物理光学梁铨廷习题答案

第一章光的电磁理论1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=102解：由Ex=0，Ey=0，Ez=102Cosπ×1014t-xc+π2，则频率υ=ω2π=π×10142π=0.5×1014Hz，周期T=1/υ=2×10波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=2Cos2π×1014zc-t+π解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=ω2π=2π×10142π=1014Hz，波长λ=cυ=3×1081014=3×10-6m，原点的初相位1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=102Cosπ×1015解：（1）υ=ω2π=π×10152（2）λ=2π（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=c1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的k方向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。解：（1）由E=Aexp（2）同理：发散球面波Er汇聚球面波Er1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45º，试写出E，解：E=Ey==10exp=10exp=10exp同理：EzB=Bz=101.6一个沿k方向传播的平面波表示为E=100expi2x+3y+4z-解：k=又k=∴k0=11.9证明当入射角θ1=45º时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有r证明：r=cosr=tan45º-tan1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90º，设空气和玻璃的折射率分别为n1和n2，先由空气入射到玻璃中则有n1sin又θ'=ⅈ，∴即得证。1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃n=1.5上，求：（1）能流反射率Rp和RS；（2）能流透射率Tp解：由题意，得n=n又θ为布儒斯特角，则θ+ⅈ=90°.....①n1由①、②得，θ=56.31°，i=33.69°。（1）RpRs（2）由Rp+T同理，Ts=85.2%1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时，tp=1证明：tp=2sinθt=2sinθ2cosθ则tp=11.17利用复数表示式求两个波E1=acos解：E=a=a=2=-2a1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为E1=a1cosφ1-ωt和E2=解：E=E=6=10=10cos1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。解：由图可知，EzA=2λA=2λ=2λ·所以E=λ41.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式。解：由图可知，EzAA=2=2πmsin所以Ez1.22利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。解：由图可知，EzA0AmBm=2=1πm所以E=1.23氪同位素kr86放电管发出的红光波长为解：由题意，得，波列长度2L=700由公式Δλ=λ又由公式2L=c/Δν，所以频率宽度c21.24某种激光的频宽Δv=5.4解：由相干长度Dmax=λ第二章光的干涉及其应用2.1在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度h=0.01mm解：由时间相干性的附加光程差公式Δ=1.5-1δ=2.2在杨氏干涉实验中，若两小孔距离为0.4mm，观察屏至小孔所在平面的距离为100cm，在观察屏上测得的干涉条纹间距为1.5cm，求所用光波的波。解：由公式ⅇ=λDλ=ⅇd2.3波长为589.3nm的钠光照射在双缝上，在距双缝100cm的观察屏上测量20个干涉条纹的宽度为2.4cm，试计算双缝之间的距离。解：因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹的宽度为ⅇ=2.420cm。又由公式ⅇ=λD2.4设双缝间距为1mm，双缝离观察屏为1m，用钠光照明双缝。钠光包含波长为λ1=589nm和λ解：因为两束光相互独立传播，所以λ1光束第10级亮条纹位置x1=mλ1=10×10002.5在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置n1=1.4和n2=1.7解：由题意，得n2所以t=条纹迁移方向向下。