as1

,:0x x t001 2xx1 2

xx1

wt0

ett0t

as1

……（3分）dx d 2 x

et

sds1 01 dt x2

t0 11x两边都乘以1xex2e1

则有： 1 ，于是：2 c

1 tt0

a1

dtcx 1 x1 1

1

2asds

……（4分）即：x

c

e t0

dtcx2 1 x2

21 2.y

(x)和y1

(x)是方程yq(x)y0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式w(x)c，其中c为常数.证明：因为y(x),y1

(x)方程yq(x)y0的任意两个解2所以(xq(x)(x0,(xq(x)

(x)0， （4分）1 1 2 2于是(x),

(x)构成的伏朗斯基行列式1 2(x)

(x)

(x)

(x)

(x)

(x)W(x