波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用

波利亚的数学解题理论及其在初中数学应用题教学中的应用罗平县阿岗一中王书文不看航拍，你永远不知罗平有多美●PCK是指教师在面对特定的学科主题或问题时，如何针对学生的不同兴趣与能力，将学科知识组织、调整与呈现，以进行有效教学的知识。●

PCK与其说是一种知识，不如说是一种教师所特有的“转化”智能，即将学科知识转化成学生有效获得的学科教学智能。学科的知识教学的知识学生的知识教学设计教学实施数学学科教学知识（数学教学内容知识PedagogicalContentKnowledge，简称数学PCK）PCK古已有之波利亚及其解题理论介绍

一、波利亚数学教育思想简介乔治·波利亚(GeorgePolya,1887-1985)，是美籍匈牙利数学家、数学教育家。在数学教育方面他有3部世界名著:《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现———对解题的理解、研究和讲授》。这3本书在我国有5个译本,其中《怎样解题》发行量已过百万册。著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书:“每个大学生、每个学者,特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”。波利亚及其解题理论介绍

二、波利亚的怎样解题表波利亚将解题过程分为四个基本阶段：理解问题，制定计划，实施计划，回顾。

第一，理解问题，也即要清楚已知条件是什么，问题是什么等。

第二，制定计划，也就是在面对条件和问题时，我们要理解条件中各个项目有什么关联，未知量与己知数据有什么联系等等，以形成解题的思路，并形成解题计划。

第三，实施自己的解题计划。

第四，回顾整个解题过程，包括自己是如何理解问题，如何形成解题思路，如何实施计划，并对得到的问题答案进行检验。列方程(组)解应用题的一般步骤： (1)_______； (2)_______； (3)找出包含未知数的___________； (4)_______________； (5)___________________； (6)_____________．审题设元等量关系列出方程(组)求出方程(组)的解检验并作答列方程解应用题的策略成功属于每天都努力学习的人！在列方程（组）解应用题时，一般采用直接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的个数要与未知数的个数相同。根据题意列出的方程（组）可能是各种各样的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用学过的知识来判断是什么方程（组），然后，根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组）。解方程（组）时步骤可以少一些，但是应该有这类方程（组）的标准形式。（一）解方程的的基本步骤

1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意．2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．4、“解”就是解方程，求出未知数的值．5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．6、“答”就是写出答案(包括单位名称)

数学教学就是数学语言的教学。数学语言具有简洁、无歧义的特点，但同时内涵丰富，具有一定的抽象性。尤其是符号语言和图表语言要在阅读中进行语意转换，给阅读带来了一定的困难，因而指导学生进行科学有效的阅读能起到事半功倍的效果。

