2022-2023学年四川省巴中市平昌县平昌中学高二年级上册学期第二次月考数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年四川省巴中市平昌县平昌中学高二上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．椭圆的长轴长为（

）A．4 B．6 C．16 D．8【答案】D【分析】化椭圆方程为标准方程形式，求出的值，即可求出长轴长.【详解】化椭圆方程为一般形式：，所以，即，即椭圆长轴长为.故选：D.2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是A．若方程有实根，则B．若方程有实根，则C．若方程没有实根，则D．若方程没有实根，则【答案】D【详解】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D.【解析】四种命题.3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【解析】根据线面平行垂直的判定与性质证明或者举出反例即可.【详解】对A,当时,也可满足,,故A错误.对B,当时,,也能成立,故B错误.对C,根据线面垂直的性质可知若,,则成立.故C正确.对D,当为墙角三角形的三个面时,,,.故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的命题判定,需要根据线面垂直平行的性质判断或者举出反例即可.属于中档题.4．设满足：，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．椭圆或线段 D．线段【答案】B【分析】根据椭圆的定义判断即可.【详解】解：因为表示点到点的距离，表示点到点的距离，又，，即，所以动点的轨迹是以、为焦点的椭圆.故选：B5．若圆与圆有且仅有3条公切线，则（

）A．16 B．28 C．9 D．【答案】A【分析】根据两圆公切线的条数判断出两圆的位置关系，由此列方程来求得的值.【详解】由于两个圆有且仅有条公切线，所以两圆外切，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为，所以，解得.故选：A6．在正方体中，若M、N是棱的中点，则异面直线所成角的正弦值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】解：建立如图所示空间坐标系：设正方体的棱长为1，则，所以，设异面直线所成的角为，则，所以，所以异面直线所成角的正弦值为.故选：C7．已知直线与直线垂直，则在x轴上的截距为（

）A．2 B． C．8 D．4【答案】B【分析】根据直线垂直得到，再取，计算得到答案.【详解】直线与直线垂直，则，解得，直线，取，得到.故选：B8．椭圆的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是.若成等差数列，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知：，根据成等差数列，可得与的关系，进而求出离心率.【详解】由题意可知：，又因为成等差数列，所以，也即，所以，则，故选：C.9．下列叙述中正确的是（

）A．若，则“”的充分条件是“”B．“”的充要条件是“”C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D．命题“若，则或”是假命题【答案】B【分析】对于A，由充分条件的定义结合一元二次不等式恒成立的条件分析判断，对于B，由充要条件的定义分析判断，对于C，将全称命题否定特称命题即可，对于D，由命题的逆否命题的真假判断.【详解】对于A，因为当，时，，所以“”的充分条件不是“”，所以A错误，对于B，由，得，由上式可知，所以，所以，当时，则，所以，所以，所以“”的充要条件是“”，所以B正确，对于C，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，所以C错误，对于D，命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，此命题为真命题，所以原命题为真命题，所以D错误，故选：B.10．过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出直线l的方程，利用点到直线距离公式，列出不等式求解作答.【详解】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：，即，因直线l与圆有公共点，则，解得，所以直线l的斜率的取值范围是.故选：A11．知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，的面积为，点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是的内心，直线交于M，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得的关系式，然后利用等面积法列方程，化简求得，进而求得.【详解】的面积为，即，，，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为，设内切圆半径为，依题意可知，，，所以.故选：A12．在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为（

