资本资产定价模型及证明

欢迎各位光临！1a金融学科名著PortfolioTheoryandCapitalMarketsWilliamF.SharpeTheMcGraw-HillCompanies,Inc.,1970(FirstEdition)；2000(SecondEdition)中文版《投资组合理论与资本市场》1990年诺贝尔经济学奖获得者威谦F.夏普的心血之作，胡坚译

北京：机械工业出版社，20012aWilliamF.SharpeProfessorofFinance,Emeritus,

GraduateSchoolofBusiness,StanfordUniversityNobelPrizeinEconomicSciences,19903a《投资组合理论与资本市场》简介

《投资组合理论与资本市场》是第一本把多少世纪以来的定价和风险知识联系在一起，并以精确的、简明易懂的和显著有效的方式表述的著作。该书向广泛的读者介绍了CAPM。通过解释每一种投资会遭受两种显著的风险---位于市场中的系统性风险和与一个公司命运相关的非系统性风险，CAPM代表了一种数量化的、复杂的但是可以理解的度量与投资者承担风险的收益相匹配的组合风险的模型。CAPM已经成为现代投资理论的核心，并且奠定了作者作为金融巨人的地位。4a《学科名著阅读》

资本资产定价模型及其证明

邹辉文福州大学管理学院

教授、博士后、博导

2011.55a背景介绍第二次世界大战以后，随着一般经济均衡理论的完善，金融学研究的方法论也发生了很大的变化。经济学家们开始为金融学寻求适当的数学框架。

第二次世界大战以前，金融学完全是经济学的一个分支学科。金融学研究的方法论，总的说来与当时的经济学研究的方法论相同。以定性的思维推理和语言描述为主，基本上采用的是经济学的供需均衡分析，“使用的分析工具最复杂的也不过是贴现值（Merton，1992）”。

6a背景介绍

新的数学框架下的现代金融学被认为产生于两次“华尔街革命”：

（1）马科维茨（Markowitz）（1952）的证券组合选择理论的发表；

（2）布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）（1973）的欧式期权定价公式的问世。

这两次“革命”的特点之一都是避开了一般经济均衡的理论框架，以至于在很长时间内都被传统的经济学家们视为“异类”。但是它们确实在以华尔街为代表的金融市场引起了“革命”，从而最终也使金融学发生根本改观。

7a背景介绍

美国诺贝尔经济学奖获得者Markowitz（1952）第一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选择问题，获得了著名的基金分离定理，为资产定价理论奠定了坚实的基础。

8a背景介绍

在Markowitz的资产组合均值－方差理论的基础上，另一位美国诺贝尔经济学奖获得者，Markowitz的学生WilliamF.Sharpe（1964）在比较强的市场和投资者行为假设下，得出了均值－方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型（CAPM）。

Sharpe（1970,2000）的著作总结了投资组合理论的精华，简化了最优投资组合前沿的计算，并详细介绍了资本资产定价模型（CAPM），这一模型已经成为现代投资理论的核心。

9a背景介绍

CAPM的创造性贡献在于：（1）明确了切点组合的结构，提出并证明了著名的货币分离定理，这是Sharpe等人对金融经济学一个最重要的贡献。根据这一结果可大大简化有效资产组合集的内部结构，即任一有效资产组合均可分解为无风险资产和切点组合的某种线性组合。而且，当市场达到供求平衡时，市场组合就是切点组合；（2）提出了简单明了、结构清晰、解释能力强的资产定价均衡模型，模型说明：只有冒不可分散的风险，才可以得到更高的期望收益；（3）对不可分散的风险提供了一种计量的方法－证券的β系数，从而改进了原有的资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。

10a内容介绍一、资本资产定价模型的回顾

1.基本假设条件

2.五个推导步骤（定性描述）二、资本资产定价模型的数理描述

1.前两个步骤的数学推导

2.第三个步骤的详细讨论

3.后两个步骤的数学推导11a一、资本资产定价模型的回顾

（一）

基本假设条件

（二）

五个推导步骤（定性描述）12a（一）资本资产定价模型的基本假设

2.

市场完全竞争，所有市场参与者都是价格的接受者。

3.市场信息对称、完全；信息成本为零；所有市场参与者同时接受信息。

4.存在无风险资产，其收益率在所考虑的时段内不变，且对所有投资者都相同。

5.所有市场参与者都是理性的，并且追求效用最大化。1.所有资产无限可分，市场没有摩擦，允许无限制的卖空。13a

关于效用最大化投资者事先知道资产收益率的概率分布，且所有投资者对它们的看法一致（因信息对称）；投资者仅依据资产收益率和投资风险进行决策，并分别以资产收益率的均值和方差标识；遵守占优原则：在同一风险水平下，选择收益率较高的资产组合；在同一收益率水平下，选择风险较低的资产组合。（简称为均值－方差准则）14a（二）资本资产定价模型的推导过程（五步曲）

2.存在无风险资产时资产组合的有效前沿

1.

