平均数标准差与变异系数

第三章平均数、标准差与变异系数第一节平均数下一张

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平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：

算术平均数（arithmeticmean）

中位数（median）

众数（mode）

几何平均数（geometricmean）

调和平均数（harmonicmean）

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一、算术平均数

算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。

(一)直接法

主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。下一张

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设某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，则样本平均数可通过下式计算：（3-1）

其中，Σ为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当在意义上已明确时，可简写为Σx，（3-1）式可改写为：下一张

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【例3.1】某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均数。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n=10

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得：即10头种公牛平均体重为528.5kg。

（二）加权法对于样本含量n≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：（3-2）下一张

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式中：—第i组的组中值；—第i组的次数；—分组数第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi

称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。【例3.2】将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。下一张

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表3—1100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表下一张

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利用（3—2）式得：即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。下一张

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【例3.3】某某牛群有黑黑白花奶牛牛1500头，其其平均体重重为750kg，而另一牛牛群有黑白白花奶牛1200头头，平均体体重为725kg，如果将这这两个牛群群混合在一一起，其混混合后平均均体重为多多少？此例两个牛牛群所包含含的牛的头头数不等，，要计算两两个牛群混混合后的平平均体重，，应以两个个牛群牛的的头数为权权，求两个个牛群平均均体重的加加权平均数数，即下一张主页页退出上一张即两个牛群群混合后平平均体重为为738.89kg。（三）平均均数的基本本性质1、样本各各观测值与与平均数之之差的和为为零，即离均差之和和等于零。或简写成下一张主页页退出上一张2、样本各各观测值与与平均数之之差的平方方和为最小小，即离均差平方方和为最小小。(xi-)2<(xi-a)2（常数a≠）或简写为：：<对于总体而而言，通常常用μ表示示总体平均均数，有限限总体的平平均数为：：（3-3））下一张主页页退出上一张式中，N表示总体所所包含的个个体数。当一个统计计量的数学学期望等于于所估计的的总体参数数时，则称称此统计量量为该总体体参数的无偏估计量量。统计学中常常用样本平平均数（））作作为总体平平均数（μμ）的估计计量，并已已证明样本本平均数是是总体平均均数μ的无无偏估计量量。下一张主页页退出上一张二、中位数数将资料内所所有观测值值从小到大大依次排列列，位于中中间的那个个观测值，，称为中位位数，记为为Md。