培养学生的阅读能力中国人一年平均读书0.7本

第一，略读识大意。应用题实际上就是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大。这就需要快速地浏览一遍，了解题目的大意:题目叙述的是什么事，是哪一类问题(函数问题、方程问题、不等式问题、概率问题等)。条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念。同时，要求学生手脑结合，一边读，一边记，一边画出相应的示意图，避免信息的遗漏。第二，细读抓关键。题目中关键词语和重要语句往往是重要信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点。因此，要求学生在略读识大意的基础上逐字、逐词、逐句进行研读，弄清含义及其相互之间的联系。比如，“至多”、“至少”、“都是”、“不都是”、“增加了”、“增加到”等词语在解题中往往起着关键作用，务必抓住、用准。第三，精读勤转换。阅读数学教材重在领会，而领会的关键是“内部转化”。即把一个抽象的内容转化为具体的内容；把符号、图表转化为文字表述；把文字表述的关系转化为符号或图表等。数学阅读要加强转化训练，使大脑建立起灵活的转化机制。所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数学模型，是解应用题的关键。培养学生的建模能力1、注重课本，打好基础新教材中提供了丰富的实际问题.如面积问题、体积问题、航行问题、邮资问题、细胞分裂问题、分配问题、造价问题、利率问题、规划问题等，这些都是数学建模的最基本的实例，在教学中要给予高度重视。结合生活中的这些简单、常见的实例进行教育，可以使学生掌握数学建模的方法和步骤，打好数学建模的2、归类整理，准确建模应用题文字较长，数据信息较多，对学生阅读理解、信息筛选的能力要求较高，同时还必须提取已储存的信息，迅速实现信息转换，使实际问题转化为数学符号、数量关系，从而建立数学模型。信息加工理论告诉我们，在提取存贮的信息时，提取线索起着重要的作用。提取线索与记忆痕迹越接近，提取越有效。为此，在教学中应指导学生对应用题进行归类整理，并提供一般的建模思路，使之能迅速、准确地进行数学建模。3、改题编题，鼓励创新在教学中，教师要鼓励学生对教材中的例题、习题进行改编。通过改变条件、改变结论、改变数量关系等，对习题所提供的信息纵横审视、反复琢磨，从而体会编题者的意图，提高信息加工的速度。另外，也可让学生自己搜集素材，大胆编制新题，进行建模练习。要表扬编题有新意的学生，以充分调动他们学习的积极性。1、精心研究算法第一，运算要合乎算理。运算过程中的每一步都要有依据，或根据概念，或根据公式，或根据法则，要养成思维严谨的好习惯。

第二，运算要简捷。运算过程中选择的运算路径要短，运算步骤要少，运算时间要短。为此，教学中教师要指导学生掌握计算方法和技巧，从而使学生抓住关键计算步骤，节省计算时间。培养学生的运算能力

2、书写严格要求一是步骤书写要规范。解、证、文字说明、列式、计算结果、计量单位、答案等都要严格按照要求书写，条理清楚，一目了然。二是符号书写要规范。运算符号、关系符号、代数符号、几何符号、三角符号等的书写必须规范清晰、准确无误。三是文字书写要规范。在解题和答题过程中，必须书写工整、笔画正确、标点符号使用得当，完整地表述解题过程。规范的书写不仅能准确地输出信息，更能培养学生学习认真、做事精细的良好品质。

开发生活中的应用题课程资源，发展学生解决应用题的能力在数学教学中，应用题教学始终是困扰学生和教师的一个难点，学生害怕应用题，认为应用题枯燥无味，老师害怕应用题，是因为应用题情景平淡空洞，缺少情景载体，不能激发学生学习兴趣。究其根源，教材中编写的应用题由于带有普遍性、公共性，所以对人就是“甲、乙两人”，对地点就是“A,B两地”等，这样的应用题，缺乏具体的、贴近学生生活的情感体验，没有学生感兴趣的情景载体，仅仅是为了学会解决一类应用题的方法。

而忽视了数学应用题的形成过程与应用过程，忽视了数学情感态度和价值观的培养，教师教学是就“本”讲“本”，就“题”讲“题”，在教学中就很难激起学生学习应用题的情感和兴趣，也就自然导致应用题教学的失败。其实，在我们生活实践中有许多有意义、也很有趣的应用题课程资源，只要教师善于开发和利用，创设合理、有趣、贴进学生生活的应用题情景和载体，营造一种富有吸引力的学习背景，就能有效地激发学生学习应用题的兴趣，学生就会积极、主动地去思考和探索应用题。应用题的解法很多，以下几种：1）列表法2）图示法3）演示法4）实践法设未知数的技巧：1、设直接未知数，即求什么设什么。2、设间接未知数。3、设辅助未知数，即“设而不求”在列方程解决实际问题的过程应注意哪些问题？（1）设未知数时，要仔细分析问题中的数量关系，找出题中的已知条件和未知数，一般采用直接设法，有些问题可用间接设法，要注意未知数的单位，不要漏写。（2）找等量关系时，可借助图表分析题中的数量关系，列出两个代数式，使它们都表示一个相等或相同的量。（3）列方程时，要注意方程各项是同类量，单位要一致，方程左右两边应是等量。（4）解出方程的解后，要验证它的合理性，再解释它的意义，并要注意单位。初中应用题的类型及解法任何人都可以成为自己想成为的那种人,任何人都可以实现自己的愿望,只要你愿意!

