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文档简介
1四、拉普拉斯反变换
由，常为s的有理函数
一般形式：
（为实数，m、n为整数）
如
R(s)的拉氏变换为冲激函数及其各阶导数——理想情况
一般情况下：
求拉氏反变换有三种方法：
查表、部分分式展开法和围线积分法（留数法）
(一）部分分式展开法
（）2要点：将分解，逐个求反变换，再叠加基本形式：
1．的根无重根[的极点为单阶]极零点
极点：
使＝∞的s根值，如为的极点
零点：
使的s根值，
如，
为的零点
求求、
3求系数的两种方法
[方法一]（2）式两边乘以（）：
令
则
[方法二]用微分求（形式）
——罗彼塔法则
（
)4例1求的反变换
[为真分式，极点为实数]
解：
1）求：2）求：【方法一】
【方法二】
用微分求
53）求：例2
[为假分式，极点为实数]解：
求的反变换：
求的反变换：
例3求的反变换
[为真分式，极点为共轭复数]解：
【方法一】
1）求：
得62）求：
3）求：
【方法二】
为二次多项式
72．当＝0有重根的情况[有多重极点]设＝0共有n个根，其中一个根s1为p重根，其余为单根（异根），
即令异根项
其系数的求法如上所述
重根项的求取
（1）求：
式（2）乘以，再令得8（2）求（系数）
引入
将式（4）对s取导一次：
将式（5）对s取导一次，再令得
一般情况：
总结：
9例求的反变换解：
1）求系数
单根项
重根项
求
2)求
10（二）
围线积分法（留数法）
拉氏反变换：
留数定理：
上式左边的积分是在s平面内沿一不通过被积函数极点的封闭曲线C进行的，右边则是在此围线C中被积函数各极点上留数之和。
为应用留数定理，在求拉氏反变换的积分线（）上应补足一条积分线以构成一个封闭曲线。
当然要求必须有
或或上式在满足以下两个条件（约当引理）时成立
①
时，
一致地趋近于零；
②
因子的指数st的实部应小于，
即
11一般条件①都能满足（除外），
当
或条件②满足
即积分沿左半圆弧进行；积分沿右半圆弧进行。因此＝围线中被积函数所有极点的留数之和
留数的求取：
[的极点即为的极点]
规则Ⅰ：
若为一阶极点，则（Ⅰ）
规则Ⅱ：
若为p阶极点，
则（Ⅱ）
12注意：
若及其导数时，需先将分为多项式与真分式之和。
例1求的反变换
解：
(均为左侧极点)13例2求，收敛域为的时间原函数
解：
，又若收敛域为，
则两极点均为左侧极点
若
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