当观测值的的个数是偶偶数时，则则以中间两两个观测值值的平均数数作为中位位数。当所所获得的数数据资料呈呈偏态分布布时，中位位数的代表表性优于算算术平均数数。中位数的计计算方法因因资料是否否分组而有有所不同。。下一张主页页退出上一张（一）未分分组资料中中位数的计计算方法对于未分组组资料，先先将各观测测值由小到到大依次排排列。下一张主页页退出上一张1、当观测测值个数n为奇数时，，(n+1)/2位置的观测测值，即x(n+1)/2为中位数：：Md=2、当观测值个个数为偶偶数时时，n/2和和（n/2+1）位位置的两个个观测值之之和的1/2为中位位数，即：：（3-4））下一张主页退出上一张【例3.4】】观察得得9只西农莎莎能奶山羊的的妊娠天数为为144、145、147、149、150、151、153、、156、157，求其其中位数。此例n=9，为奇数数，则：Md==150（天）即西农莎能奶奶山羊妊娠天天数的中位数数为150天天。下一张主页退出上一张【例3.5】】某犬场场发生犬瘟热热，观察得10只仔犬发发现症状到死死亡分别为7、8、8、、9、11、、12、12、13、14、14天天，求其中位位数。此例n=10，为偶偶数，则：(天)即10只仔犬犬从发现症状状到死亡天数数的中位数为为11.5天天。（二）已分组组资料中位数数的计算方法法下一张主页退出上一张若资料已分组组，编制成次次数分布表，，则可利用次次数分布表来来计算中位数数，其计算公公式为：（3—5）式中：L—中位数所所在组的下限限；i—组距距；f—中位数所所在组的次数数；n—总次数；；c—小于中数数所在组的累累加次数。下一张主页退出上一张【例3.6】】某奶牛牛场68头健健康母牛从分分娩到第一次次发情间隔时时间整理成成次数分布表表如表3——2所示，，求中位数。。表3—268头母牛牛从分娩到第第一次发情间间隔时间次数分分布表表下一张张主页页退出出上一张张由表3—2可见见：i=15，n=68，因因而中中位数数只能能在累累加头头数为为36所对对应的的“57——71”这这一组组，于于是可可确定定L=57，f=20，c=16，，代入入公式式（3—5）得得：(天)即奶牛牛头胎胎分娩娩到第第一次次发情情间隔隔时间间的中中位数数为70.5天天。下一一张张主页页退出出上一一张张三、、几几何何平平均均数数n个观观测测值值相相乘乘之之积积开开n次方方所所得得的的方方根根，，称称为为几何何平平均均数数，记记为为G。它它主主要要应应用用于于畜畜牧牧业业、、水水产产业业的的生生产产动动态态分分析析，，畜畜禽禽疾疾病病及及药药物物效效价价的的统统计计分分析析。。如如畜畜禽禽、、水水产产养养殖殖的的增增长长率率，，抗抗体体的的滴滴度度，，药药物物的的效效价价，，畜畜禽禽疾疾病病的的潜潜伏伏期期等等，，用用几几何何平平均均数数比比用用算算术术平平均均数数更更能能代代表表其其平平均均水水平平。。其其计计算算公公式式如如下下：：(3-6)下一一张张主页页退出出上一一张张为了了计计算算方方便便，，可可将将各各观观测测值值取取对对数数后后相相加加除除以以n，得得lgG，再再求求lgG的反反对对数数，，即即得得G值，，即即(3-7)【例例3.7】】某某波波尔尔山山羊羊群群1997——2000年年各各年年度度的的存存栏栏数数见见表表3——3，，试试求求其其年年平平均均增增长长率率。。下一一张张主页页退出出上一一张张表3——3某某波波尔尔山山羊羊群群各各年年度度存存栏栏数数与与增增长长率率下一一张张主页页退出出上一一张张利用用（（3——7））式式求求年年平平均均增增长长率率G==lg-1[（（-0.368-0.398––0.602））]=lg-1（-0.456））=0.3501即年年平平均均增增长长率率为为0.3501或或35.01%。。下一一张张主页页退出出上一一张张四、、众众数数资料料中中出出现现次次数数最最多多的的那那个个观观测测值值或或次次数数最最多多一一组组的的组组中中值值，，称称为为众众数数，，记记为为M0。如表表2-3所所列列的的50枚枚受受精精种种蛋蛋出出雏雏天天数数次次数数分分布布中中，，以以22出出现现的的次次数数最最多多，，则则该该资资料料的的众众数数为为22天天。。又如如【【例例3.6】】所所列列出出的的次次数数分分布布表表中中，，57——71这这一一组组次次数数最最多多，，其其组组中中值值为为64天天，，则则该该资资料料的的众众数数为为64天天。。下一一张张主页页退出上一张五、调和平均均数资料中各观测测值倒数的算算术平均数数的倒数，，称为调和平平均数，记为H，即（3—8）调和平均数主主要用于反映映畜群不同阶阶段的平均增增长率或畜群群不同规模的的平均规模。。下一张主页退出上一张【例3.8】】某保种种牛群不同世世代牛群保种种的规模分别别为：0世代代200头，，1世代220头，2世世代210头头；3世代代190头，，4世代210头，试求求其平均规模模。利用（3—9）式求平均均规模：(头)即保种群平均均规模为208.33头头。