2.6在杨氏双缝干涉实验装置中，以一个长30mm的充以空气的气室代替薄片置于小孔s1前，在观察屏上观察到一组干涉条纹。继后抽去气室中空气，注入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了25个。已知照明光波波长为656.28nm，空气折射率n解：设注入气室内的气体的折射率为n，则n-na==5.469×102.7杨氏干涉实验中，若波长λ=600nm，在观察屏上形成暗条纹的角宽度为0.02°，（1）试求杨氏干涉中二缝间的距离？（2）若其中一个狭缝通过的能量是另一个的4倍，试求干涉条纹的对比度？解：角宽度为ω=0.02所以条纹间距ⅇ=λ由题意，得I1K=2.8若双狭缝间距为0.3mm，以单色光平行照射狭缝时，在距双缝1.2m远的屏上，第5级暗条纹中心离中央极大中间的间隔为11.39mm，问所用的光源波长为多少？是何种器件的光源？解：由公式x=m+=11.39×10-3此光源为氦氖激光器。2.12在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为2mm的圆形光源。光源发光的波长为500nm，它到小孔的距离为1.5m。问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少？解：因为是圆形光源，由公式bc则d=1.2.13月球到地球表面的距离约为3.8×10解：相干面积A=π==3.49×102.14若光波的波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：Δνν=Δλλ。式中，ν和解：证明：由Dmaxc⇒Δλλ相干长度Dmax频率宽度Δν=1.52.15在图2.22（a）所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为h=3mm和n=1.5，望远镜的视场角为6°，光的波长λ=4解：设能看见N个亮纹。从中心往外数第N个亮纹对透镜中心的倾角θN，成为第N个条纹的角半径。设m0为中心条纹级数，q为中心干涉极小数，令m0=m+q(m∈z,Δ中两式相减，可得2nh1-cosθN=对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为D=2ah+2.16一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度均匀的折射率为n=1.5的薄膜上，发现反射光谱中出现波长为400nm和600nm的两条暗线，求此薄膜的厚度？解：光程差Δ=n-1所以h=2.17用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm的范围内共有15个亮条纹，玻璃折射率n=1.52，所用单色光波长λ解：由公式ⅇ=λ2nα又ⅇ=5所以α=600×2.18利用牛顿环测透镜曲率半径时，测量出第10个暗环的直径为2cm，若所用单色光波长为500nm，透镜的曲率半径是多少？解：由曲率半径公式R==22.19F-P干涉仪两反射镜的反射率为0.5，试求它的最大透射率和最小透射率。若干涉仪两反射镜以折射率n=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考虑系统吸收）解：当反射率R=0.5时，I可得最大透射率TM最小透射率Tm当用玻璃平板代替时，n=1.6，则R所以TM'=2.20已知一组F-P标准具的间距分别为1mm和120mm，对于λ=550.0nm解：ΔλΔλh32.21有两个波长λ1和λ2，在600nm附近相差0.0001nm，要用F-P干涉仪把两谱线分辨开来，间隔至少要多大？在这种情况下，干涉仪的自由光谱范围是多少？设反射率解：由分辨极限公式Δλm=F-P干涉仪间隔h==自由光谱范围ΔλS.R2.22在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为5λ04（λ0解：（1）作用：因为上下表面光程差2nh=2×5λ4=2+12λ0，所以该介质膜对λ0的反射达到最小，为增透膜；（2）由nh=5λ042.23在玻璃基片上镀两层光学厚度为λ0∕4的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，为了达到在正入射下膜系对λ0解：由题意，得n1=1.35，nG要使膜系对λ0n2第三章光的衍射与现代光学3.1波长λ=500解：要求k⋅x12所以z≫x3.5在白光形成的单缝的夫琅禾费衍射图样中，某色光的第3级大与600nm的第2极大重合，问该色光的波长是多少？解：单缝衍射明纹公式：asinφ=2n+1λ2n∈z当λ1=600nm时，n3.6在不透明细丝的夫琅禾费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300nm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？