义务初中数学课程标准中指出：“在教学中，要注意从学生所熟悉的生活，生产和其他学科的实际出发，进行观察，比较，分析，综合，抽象，概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，在此基础上，引导学生把数学知识运用到生活和生产的实际，包括商品经济的实际中去…”在这个指导思想下，近几年中考中着重考查学生运用数学知识分析和解决简单实际问题能力的应用题所占的比重一年年增大，题型设计越来越新颖，也越来越联系实际，贴近生活。这些熊孩子试卷初中数学应用题主要有：方程应用题，不等式应用题，一次函数应用题，二次函数应用题，统计应用题，解直角三角形应用题等。就这几年中考数学试题中的应用题来说，在各种题型中都有出现，涉及的背景问题有行程问题，增长率问题，东西部人均收入差距问题，用车费用问题，商品打折问题，广告印刷问题，拱桥、隧道设计问题，小区规划问题，储蓄问题，环境污染问题，铺地砖问题等等方程应用题不等式应用题一次函数应用题二次函数应用题统计应用题解直角三角形应用题其他应用题初中数学应用题类型分类七年级八年级九年级一、方程应用题芈月传中的数学题

例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平均每年增长的百分率。例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解方程)，检(检验)，答。考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问题等。例3：某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾加工厂处理，已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元。1、甲乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需几小时完成。2、如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7,370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？例4、某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整。该企业现有生产性行业人员100人，平均每人每年可创造产值a元，现欲从中分流出X人去服务性行业，假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人每年创造产值可增加20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人每年可创造产值3.5a元。如果要保证分流后该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数。二、不等式应用题不等式应用题是近年来中考命题的热点。这个问题中通常带有“不少于”，“不多于”，“不超过”，“最多”，“至少”等关键词，还常常用到求不等式整数解问题。函数应用题主要有一次函数问题和二次函数问题。一次函数问题大致可分为：求实际问题中的函数解析式，经济核算的方案比较，运用一次函数增减性求最值问题等。二次函数问题主要分为求函数解析式，求最值和拱桥或喷泉等设计方案问题等等。例5：辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只能装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。1)设有X辆车装运A种苹果，用Y辆车装运B种苹果，根据上表提供的信息，求Y与X的函数关系式，并求出X的取值范围。2)设此次外销活动的利润为Ｗ(百元)，求W与X的函数关系式，以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。三、一次函数应用题苹果品种ABC车数XY20－X－Y数量2.1X2.1Y2（20－X－Y）获利12.6X12.6Y10（20－X－Y）例6：如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25米，有柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，为了使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外；2)若水流喷出的抛物线形状与1)中相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达到多少米？四、二次函数应用题OAXYCD实际问题数学模型抽象近几年来，中考中对学生收集整理数据的能力的考查在连年增加，就我省近十年来由开始的几分增加到了近年的十几分，统计应用题由此诞生。例7：某鱼塘放养鱼苗100,000条，根据这几年的经验知道鱼苗成活率为95%，一段时间后，准备打捞，第一次从中网出40条，称得平均每条重2.5千克，第二次网出25条，称得平均每条重2.2千克，第三次网出35条，称得平均每条重2.8千克，请估计鱼塘中鱼总重量约为多少万千克？五、统计应用题加权平均数样本平均数总体平均数样本总体估计这类应用题是初中阶段数形结合，沟通代数和几何的内在联系的最好体现。例8：由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频受到沙尘暴的侵害，近日，A市气象站测得沙尘暴中心在A市的正西方向300千米的B处，以10千米/小时的速度向东偏南30度的方向移动，距沙尘暴中心200米的范围是受其影响的区域。1)通过计算说明A市必受到这次沙尘暴的影响；