下一张主页退出上一张对于同一资料料：算术平均数>几何平均数数>调和平均均数上述五种平均均数，最常用用的是算术平平均数。第二节标标准差一、标准差的的意义用平均数作为为样本的代表表，其代表性性的强弱受样样本资料中各各观测值变异异程度的影响响。仅用平均均数对一个资资料的特征作作统计描述是是不全面的，，还需引入一一个表示资料料中观测值变变异程度大小小的统计量。。下一张主页退出上一张全距（极差））是表示资料中中各观测值变变异程度大小小最简便的统统计量。但是是全距只利用用了资料中的的最大值和最最小值，并不不能准确表达达资料中各观观测值的变异异程度，比较较粗略。当资资料很多而又又要迅速对资资料的变异程程度作出判断断时，可以利利用全距这个个统计量。下一张主页退出上一张为了准确确地表表示样本内各各个观测值的的变异程度，，人们首首先会考虑虑到以平均数数为标准，求求出各个观测测值与平均数数的离差，（（）），，称为离均差。虽然离均差能能表示一个观观测值偏离平平均数的性质质和程度，但但因为离均差差有正、有负负，离均差差之和为零零，即（））=0，因而而不能能用离均差差之和Σ（））来来表示资资料中所有有观测值的总总偏离程度。。下一张主页退出上一张为了解决离均均差有正、、有负，离均均差之和为零零的问题，，可先先求离均均差的绝对对值并并将各离离均差差绝对值值之和除除以观观测值个个数n求得平均均绝对对离差，即即Σ||/n。虽然平均绝绝对离差可以以表示资料中中各观测值的的变异程度，，但由于平平均绝对离差差包含绝对值值符号，使使用很不方便便，在统计学学中未被采用用。我们还可以采采用将离均差差平方的办法法来解决离均均差有正、有有负，离均差差之和为零的的问题。先将各个离离均差平方方，即()2，再求离均差平方和和，即，，简称平方和，记为SS；由于离离差平方和和常随样样本大大小而改改变，，为了消消除样本本大小的的影响，，用平平方和除以以样本本大小，，即，，求出离均均差平方和的的平均数；；下一张张主页页退出出上一张张为了使使所得得的统统计量量是相相应总总体参参数的的无偏偏估估计量量，统统计学学证明明，在在求离离均差差平方方和的的平均均数时时，分分母不不用样样本含含量n，而用用自由由度n-1，于于是是，我我们采采用用统统计量量表表示示资料料的变变异程程度。。统计量量称称为为均方方（meansquare缩写写为MS））,又又称样本方方差，记为为S2，即S2=（（3——9））下一张张主页页退出上一张相应的总体体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限限总体而言言，σ2的计算公式式为：（3—10）由于样本本方差带带有原观测测单位的平平方单位位，在仅表表示一个资资料中各观观测值的变变异程度而而不作其它它分析时，，常常需要与平平均数配合合使用，，这时应应将平方方单位还原原，即应求求出样本方方差的平方方根。统计计学上把样样本方差S2的平方根叫做做样本标准差差，记为S，即：（3-11））下一张主页退出上一张由于所以（3-11）式可改改写为：（3-12））下一张主页退出上一张相应的总体参参数叫总体标准差，记为σ。对对于有限总体体而言，σ的的计算公式为为：（3-13））在统计学中，，常用样本标标准差S估计计总体标准差差σ。下一张主页退出上一张二、标准差的的计算方法（一）直接法法对于未分组或或小样本资料料，可直直接利用（3—11）或或（3-12）式来计算算标准差。【例3.9】】计算10只辽宁绒绒山羊产绒量量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标标准差。此例n=10，经计计算得：Σx=5400，，Σx2=2955000，代入入（3—12）式得：(g)即10只辽宁宁绒山羊产绒绒量的标准准差为65.828g。下一张主页退出上一张（二）加权权法对于已制成成次数分布布表的大样样本资料，，可利用次次数分布表表，采用加加权法计算算标准差。。计算公式式为：（3—14）式中，f为各组次数数；x为各组的组组中值；ΣΣf=n为总次数。。下一张主页页退出上一张【例3.10】利利用某纯纯系蛋鸡200枚蛋蛋重资料的的次数分布布表（见表表3-4））计算标准准差。将表3-4中的Σf、Σfx、代入（3——14）式式得：(g)即某纯系系蛋鸡鸡200枚蛋重重的标准准差为3.5524g。下一张主页页退出上一张表3—4某某纯系系蛋鸡200枚蛋重重资料次数数分布及标准差计计算表下一张主页页退出上一张三、标准差差的特性（一）标准差的大大小，受资资料中每个个观测值的的影响，如如观测值间间变异大，，求得的标标准差也大大，反之则则小。（二）在计算标准准差时，在在各观测值值加上或减减去一个常常数，其数数值不变。。（三）当每个观测测值乘以或或除以一个个常数a，则所得的的标准差是是原来标准准差的a倍或1/a倍。下一张主页页退出上一张（四）在资料服从从正态分布布的条件下下，资料中中约有68.26%的观测值值在平均数数左右一倍倍标准差（（±±S）