《医用高等数学》行列式

?医用高等数学?〔第二版〕8-1行列式高等数学08-01-02一元一次方程ax=b(a0)〔1〕提高未知数的幂次。〔2〕增加未知数及方程的个数。高等数学08-01-05第一节行列式一、行列式的定义二、行列式的性质三、克拉默法那么高等数学08-01-06二元线性方程组高等数学08-01-07高等数学08-01-08二阶行列式主对角线

次对角线+其中a11,a12,a21,a22称为行列式的元素，而上式的右端称为行列式的展开式。高等数学08-01-09对角线法那么二阶行列式等于它主对角线上两元素的乘积减去次对角线上两元素的乘积，这样的运算法称为对角线法那么。高等数学08-01-10那么二元线性方程组的解可记为高等数学08-01-11二元线性方程组的解系数行列式二元线性方程组高等数学08-01-12未知数的系数组成的的二阶行列式称为上述方程组的系数行列式。例解线性方程组高等数学08-01-13三元线性方程组高等数学08-01-14高等数学08-01-15三阶行列式按第一行的展开式

余子式(cofactor)在三阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的二阶行列式，叫做元素aij的余子式，记作Mij，又记Aij=(1)i+jMij称Aij为元素aij的代数余子式(algebraiccofactor)。高等数学08-01-16三阶行列式等于它的第一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=a11A11+a12A12+a13A13高等数学08-01-17例按第一行展开计算三阶行列式高等数学08-01-18主对角线

次对角线+_高等数学08-01-19三阶行列式的对角线法那么+_高等数学08-01-20三阶行列式的对角线法那么主对角线

次对角线例利用对角线法那么计算三阶行列式高等数学08-01-21高等数学08-01-22注对角线法那么只适用于二阶与三阶行列式。课堂讨论题当x取何值时高等数学08-01-23n阶行列式(determinant)用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号高等数学08-01-24称为n阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，简记为|aij|。余子式(cofactor)在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n1阶行列式，叫做元素aij的余子式，记作Mij，又记Aij=(1)i+jMij称Aij为元素aij的代数余子式(algebraiccofactor)。高等数学08-01-25例求四阶行列式中元素a12和a33的余子式和代数余子式。高等数学08-01-26课堂讨论题求以下行列式中元素2和2的代数余子式。高等数学08-01-27n阶行列式的归纳定义当n=2时D=a11A11a22A22当n>2时，D=a11A11+a12A12++a1nA1n高等数学08-01-28例计算四阶行列式高等数学08-01-29转置行列式行列式D的行列互换得到的行列式DT

称为原行列式的转置行列式。高等数学08-01-30记性质1将行列式转置，行列式的值不变，即DT=D。高等数学08-01-31注行列式的所有性质但凡对行成立的，对列也同样成立。即行列式中行与列具有同等的地位。因此，以下各性质的表达仅涉及行。高等数学08-01-32性质2交换行列式的任意两行，行列式的值变号。即高等数学08-01-33性质3如果行列式中有两行元素对应相等，那么此行列式的值为零。高等数学08-01-34性质4行列式的某行各元素都乘以常数k，等于将行列式乘以k。高等数学08-01-35推论1如果行列式中某行各元素都是零，那么这个行列式的值等于零。高等数学08-01-36推论2如果行列式中有两行的对应元素成比例，那么此行列式的值为零。高等数学08-01-37推论3如果行列式中某行的所有元素有公因子，那么公因子可以提取到行列式的外面。高等数学08-01-38性质5如果将行列式中的某行的各元素都可以表示成两项之和，那么此行列式可以写成两个行列式的和。即有高等数学08-01-39推论如果将行列式中的某行各元素都可以表示成m〔m为大于2的整数〕项之和，那么此行列式可以写成m个行列式的和。高等数学08-01-40性质6将行列式中某行各元素乘以同一常数后加到另一行对应元素上，行列式的值不变。高等数学08-01-41性质7行列式D等于它任何一行各个元素与它们相应的代数余子式乘积的和。即高等数学08-01-42D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,…,n)

上三角行列式假设在主对角线以下的元素都为零，那么称这样的行列式为上三角行列式。高等数学08-01-43下三角行列式假设在主对角线以上的元素都为零，那么称这样的行列式为下三角行列式。高等数学08-01-44定理上三角行列式等于主对角线上各元素的乘积。即高等数学08-01-45定理

下三角行列式等于主对角线上各元素的乘积。即高等数学08-01-46通常，用rirj

表示第i行与第j行互换；用kri表示将第i行的元素乘以k；用+krirj表示将第i行的元素乘以k加到第j行的对应元素上。高等数学08-01-47如果化简步骤是对列进行的，上述的表示法中的字母r换成c。例计算以下行列式的值。高等数学08-01-48例计算以下行列式的值。高等数学08-01-49例计算以下行列式的值。高等数学08-01-50课堂讨论题计算以下行列式的值。高等数学08-01-51二元线性方程组高等数学08-01-52三元线性方程组高等数学08-01-53考虑含有n个未知数，n个线性方程的方程组解的情况。高等数学08-01-54克拉默法那么如果线性方程组高等数学08-01-55的系数行列式D不等于零，即高等数学08-01-56那么，方程组有唯一解其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。即高等数学08-01-57j列例医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜，鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g蛋白质和300mg维生素C，三种食物每100g中有关营养的含量如下表所列，试求所配菜肴中每种食物的数量。高等数学08-01-58高等数学08-01-59蔬菜鱼肉松热量(cal)60300600蛋白质(g)396维生素C(mg)906030例设血液经血管分支点流动的流动速率〔简称流率〕为z，经两条血管离开分支点的流率分别为x和y，那么有z=xy，如以下图所示。高等数学08-01-60zyxPzPxPyP高等数学08-01-61假定各条血管距分支点一定距离的压强分别为Pz，Px及Py。在分支点的压强为P，并且压降〔对分支点的压强差〕与流率成正比，那么得其中Rz，Rx，Ry分别为三条血管相应的压降对流率的比例系数。高等数学08-01-62如果血管端点的压强Px、Py、Pz可以测得，那么我们通过解这个线性方程组，便可以求出x，y，z及P。此时，可将方程组改写为注〔1〕克莱姆法那么只有在D0时才能应用。〔2〕克莱姆法那么有重大的理论价值。高等数学08-01-63齐次方程组线性方程组高等数学08-01-64右端的常数项全为零时，称为齐次方程组。非齐次方程组

线性方程组高等数学08-01-65右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，称为非齐次方程组。对齐次线性方程组xi=0(i=1,2,…,n)一定是它的解，这个解叫做齐次方程组的零解。如果有一组不全为零的解是齐次方程组的解，那么它叫做齐次方程组的非零解。高等数学