解：由ⅇ=λfa=3.8迎面开来的汽车，其两车灯相距d=1m，汽车离人多远时，两车灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径D=解：此为夫琅禾费圆孔衍射，由公式dl所以l=ⅆD3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直径约为2mm，若视觉感受最灵敏的光波长为550nm，问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2mm，坐在距黑板10m处的同学能否看清？解：（1）θm=1.22=1.22×550×(2)θ=3.7边长为a和b的矩孔的中心有一个边长为a0和b解：E1=Cabsin（C为常数），所以E==CI=EE因为场中心强度(场中心对应于α1=α2=β其中α1=πasinθxλ3.10人造卫星上的宇航员声称，他恰好能分辨离他100km地面上的两个点光源。设光波波长为550nm，宇航员眼瞳直径为4mm，这两个点光源的距离是多大？解:由夫琅禾费圆孔衍射，dl=d==16.7753.11在一些大型的天文望远镜中，把通光圆孔做成环孔。若环孔外径和内径分别为a和a/2，问环孔的分辨本领比半径为a的圆孔的分辨本领提高了多少？解：由α=πDsinθxλ按照瑞利判据,天文望远镜的最小分辨角就是θ=0.51λa，与中心部分没有遮挡的圆孔情形(θ=0.61λa0.61-0.510.61+0.513.12若望远镜能分辨角距离为3×10解：光的波长λ=550nm，则由公式θ=1.22最小直径D=1.22λ因为人眼的最小分辨角为2.9×10所以放大率N=3.13若要使照相机感光胶片能分辨2μm的线距，求：（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？（2）照相机镜头的相对孔径D∕f至少有多大？（设光波波长为550nm。）解：⑴直线数N=1ε'⑵由N=11.223.16计算光栅常数是缝宽5倍的光栅的第0、1级亮纹的相对强度。解：由题意，得a=d5，第零级强度I0θ=3.14一块光学玻璃对谱线435.8nm和546.1nm的折射率分别为1.6525和1.6245。试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度。钠D双线的波长分别为589.0nm和589.6nm。解：由公式A=λΔλ=BΔnΔλ，(式中A为棱镜分辨本领，B为棱镜底边长度，n又同一种物质色散率不变，则A1λ=589.6+589.0因为A2=B23.15在双缝夫琅禾费衍射试验中，所用光波波长λ=632.8nm，透镜焦距f=50cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离ⅇ=1.5mm，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1、2、3级亮纹的相对强度。解：⑴多缝衍射的亮线条件是ⅆsinθ=mλ当Δm=1时，Δθ就是相邻亮线之间的角距离。并且一般θ很小，cosθ≈1缝距d=fλⅇ=50因为第4级亮纹缺级，所以缝宽为a=d⑵第1、2、3级亮线分别相应于ⅆsinθ=±λ、±2λ、±3λ。由于d=4a，所以当ⅆsinθ=±λ、±2λ、±3λ时，分别有asin第1、2、3级亮线的相对强度为I1N2I03.17一块宽度为5cm的光栅，在2级光谱中可分辨500nm附近的波长差0.01nm的两条谱线，试求这一光栅的栅距和500nm的2级谱线处的角色散。解：由A=λδλ=mN=m角色散ⅆθⅆλ=mⅆcosθ=3.18为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的膜结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多宽？解：Δλ=λ2c⋅Δt=L=cλΔνm3.19用复色光垂直照射在平面透射光栅上，在30°的衍射方向上能观察到600nm的第二级主极大，并能在该处分辨δλ=0.005nm的两条谱线，但却观察不到600nm的第三级主极大。求：（1）光栅常数d，每一缝宽a；（2）光栅的总宽L解：⑴ⅆsinθ=2.4×10-3mm，a=⑵A=λδλ=mN，又N=L3.20一束波长λ=600nm的平行光，垂直射到一平面透射光栅上，在与光栅法线成解：由ⅆsinθd3.21一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱。钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6nm和589.0nm。求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度。