2)计算A市受沙尘暴影响的时间？六、解直角三角形应用题CBA北南DE例9：我们常常见到如图那样图案的地面，他们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整无空隙的地面。现问，1)向上面那样铺地面，能否全用正五边形材料，为什么？2)你能不能另外想出一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地方案3请你再画出一个用两种不同的正多边形铺地的草图。.七、其他应用题1.所用材料的形状不能是正五边形。因为要铺成平整，无空隙的地面，必须使多边形的内角拼成一个周角，而正五边形的内角为1800，故不能用正五边形的材料铺地面一、日历中的方程(找规律解方程)例1如图某月日历，如果用正方形所圈出4个数的和是76，这4天分别是几号？日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930问题：日历中阴影中的9个数的和能等于136吗？初中应用题具体分类举例如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表：剪的次数

12345正方形个数

（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？（3）如果共剪出301个小正方形，则剪了几次？47101316有一些分别标有6,12,18,24,30,36,…..的卡片，小明从中任意拿到了相邻的3张卡片，发现这些卡片上的数字的和为342猜猜小明拿到了哪3张卡片？小明能否拿到相邻的3张卡片，使得它们的和为86？说明理由？6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右两个人，然后每一个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图，问亮出11的人原来心中想的那个数是多少？如图：一个长方形被划分成6个正方形，已知中间的最小的正方形面积为1平方厘米，求这个正方形的面积二、等积变形及比例、调配内容：（1）等积问题：变形前的体积＝变形后的体积。例题1：要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取截面半径为4cm的圆钢多长？例题2：直径为30cm,高为50cm的圆柱形瓶里放满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10cm的圆柱形小杯，刚好倒满30杯，求小杯的高（2）周长为一定时，当长和宽相等时面积最大。例题：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，（1）使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？

例1：甲仓库有存粮120吨，乙仓库有存粮食80吨，现从甲库调部分到乙库，若要求调运后甲库的存粮是乙库的,问应从甲库调多少吨粮食到乙库？例2：某公司原有职员60名，其中女职员占20%，今年又有几位男职员辞职，公司又补招了3名女职员，女职员的比例提高到25%，问公司离开公司的男职员一共有几人？甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲仓库可调100吨水泥乙仓库可调水泥80吨，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两仓库到A，B两地的路程和运费如下表路程（千米）运费（元/千米.吨）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A地B地202525201210128（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，试用x的一次式表示总运费W?

(2)你能确定当甲、乙两仓库各运往A，B多少吨水泥时，总运费461000元？最省的总运费是多少？2、比例分配应用题例1、我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例配制而成，现要配制这种火药150公斤，则这三种原料各需要多少公斤？解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤，木炭3x公斤依题意得：15x+2x+3x=150x=7.515x=15×7.5=112.52x=2×7.5=153x=3×7.5=22.5答：硝酸钠应取112.5公斤，硫磺取15公斤，木炭应取22.5公斤。设元是间接设元，一般设其中的一份为x，必要时要求连比相等关系一般是总量等于部分量的和或找题中的话，也可以是整个题中始终不变的量

按比例分配的应用题的设元和找相等关系各有什么特点？三、行程问题一、明确行程问题中三个量的关系三个基本量关系是：速度×时间=路程分析方法辅助手段：线型图示法分析方法辅助手段：线型图示法相遇问题：甲的路程+乙的路程＝全程追及问题：（1）同地不同时：慢者行程＋先行路程＝快者路程（2）同时不同地：快者路程—慢者行程＝间隔距离1、甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每小时走48公里，一列快车从乙站开出，每小时走60公里试问：1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？

2）两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？3）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间两车才能相遇？4）若两车相向而行，快车先开25分钟，快车开了几小时与慢车相遇?5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车可以追上慢车？6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相距200公里？

