二次函数知识归纳与总结

-.z.二次函数知识归纳与总结二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特，特别注意a不为零则y叫做*的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与*轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与*轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般两根三顶点（1）一般一般式：（2）两根当抛物线与*轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，则，首先要看是否在自变量取值范围，若在此范围内，则当*=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随*的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随*的增大而减小，则当时，，当时，。二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y0*y0*性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是*=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当*<时，y随*的增大而减小；在对称轴的右侧，即当*>时，y随*的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当*=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是*=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当*<时，y随*的增大而增大；在对称轴的右侧，即当*>时，y随*的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当*=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：>0时，抛物线开口向上<0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为*=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与*轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与*轴是否有交点。当>0时，图像与*轴有两个交点；当=0时，图像与*轴有一个交点；当<0时，图像与*轴没有交点。中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点A坐标为（*1，y1）点B坐标为（*2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为A0*B2，二次函数图象的平移①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：③平移规律在原有函数的基础上"值正右移，负左移；值正上移，负下移”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆--同左上加异右下减(必须理解记忆)说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减直线斜率：b为直线在y轴上的截距4、直线方程：①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:此公式有多种变形牢记②点斜③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:y＝k*＋b(k≠0)=4\*GB3④截距由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为，：：若，则有且。若点P（*0，y0）到直线y=k*+b(即：k*-y+b=0)的距离:抛物线中，abc,的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.口诀---同左异右（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.二次函数单元测试一、选择题：1．下列函数中，是二次函数的是()A.B.C.D.2.二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，则的值应取（）*A．12B．11C．10D．9*O*Oy*Oy*OO*Oy*Oy*Oy*A.B.C.D.4.在函数y=中，自变量的取值范围是()A.≥-2且≠±3B.≥-2且≠3C.>-2且≠-3D.>-2且≠35.无论为何实数，二次函数的图象总是过定点()A.(-1，3)B.(1，0)C.(1，3)D.(-1，0)6.在直角坐标系中，坐标轴上到点P(-3，-4)的距离等于5的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.下列四个函数中，的值随着值的增大而减小的是（）A．B．C．D．CAy*CAy*OA．B．C．D．以上都不9.在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为()Oy*OOy*Oy*yO*Oy*ABCD10．若，则二次函数的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：11．已知二次函数解析式为，则这条抛物线的对称轴为直线=，满足＜0的的取值范围是，将抛物线向平移个单位，则得到抛物线。12．请写出一个开口向上，对称轴为直线，且与轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式。14．已知抛物线经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是________。15．如右图所示，长方体的底面是边长为cm的正方形，高为6cm，请你用含的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________，长方体的体积为V=__________，各边长的和L=__________，在上面的三个函数中，_______是关于的二次函数。16.抛物线与直线有___个交点，交点坐标是_________________。三、解答题：17.当二次函数图象与轴交点的横坐标分别是，且与轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析式。18.求抛物线与坐标轴的交点坐标，并求这些交点所构成的三角形面积。19.一男生推铅球，铅球出手后运动的高度，与水平距离之间的函数关系是，则这个男生的铅球能推出几米？20.*商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数关系，请写出商场卖这种商品每天的销售利润(元)与每件销售价(元)之间的函数关系式。21.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间*(单位：分钟)之间满足函数关系，的值越大，表示接受能力越强。(1)若用10分钟提出概念，学生的接受能力的值是多少"(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，则与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了"通过计算来回答。22．如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20米，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10米，（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？【参考答案】一、选择题：1.D；2.C；3.C；4.B；5.A；6.C；7.B；8.A；9.B；10.C。二、填空题：新课标第一网*kb1.11.3，，上，4；12.