解：光栅公式ⅆsinθ=mλ，d=所以θ1=arcsinmλ1d=arcsin2×589.6×10-63.22一光栅宽50mm，缝宽为0.001mm，不透光部分宽为0.002mm，用波长为550nm的光垂直照明，试求：（1）光栅常数d；（2）能看到几级条纹？有没有缺级？解:⑴d=a+a⑵da=0.0030.001=3，所以第±3级亮纹为缺级，又由ⅆsin90°=mλ3.23按以下要求设计一块光栅：①使波长600nm的第二级谱线的衍射角小于30°解：为使波长600nm的二级谱线的衍射角θ≤30°,d必须满足d=mλsinθ根据要求②，d尽可能小，则d=2.4×根据要求③，光栅缝宽a=d再由条件④，光栅缝数N至少有N=所以光栅的总宽度L至少为L=Nd光栅形成的谱线在θ<90°范围内，当θ=±90°时，有m=ⅆsinθλ=±2.4×10-36×10-3.24一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77°12'。⑴解：⑴光栅栅距为d=1300mm，已知光栅宽260mm由2ⅆsinγ=mλ，光栅对500nm的闪耀级数为m=2ⅆsin第四章光的偏振和偏振器件4.2一束部分偏振光由光强比为2:8的线偏振光和自然光组成，求这束部分偏振光的偏振度。解：设偏振光光强为I1=2I，自然光光强为I2=8所以偏振度P=I4.3线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与晶体主截面成60°角，问o光和e光从解：I4.4线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成30°和60°角。求：⑴透射出来的寻常光和非常光的相对强度各为多少？⑵用钠光入射时如要产生90°解：⑴Io⑵由δ=90°d=4.7有一块平行石英片是沿平行光轴方向切出的。要把它切成一块黄光的14波片，问这块石英片应切成多厚？(石英的ne=解：由D=nd=1.6374.5由自然光和圆偏振光组成的部分偏振光，通过一块1∕4波片和一块旋转的检偏镜，已知得到的最大光强是最小光强的7倍，求自然光强占部分偏振光强的百分比。解：设自然光和圆偏振光的光强分别为I1和I2，则部分偏振光的光强为圆偏振光经过λ4波片后成为线偏振光，光强仍为I2。当线偏振光光矢的振动方向与检偏器的透光方向一致时，从检偏器出射的光强最大，其值为I2，当其振动方向与透光方向互相垂直时其值为零。自然光通过λ4波片后还是自然光，通过检偏器后光强为12I1。因此，透过旋转的检偏器出射的最大光强和最小光强分别为Imax=4.6在两个共轴平行放置的透振方向正交的理想偏振片P1和P3之间，有一个共轴平行放置的理想偏振片P2以云角速度ω绕光的传播方向旋转。设t=0解：通过第一块、第二块和第三块偏振片后，光强分别为I1=I02由于t=0时P3偏振化方向与P1I0161-cos44.11为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将14波片置于检偏器之前，再将后者转到消光位置。这时发现14解：是右旋圆偏振光。因为在以λ4波片快轴为y轴的直角坐标系中，偏振片位于Ⅱ、Ⅳ象限时消光，说明圆偏振光经λ4波片后，成为位于Ⅰ、Ⅲ象限的线偏振光，此线偏振光由y方向振动相对x方向振动有2π位相差的两线偏振光合成。而λ4波片使ⅇ光和o光的位相差增加π2，成为2π，所以，进入λ4波片前4.9下列两波及其合成波是否为单色波？偏振态如何？计算两波及其合成波光强的相对大小。波1：Ex波2：Ex=Acoskz-ωt-解：波1是单色波，且Ex=Asin显然，等相面和等幅面重合，所以是均匀波。又因为位相差δ=φy-φx=对于波2，因为ϕyt-ϕx波1和波2是不相干波，因此由上述结果得合成波是非单色光，是部分偏振光，是均匀波。光强度：波1I1 波2I2 合成波I3=I14.12一束右旋圆偏振光垂直入射到一块石英14波片，波片光轴平行于x轴，试求透射光的偏振态。如果换成解：右旋圆偏振光可视为光矢量沿y轴的线偏振光和与之位相差为π2的光矢量沿x轴的线偏振光的叠加。⑴右旋圆偏振光入射14波片并从14波片出射时，光矢量沿y轴的线偏振光（o光）对光矢量沿x轴的线偏振光（e光）的位相差应为δ=π⑵右旋圆偏振光入射18波片并从18波片出射时，光矢量沿x轴的线偏振光（o光）对光矢量沿y轴的线偏振光（e光）的位相差应为4.10一束线偏振的钠黄光λ=584.3nm垂直通过一块厚度为8.0859×10-2⑴入射线偏振光的振动方向与x轴成45°⑵入射线偏振光的振动方向与x轴成-45°⑶入射线偏振光的振动方向与x轴成30°角解：入射线偏振光在波片内产生的o光和ⅇ光出射波片是得位相延迟角为δ=2⑴当α=45°时，设入射光振幅为A，则o光和ⅇ光的振幅为Ao=Acos45°=22A，Ae=A⑵当α=-45°时，则o光和ⅇ光的振幅为Ao=Acos-45°=22A，Ae⑶当α=30°时，则o光和ⅇ光的振幅为Ao=Acos30°在波片后表面，o光和ⅇ光的合成为E=Eo+16一块厚度为0.05mm的方解石波片放在两个正交的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器的夹角为45°