2：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米等量关系：船行时间－车行时间=3小时答：水路长240千米，公路长为280千米，车行时间为7小时，船行时间为10小时依题意得：

x+40=280,x=2403某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是

6千米/小时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队，小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶连队，问是否能在规定时间内完成任务？等量关系：小王所行路程=连队所行路程答：小王能在指定时间内完成任务。解：设小王追上连队需要x小时，则小王行驶的路程为

14x千米，连队所行路程是千米依题意得：一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶，客车的长是200米，货车的长是280米，客车速度与货车的速度比是5：3，客车赶上货车的交叉时间是1分钟，求各车的速度；若两车相向行驶，它们的交叉时间是多少分钟？解：设客车的速度是5x米/分，则货车的速度是3x米/分。

依题意得：5x–3x=280+200x=2405x=1200，3x=720设两车相向行驶的交叉时间为y分钟。依题意得：1200y+720y=280+200y=0.255：一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟，逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里，求两城之间的距离？

等量关系：顺风时飞机行驶的路程=逆风时飞机行驶的路程。答：两城之间的距离为3168公里注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速逆风飞行速度=飞机本身速度－风速5.5(x+24)=6(x-24)解得：x=552解：静风的速度为x公里/小时，由题意得：

∴6（x-24)=3168练习1、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步，如果两人从同一地点背道而行，那么经过2分钟他们两人就要相遇。如果2人从同一地点同向而行，那么经过20分钟两人相遇。如果甲的速度比乙的速度快，求两人散步的速度？等量关系：甲行的路程－乙行的路程=环形周长注：同时同向出发：快车走的路程－环行跑道周长=慢车走的路程(第一次相遇)

同时反向出发：甲走的路程+乙走的路程=环行周长（第一次相遇）

练习2、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早1小时出发，而晚1小时到达，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求村庄到县城的距离？练习2、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早1小时出发，而晚1小时到达，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求村庄到县城的距离？3、两地相距28公里，小明以15公里/小时的速度。小亮以30公里/小时的速度，分别骑自行车和开汽车从同一地前往另一地，小明先出发1小时，小亮几小时后才能追上小明？解：设小亮开车x小时后才能追上小明，则小亮所行路程为30x公里，等量关系：小亮所走路程=小明所走路程依题意得：30x=15（x+1）x=1检验：两地相距28公里，在两地之间，小亮追不上小明四、工程问题中的数量关系：1）工作效率=工作总量完成工作总量的时间———————————2）工作总量=工作效率×工作时间3）工作时间=工作总量—————工作效率4）各队合作工作效率=各队工作效率之和5）全部工作量之和=各队工作量之和例1修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？

2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？解：1）设两工程队合作需要x天完成。2）设修好这条公路共需要y天完成。等量关系：甲30天工作量+乙队y天的工作量=1答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天。等量关系：甲工作量+乙工作量=1依题意得

依题意得y=75x=48例2已知开管注水缸，10分钟可满，拨开底塞，满缸水20分钟流完，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞住，又过了2倍的时间才注满水缸，求管塞同开的时间是几分钟？分析：注入或放出率注入或放出时间注入或放出量注入放出设两管同开x分钟

等量关系：注入量－放出量=缸的容量

依题意得：

x=4

答：管塞同开的时间为4分钟x+2x=3x（分钟）x（分钟）解：设再经过x小时水槽里的水恰好等于水槽的等量关系：甲管流进水的水+乙管流出的水=水槽的依题意得：

答：再经过小时水槽里的水恰好是水槽容量的例6一个水池装甲、乙、丙三根水管，单开甲管10小时可注满水池，单开乙管15小时可注满，单开丙管20小时可注满。现在三管齐开，中途甲管关闭，结果6小时把水池注满，问甲管实际开了几个小时？解：设甲管实际开了x小时等量关系：甲管x小时的工作量+乙、丙两管同开