）A．12 B．16 C．24 D．18【答案】D【分析】根据正三棱柱外接球的表面积的最小值列方程，结合正三棱柱侧面积的计算公式求得正确答案.【详解】设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为正实数，设，为正常数，，设正三棱柱外接球的半径为，底面外接圆半径为，由正弦定理得，所以，所以当时，取得最小值为，所以正三棱柱外接球的表面积的最小值.则，此时正三棱柱的侧面积为.故选：D二、填空题13．设，若，则______.【答案】【分析】根据列方程，化简求得的值.【详解】，由于，所以，所以，解得.故答案为：14．若圆锥的母线长是5，高是4，则该圆锥的体积是______.【答案】【分析】求出圆锥的底面半径，然后利用圆锥的体积个数求解即可．【详解】解：圆锥的母线长为5，高为4，可得圆锥的底面半径为：，所以圆锥的体积是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆锥的体积的求法，属于基础题．15．已知圆与直线相交于A、B两点，则______.【答案】2【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再计算弦长得到答案.【详解】圆，即，圆心，半径，圆心到直线的距离为，故.故答案为：216．已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为______.【答案】【分析】求得直线的方程，根据题意求得点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率.【详解】解：如图所示，由题意知：，所以，直线的方程为，因为，为等腰三角形，，即，所以，代入直线AP：，整理得，所以，所求的椭圆离心率为.故答案为：三、解答题17．已知，，.(1)若q的充分不必要条件是p，求实数m的取值范围；(2)若，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围.【答案】(1).(2)或.【分析】（1）求出名中不等式的解集，根据充分不必要条件可得集合之间的包含关系，从而列出不等式组，求得答案.（2）由“”为真命题，“”为假命题，可得命题p与q一真一假，分类讨论p与q的真假，解不等式组可得答案.【详解】（1）由题意，命题，记命题p对应的集合为；命题，记命题q对应的集合为；∵q的充分不必要条件是p，即且，∴,∴，解得：,验证时，，符合题意，故实数m的取值范围为；（2）∵，故命题，命题命题；∵“”为真命题，“”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，解得：；②若p假q真，则，解得：综上所述，实数x的取值范围为：或.18．设椭圆过点.(1)求C的标准方程；(2)若过点且斜率为的直线l与C交于M，N两点，求线段中点P的坐标.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定的条件，将两个点的坐标代入椭圆方程，解方程组作答.（2）求出直线l的方程，再与椭圆方程联立，借助根与系数的关系求解作答.【详解】（1）因椭圆过点，则有，解得，所以椭圆C的标准方程为：.（2）依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，显然，设，则，因此线段中点P的横坐标，其纵坐标，所以线段中点P的坐标为.19．如图，四棱锥的底面是菱形，平面，点，分别为棱的中点.(1)求证：平面面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，根据题意可证明平面，根据面面垂直判定定理即可证平面面；（2）取中点为G，连接，构造平行四边形证明，根据线面平行判定定理即可证明平面.【详解】（1）解：由题，连接，∵四边形是菱形，故；∵平面，且平面；∴；又，且平面；∴平面；∵平面∴平面面；（2）解：由题，取中点为G，连接；∵四边形是菱形，且点，分别为棱的中点；∴且；∴四边形是平行四边形，故；∵平面，平面；∴平面.20．已知直线l过点，且______.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线l的一个方向向量为.(1)求直线l的一般方程；(2)若由直线l上一点M引圆的切线，切点为N，求的最小值.【答案】(1)；(2)3【分析】（1）若选①：根据点圆的关系，结合圆的切线性质进行求解即可；若选②：根据同角的三角函数关系式，结合直线点斜式方程进行求解即可；若选③：根据直线的方向向量的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可.（2）根据直线与圆的位置关系，结合圆的切线性质进行求解即可.【详解】（1）选①，∵上，点在该圆上，显然圆心到直线的距离为，所以直线l斜率存在且唯一；故设直线l为；∵直线l与圆相切；故圆心到直线l的距离等于半径；∴；∴直线l的一般方程为.选②，设直线l的倾斜角为，则；∴，故直线l的斜率为；∵直线l过点；∴；∴直线l的一般方程为；选③，∵直线l的一个方向向量为；∴l的斜率；∵直线l过点；∴；∴直线l的一般方程为；（2）由题（1）知直线；由圆，故圆心，半径为2；因为圆心到该直线的距离为，所以直线l圆C相离，连接，则，即为直角三角形，如下图所示：∴；∴当取得最小值时，最小.∵的最小值即点C到直线l的距离，即，此时，∴的最小值为3.21．如图，三棱锥及其正视图与俯视图如图所示.(1)求证：；(2)若D是的中点（未画出），求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明线面垂直来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而转化为正弦值.【详解】（1）由正视图与俯视图可知：平面平面，且；过点P作延长线的垂线，垂足为O，则，连接，如图所示；由于平面平面，且交线为,平面，所以平面，由于平面，所以，由主视图和俯视图可知；∵平面，平面；∴平面，又平面；∴；（2）由（1）知，两两垂直；∴以O为原点，建立如图所示直角坐标系；由三视图知；∴；，设平面的法向量为；∴；∴令，则；平面的法向量为；∴；∴，∴二面角的正弦值为.22．已知圆和定点，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线相切.(1)求曲线E的方程；(2)若过点且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点.（ⅰ）求k的取值范围；（ⅱ）求面积的最大值.【答案】(1)(2)（i）或（ii）【分析】（1）根据