特征值、特征向量及相似矩阵

特征值、特征向量及相似矩阵特征值相似对角化特征向量相似矩阵定义:

AX=λX(X≠0)求法：解|λE

–A|=

0性质：5同定义：B=T-1AT

性质:不同λ的特征向量线性无关定义:

AX=λX

(X≠0)求法:解(λiE

–A)

X=

0性质：

tr(A),|A|

条件3方法应用求:An,|A|,

Anβ实对称阵4正交1《线性代数与解析几何》第二十四讲哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲第六章特征值、特征向量

及相似矩阵习题课21.若A有n个互异特征值

A可相似对角化.2.A可对角化A有n个线性无关的特征向量.3.

A可对角化A每个特征值的几何重数R(λiE–A)=n–ri

(i=1,2,…,s)=代数重数.总结(A为方阵)4.实对称阵在实数域内对角化,首先特征值都是实数,且每个特征值的几何重数=代数重数.5.实对称阵一定可以正交相似对角化.3(1)特征多项式,

(2)

特征值,(1)A的k次幂,(2)(4)已知特征值,特征向量,反求矩阵A.(3)判断矩阵相似(若A~,B~,则A~B.)(A可相似对角化).2.可以简化方阵A的某些计算如求A相似与对角阵的应用：1.有5同,所以易求(3)行列式,

(4)

迹,

(5)

秩.4正误识别例1

A是n阶方阵,则下列结论正确的是(A)若|E-A||-E-A|=0,则A的特征值只能是(B)若|E-A||-E-A|=0,则1和-1是A的特征值.

(C)若A2=A,则A的特征值只能是1或0.

(D)若A的特征值都是0,则A

=0.

±1.(D)的反例5

A是3阶方阵,

A

的特征值为0,0,1,X1,X2

是AX=0的基础解系,

X3是AX=X的非零解,(A)k1X1

+k2X2+k3X3;

k1,k2,k3不全为零.(B)

k1X1,k2X2,k3X3;

k1≠0,k2

≠0,k3

≠0.(C)k1X1

+k2X2及

k3X3;

k1,k2

不全为零,

k3

≠0(D)k1(

X1

+X2

),k2X3;

k1,k2不全为零.则A的全部特征向量为例26可以,特征向量相同.例3例4设A是3阶矩阵,有特征值为1,-1,2,则下列矩阵中可逆的是().(A)E-A.(B)E+A.(C)2E-A.(D)2E+A.解若A可逆且可对角化,则A*是否可对角化?理由是?解7例5若4阶矩阵A与B相似,A的特征值为则解因为A与B相似,B的特征值也为故的特征值为2,3,4,5,有4个互异特征值,可相似对角化8A是3阶方阵,1,2,3是A的特征值,其对应的特征向量为计算解例6A有3个互异特征值,所以A可相似对角化，其对应的特征向量构成可逆阵另有910例7设是常数项不为零的k次多项式,A是n阶方阵,且证明A没有零特征值.证

设所以A可逆,故A没有零特征值.11例8设A是3阶非零方阵,AX=0有非零解,又有两个不共线的非零向量满足AX=X,

则解则A有0特征值,AX1=0=0X1所以X1是A的属于0的特征向量.设AX=0的非零解为X10,A=0又设两个不共线(线性无关)的非零向量为X20,X30,满足AX2=X2,

AX3=X3X2,

X3是A的属于特征值1的线性无关特征向量.2A+3E=.12所以A有3个线性无关的特征向量,故可以相似对角化,存在可逆阵P使13例9设A,B都是n阶实对称矩阵,且有正交阵T,使及都是对角阵.试证AB也是实对称矩阵.证

设都是对角阵.而故

AB是实对称阵.14例10问A,B,C中哪些相似?为什么?解

R(A)=2

R(B)=R(C)=1A不与B,C相似.对于B,C,其特征值都是0,0,1,只需判断B,C是否都能相似对角化即可.R(0E-B)=R(B)=1=R(C)=R(0E-C)设故

都能相似对角化为diag(0,0,1),即B,C相似.都对应2个线性无关的特征向量.于是B,C都有3个线性无关的特征向量.15例11

已知5阶矩阵问A与B是否相似?为什么?解A为实对称矩阵,可以相似对角化.A的特征值为5,0,0,0,0.16B的特征值也是5,0,0,0,0.R(0E-B)=R(B)=1对应4个线性无关的特征向量.所以B共有5个线性无关的特征向量.故17例12

已知问与是否相似?说明理由.18解都是对角阵,其对角元都是它的特征值.经计算知与的特征值分别相同.有3个互异特征值,能相似对角化为与相似.有为三重特征值,而只对应1个线性无关的特征向量.不能相似对角化为,与不相似.实对称阵,与相似.19例13设n阶实对称矩阵A的特征值都大于零,试证证因为A是实对称阵,所以存在正交阵P,使20例14

设矩阵且A有3个线性无关的特征向量,是A的二重特征值,求可逆阵P,使为对角阵.解A有3个线性无关的特征向量,故可相似对角化.而21特征值为:1.将代入方程组(2E-A)X=0

得基础解系:22得基础解系:2.将代入方程组(6E-A)X=023设求正交阵P,使得PTAP成对角阵.解

(1)例1５24求得基础解系:

(