6小时的工作量）=1

答：甲管实际开了3小时。依题意得：

x=3等量关系：4天的工作量+改进后（x–4)工作量=0.5解：设一共x天可以修完它的一半。

依题意得×4+（x—4）=0.5

答：一共天可以修完它的一半。例7分析：x=五、数字应用题1、弄清数字问题中的特殊关系1234=1×103+2×102+3×10+4

2）自然数abcdefg=a×106+b×105+c×104+d×103+e×102+f×10+g3)abcdefg中的字母取值范围1≤a≤90≤b、c、d、e、f、g≤92、例题举例

1)一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数。解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为2x+1

个位上的数字为3x－1等量关系：新三位数－原三位数=99依题意，得：[100(3x－1)+10x+(2x+1)]－

[100(2x+1)+10x+(3x－1)]=99x=32x+1=73x－1=8答：原来这个三位数为7382)有一个七位数若把首位5移到末位，则原数比新数的3倍还大8，求原数。分析：原数=3×新数+8————5abcdef=3×abcdef5+8————关键是把abcdef求出来，不妨设abcdef=x七位数5abcdef如何表示？——————————5abcdef=5×106+abcdef=5×106+x———————新数abcdef5如何表示？abcdef5=abcdef×10+5=10x+5———————————解：设这个七位数的后六位为x。依题意，得：5×106+x=3(10x+5)+8x=172413∴原数为5×106+172413=51724133、练习

1)一个三位数，三个数位上的数字之和是15，个位上的数是十位上的数的3倍，百位上的数比十位上的数多5，求这个三位数。解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为x+5。等量关系：个位数字+十位数字+百位数字=15依题意，得：3x+x+x+5=15x=23x=6x+5=7答：这个三位数是726已知四位数ab52的三倍比四位数52ab大39，求四位数ab52？——————解：设ab=x，则ab52=100x+52

———等量关系：原数的3倍=新数+39依题意，得：3(100x+52)=(5200+x)+39

答：四位数ab52为1752。————52ab=5200+x

x=17六、浓度问题应用题1、有关浓度问题的数量关系：溶液=溶质+溶剂稀释：加水，溶质不变，溶液增加

加浓：加溶质，水不变，溶液增加蒸发水，溶质不变，溶液减少2、例题举例

1)(稀释)：现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐

10%的盐水，需加水多少斤？分析：加水前加水后前后情况溶液重量

30浓度

16%溶质重量30×16%30+x10%(30+x)10%不变等量关系：加水前溶质的重量=加水后溶质的重量

解：设需加水x斤依题意，得：30×16%=(30+x)×10%答：需加水18斤。x=18变变2)(浓缩)现有含盐16%的盐水30斤,要配制成含盐20%的盐水,需蒸发掉水多少斤?分析：蒸发前蒸发后前后情况溶液重量

浓度

溶质重量不变解：设需要蒸发掉x斤水

等量关系：蒸发前溶质的重量=蒸发后溶质的重量依题意，得：30×16%=20%(30－x)

3016%30×16%30－x20%20%(30－x)变变x=6

答：需要蒸发掉水6斤3)(加浓)现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐20%

的盐水，需加盐多少斤？

等量关系：混合前溶质重量的和=混合后溶质的重量

依题意，得：30×16%+x=(30+x)×20%x=1.5解：设需要加盐x斤3016%30×16%30+x20%20%(30+x)

等量关系：混合前水重量=混合后水的重量

依题意，得：30×（1–16%）=(30+x)×（1–20%）

溶液重量浓度溶质重量混合前盐水混合前盐混合后x100%x

甲种酒精含纯酒精70%，乙种酒精含纯酒精55%。现在要用这两种酒精配制成含纯酒精60%的混合酒3000克，那么甲种酒精、乙种酒精各要取多少克？酒精的重量含酒精百分率酒精重量甲种酒精