风险资产组合的有效前沿

（Markowitz的资产组合选择理论：均值－方差模型）（Sharpe的无风险借贷对有效集的影响理论）

15a

3.两种情形下的有效前沿的相切关系在Sharpe的有效前沿上，Markowitz的有效前沿除切点T外都成为无效组合，因此切点T成为最优风险资产组合。

（Sharpe的货币基金分离定理）16a根据信息完备假设，投资者具有相同的预期，于是可以导出每个投资者的最优风险资产组合都是相同的。又无风险资产（点F）和最优风险资产组合（点T）的线性组合可以生成Sharpe的有效前沿上任一资产组合（点P），P=xF+(1-x)T，于是得出每个投资者的线性有效集都是一样的。17a如果把货币市场基金看做无风险资产，就得出著名的货币基金分离定理：存在唯一的一对有效资产组合：一个只含有无风险资产，另一个只含有风险资产，使得任一有效资产组合都可以由这对有效资产组合线性地生成，且这对有效资产组合的选择与投资者的风险-收益偏好和财富分配无关。18a

5.资本资产定价模型

4.市场均衡时两有效前沿的切点对应的资产组合等于市场资产组合（Sharpe的证券市场线）（Sharpe的资本市场线）19a

第三步骤的重要性它起着承上启下的作用：通过相切把二个有效前沿联系起来；通过切点组合等于市场组合，把最优风险资产组合与资产市场组合联系起来，并进一步推出了定价模型。20a二、资本资产定价模型的数理描述

1.风险资产组合的有效前沿

2.存在无风险资产时资产组合

的有效前沿

3.两种有效前沿的相切关系

4.市场均衡时切点组合等于市

场组合

5.资本资产定价模型（CAPM）21a1.

风险资产组合的有效前沿

按照Markowitz的均值－方差准则，选择风险资产组合的原则是：对给定的收益率均值，选择风险资产组合使其总风险最小。

它可描述为以下的二次规划问题：，

为资产组合，

为n个风险资产收益率的协方差矩阵（设其正定），

其中为收益率的均值向量，

分别为资产组合p的收益率的标准差和均值。

（1）

l为分量均为1的n维向量，

22a用拉格朗日（Lagrange）乘数法求解问题（1），得其解为

（2）（3）其中。23a式（3）可化为（4）故所有风险资产组合的有效前沿在

平面上是中心为（0，B/A），渐近线为

的双曲线的右半支。

24a2.存在无风险资产时资产组合的有效前沿

考虑存在无风险资产的情形。

相应的最小方差资产组合问题可以表示成以下的二次规划问题

(5)rf为无风险利率。

25a

同样用拉格朗日（Lagrange）乘数法求解问题（5），得其解为（6）（7）其中26a

从式（7）可知，所有资产组合的有效前沿在

平面上是两条以

为起点的射线

（8）27a3.

两种情形下的有效前沿的相切关系

从上述CAPM的推导过程简介中可知，CAPM的推导过程中一个重要的步骤是证明：风险资产组合的有效前沿（双曲线）与存在无风险资产情形下所有资产组合的有效前沿（射线）相切。

28a29a

一是从经济和几何意义进行直观描述，并不作严格证明。

（Sharpe（2000），

蒋殿春（2001））

国内外的教材对这一问题的处理方式：

30a

二是给出证明，但是在引入零－协方差证券组合的概念的基础上，过F（0，rf）作一条射线L与风险资产组合的有效前沿（双曲线）相切，然后证明该射线L的斜率与所有资产组合的有效前沿（射线）Rp的斜率相等，从而两者重合。（王一鸣（2000），杨云红（2000），黄奇辅、李兹森伯格（2003）

）31a三是直接给出切点组合（怎么得出不作说明），然后验证切点在所有资产组合的有效前沿边界（射线）Rp上，且切线L与射线Rp的斜率相等。（陈伟忠（1999），叶中行、林建忠（1998））

32a而且，对如何求出切点组合，杨云红（2000）用的是与证明相切时不同的方法，其余文献则未作说明。

33a

但这里都使用了一个几何直观：

过F（0，rf

）的射线束中一定存在该双曲线的切线!