乙种酒精

混合酒精

解：设甲种酒取x克,则乙种酒取(3000－x)克等量关系：两种酒酒精重量的和=混合酒酒精的重量

依题意得：70%x+55%(3000－x)=3000×60%x=1000答：甲种酒精要取1000克，乙种酒精要取2000克。3000－x=2000x3000－x

300070%55%60%70%x55%(3000－x)3000×60%练习：

有银和铜合金200克，其中含银2份，含铜3份。现在要改变合金成分，使它含银3份，含铜7份，应加入铜多少克？分析：合金重量银所占比例含银量(克)加铜前

加铜后

200+x解：设应加入铜x克等量关系：加铜前合金的含银量=加铜后合金的含银量

200依题意，得：七、百分率应用题1、打折销售主要内容：利润＝售价－进价

售价＝标价×折数/10

利润率＝利润/进价×100％例题：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利12.5％，若货品近价为380元，则标价为多少元？例题：一商店经销一种商品，由于进货价格降低了6.4％，使得利润率提高了8个百分点，求原来经销这种商品的利润率.例题：编一道“打折销售”的应用题，并能列方程（1+40%）•80%x-x=270来解答。

小颖的服装店同时卖出两套服装，每套均为168元，按成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，请你帮小颖算算，在这次买卖中是亏了还是赚了，还是不亏不赚？例2小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期定期储蓄。今年到期后，扣除利息税20%，所得利息正好为小明买了一个价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？解：设小明爸爸前年存了x元。依题意得：2×2.43%x（1－20%）=48.6x=12502）存款利息应用题答：小明爸爸前年存了1250元钱等量关系：利息－利息税=应得利息利息=本金×年利率×期数利息税=本金×年利率×期数×税率（20%）3）增长率应用题某工厂食堂第三季度一共节煤7400斤，其中八月份比七月份多节约20%，九月份比八月份多节约25%，问该厂食堂九月份节约煤多少公斤？依题意得：x+(1+20%)x+(1+20%)(1+25%)x=7400

答:该食堂九月份节约煤3000公斤.（间接设元）解：设七月份节约煤x公斤。

则八月份节约煤(1+20%)x公斤，九月份节约煤(1+20%)(1+25%)x公斤x=2000(1+20%)(1+25%)x=3000练习1学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元。店方表示：如果多购可以优惠，结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润，求每套课桌椅的成本是多少？（直接设元）解：设每套课桌椅的成本价为x元。依题意得：60（100－x）=72（100–3–x）

x=82答：每套课桌椅的成本是82元。等量关系：60套时总利润=72套时总利润练习2、某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，售出价不变，使得利润率有原来的m%提高到（m+6）%，求m的值。分析:等量关系是售出价不变，两种不同利润率下的售价各如何表示？成本我们可以设为“1”解:（1+m%）=（1–5%）[1+（m+6）%]解得：m=14练习3：小颖的父母存三年期教育储蓄，三年后取出了5000元钱，你能求出本金是多少吗？2.88六年2.70三年2.25一年教育储蓄利率有理数应用题举例例1：每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下：919191.58991.291.388.788.891.891.110袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦总重是多少千克？解：以90千克为标准，超过的重量记为正数，不足的重量记为负数。则10袋小麦对应的数分别为：＋1，＋1，＋1.5，-1，＋1.2，＋1.3，-1.3，-1.2，＋1.8，＋1.1。

1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（-1.3）+（-1.2）+1.8+1.1＝[1+（-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)=5.4(千克)90×10+5.4=905.4(千克）所以10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量为905.4千克。

练习：女子排球队共有10名队员，身高分别为173cm，174cm，170cm，176cm，180cm，175cm，177cm，179cm，174cm，172cm。你能用比较简单的方法计算这个队队员的平均身高吗中？（175cm)例2：麻桥中学定于11月举行运动会，组委会在修整跑道时，工作人员从甲处开工，规定向南为正，向北为负，从开工处甲处到收工处乙处所走的路程为：＋10，—3，＋4，—2，＋13，—8，—7，—5，—2