而事实上对其存在性并未作证明。

34a参考文献[1]SharpeW.F.,PortfolioTheoryandCapitalMarkets[M].TheMcGraw-HillCompanies,Inc.,2000[2]蒋殿春,现代金融理论[M].上海:上海人民出版社,2001[3]王一鸣，数理金融经济学[M].北京：北京大学出版社，2000[4]杨云红，金融经济学[M].武汉：武汉大学出版社，2000[5][美]黄奇辅,李兹森伯格著,宋逢明译,金融经济学基础[M].北京:清华大学出版社,2003

[6]陈伟忠，动态组合投资理论与中国证券资产定价[M].西安：陕西人民出版社，1999[7]叶中行，林建忠，数理金融－资产定价与金融决策理论[M].北京：科学出版社，199835a两种情形下的有效前沿的相切关系的讨论与严格证明36a

在这个意义下，所有风险资产组合的有效前沿只能取双曲线式（4）的右上半支，而存在无风险资产情形下所有资产组合的有效前沿则只能取两条射线式（8）中斜率为正的那一条。选择资产组合使其收益率均值最大。

我们知道，Markowitz的资产组合均值－方差准则另一半是：对给定的收益率方差37a这条射线与双曲线的右上半支的关系只能是：相交、相切和相离。下面分情形讨论。

1.因故射线Rp：

的斜率不小于双曲线的右上半支Hp的渐近线

的斜率，所以Rp与Hp相离。

38a2.我们证明射线Rp与双曲线的右上半支Hp相切。

注记：

可以证明，在上述假设条件下，

一定成立。

39a命题1当时，射线Rp：

与双曲线Hp：

的右上半支有唯一切点

，其中

对应的有效资产组合为

。40a若Rp与Hp有唯一交点

且在点T处，

则在点T处，Rp与Hp一定相切。又因

故切点在Hp的右上半支。

下面证明这样的点唯一存在。

Hp的切线斜率等于Rp的斜率，

[证法一]

41a对的两边微分得

在Hp上的mvp点

处，

故导数

除此之外，

42a处的导数为

故在Hp上任一点

在Rp上任一点

处的导数为

令两导数相等，可得

（9）

43a（10）

根据上述分析，若由射线Rp、双曲线Hp的方程以及式（10）构成的下列方程组(11b)

(11a)(11c)44a有唯一解

，则T

一定是唯一切点。

将式（11b）代入式（11c），并化简得

（12）

因

故式（11b）与（12）的唯一解为

45a（13a）

（13b）

将

的表达式分别代入式（11a）

的左右两边，经化简知等式成立。

故式（12）是方程组（11）的唯一解。

所以在点处，Rp与Hp一定相切。

46a将式（13）代入式（2）或（6）均可得切点

对应的有效资产组合为

（14）

证毕。47a

[证法二]

我们知道有效前沿上的点与有效资产组合是一一对应的，若Rp与Hp相交，则其交点T就是式（2）与式（6）表示的有效资产组合相等时所对应的点。若我们还能证明其交点唯一，且在交点处，Rp与Hp对应的两函数的导数相等，则T一定是Rp与Hp的切点。48a

令式（2）与式（6）表示的有效资产组合相等，得

(15)

＝

49a式（15）两边左乘

，注意到

（17）

，经化简得

（16）

注意到

，式（16）的唯一解为

50a将式（17）代入式（15），经验算知它也是式（15）的解。由于式（15）的解都是式（16）的解，而式（16）只有唯一解，它当然也是式（15）的唯一解。51a因

，将式（17）代入式（3））。将T（

（18）

故Rp与Hp相交，其唯一的交点为

T（

）代入或（8）均可得

式（9），得

52a证毕。

所以在点T（

）处，Rp与Hp

对应的两函数的导数相等，

故T（

）是Rp与Hp的唯一切点。

（19）

53a

[第三种证明方法]

下面使用零－协方差资产组合的概念给出命题1的第三种证明方法。证明中须用到下述性质。

54a性质1

对于风险资产组合的前沿边界上除mvp外的任一资产组合p，存在唯一的该前沿边界上的资产组合zc(p)，使得

其中各符号的意义同前。

55a性质1的证明是简单的，只须直接计算

的前沿边界的切线在的数学期望值），再由式（6），并令其为0，即可唯一确定

即可唯一确定zc(p)。

由唯一性即知，zc(zc(p))=p。

（

的几何意义是过p点的风险资产组合轴上的截距。

56a57a[命题1的证法三]

（20）的前沿边界上取资产组合zc(p)，使得由于

，故能在风险资产组合。根据性质1，存在唯一的前沿边界上的资产组合zc(zc(p))=p，使得

58a过点p作前沿边界的切线L（光滑曲线上得，该切线L在纵轴上的截距为）作一条射线与前沿边界相切上任一点处的切线是存在的，这与过点综合式（7）、式（9）和式（20）可推F（0，的意义不同，那只是几何直观），59a（21））。故切线过点F（0，

可推得下面证明切线L与射线Rp的斜率相等。

由式（7）、式（20）和

60a，可推得

和式（21），并注意到由式（9）、式（20）、

61a的结果符合命题1。

所以切线L与射线R