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文档简介

学案18同角三角函数的基本关系式及诱导公式导学目标:1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 g±a,兀为的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式: sin2x+cos2x=1,sn±=tanx.cosx课前准备区巴扣教材夯实基砒课前准备区巴扣教材夯实基砒【自主梳理:.同角三角函数的基本关系【自主梳理:.同角三角函数的基本关系(1)平方关系: (2)商数关系: .诱导公式(1)sin(讣2knt户Z.,cos(a+2knt并,tan(a+2knt并kC(2)sin(+兀a(2)sin(+兀a)=(3)sin(—0=(4)sin(—兀a)=兀(5)sin2—"=(6)sin2+"=,cos(#o)=,cos(—o)=,cos(付o)=兀,cos2■一a=一匕,cos2十a=tan(卡o)=tan(—o)=,tan(关力=3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:上述过程体现了化归的思想方法.【自我检测:(2010•全)cos300°,3A.-2C1C.2(2009陕西)若3sin(2010•全)cos300°,3A.-2C1C.2(2009陕西)若3sin“+cosa=0B.—D显2110A-32C.3cos2a+sin2a5B.3D.—2的值为(2010福建龙岩一中高三第三次月考)a是第一■象限角,tana=3,则sin”等于(B.3B.3D--5A454C--517 174.cos(——^)-sin(--nt的值是A..2

C.0兀2 . 2兀5.(2011清远月考)已知COS1一°)=3,则sin("一-3)=谡堂活动区突破考点蝌析热点谡堂活动区突破考点蝌析热点探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值陟M】已知一?x<0,sinx+cosx=2 5⑴求sin+sin2a+cos3*25+a-sin+sin2a+cos3*25+a-sin2尹a探究点三综合应用(2)求。「anX的值.2sinx+cosx变式迁移1已知sin(3#a)=2sin3^a,求下列各式的值.⑴Sinl4co⑴求sinAcosA;(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;⑴求sinAcosA;(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;⑶求tanA的值.5Sina+2cosa探究点二利用诱导公式化简、求值陟^2](2011合肥卞II拟)已知sin升2=—普,衣(0,nt)sina-2-cos3^+a⑴求 2 2——的值;sin兀一a+cos3兀+a(2)求cos2a-芋的值.变式迁移2设f(a)=(1+2sin并0),则f_23it2sin兀+acos兀—a—cos(1+2sin并0),则f_23it渗透数学忠烈转化与化归思想的应用【例】(12分)已知“是三角形的内角,且sina+cosa=工5(1)求tana的值;1(2)把cos2———2T用tan"表不出来'并求其值.1【多角度审题】由sina+cosa=5应联想到隐含条件sin2a+cos2a=1,要求tana,应当切化弦,所以只要求出

【答题模板】sina,cosa切化弦,所以只要求出

【答题模板】sina,cosa即可.解(1)解(1)联立方程sin2a+cos2a=1, ②由①得cosa=7—sin5a,由①得cosa=7—sin5a,将其代入②,整理得25sin2a—5sina-12=0.[2分]I一…一 4 3.「a「角形的内角,,sin片5cosl飞, 4rc八、"tana=一a.[6分]3sin2a+cos2aI2asin2a+cos2aI2asin2a+cos2acos2a tan2a+1―2 2-=—2 2-= 2-,[8分]cos2a—sin2acos2a—sin2a1—tan2a4tana=一23cos2atan2a+1cos2a—sin2a1—tan2-[10分]a32+132+11--3225八y.[12分]【突破思维障碍】由sina+cosa=及【突破思维障碍】由sina+cosa=及sin2a+cos2a=15cosoc(1)问切化弦即可求.(2)问应弦化切,【易错点剖析】在求解sina,cosa的过程中,若消去联立方程组,利用角 a的范围,应先求sina再求这时应注意1”的活用.cosa得到关于sina的方程,则求得两解,然后应根据a角的范围舍去一个解,若不注意,则误认为有两解.♦课堂小结.由一个角的三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围..注意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想,要尽量少开方运算,慎重确定符号.注意 1”的灵活代换..应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.逐后统司区、选择题(每小题5分,共25分)1.(2011荆州模拟)已知△ABC中,12A石C.513(满分:75分)0=一丝则sinA55B.1312D--13cosA等于)1A.5C.213已知tana512a为第D.限角,则sin3.(2011许昌月考)已知f(a)=sin兀一acos2兀一cos一兀一atan1A.21B--3C.13aa1一2- 31f(—31nt的值为4.设f(x)=asin(研o)+bcos(x+乱其中a、b、f(2O'1

D.33都是非零实数,若f(2002)=—003))A.-15.(2010全国IA^2kkB.0)记cos(—80)=k,C.1那么tan100等于D.26.B--kk7.一, …,一 1(2010全国n)已知a是第二象限的角,tana=—2,则cosa=sin210+sin220+sin23°+…+sin289°= .8.(2010东北育才学校高三第一次模拟考试 )若tana=2,sina+cosa9贝U +cosa=sina—cosa三、解答题(共38分)sin兀-acos2兀——atan——兀9.(12分)已知f(a)= rZ-' ' ', —tan-a—兀sin一兀一a(1)化简f(a);(2)若a是第三象限角,且cos(a—37)=1,求f(a)的值.2 5t,一sink兀-acos[k-1兀-,10.(12分)化间:sin[k+1兀+a]coskTt+a(kCZ).11.(14分)(2011秦皇岛模拟)已知sin0,cos。是关于x的方程x2—ax+a=0(aCR)的两个根.(1)求cos3(L0)+sin3(2一@的值;1j(2)求tan(无®—由飞的值•答案自主梳理1.(1)sin2a+cos2a=1 (2)sin0c=tana2.(1)sinacosatana(2)—sina—cosatana(3)—sinqcos5—tan5(4)sin5—cosq—tana(5)cosasina(6)cosa—sina自我检测C[cos300=cos(360-60)=cos60=].]A[.3sina+cosa=0,sin2a+cos2a=1,.sin2a=110, 1 cos2a+sin2acos2a+2sina,一3sina=^=W]—7sin2a 3B17 、 ., 17 、 ,,兀 兀 兀 兀 兀A[cos(——n兀Asin(——兀$cos(—4兀一[)—sin(—4兀一[)=cos(—4)—sin(—4)=coq+sin4=亚]2-3解析sin(a-舄=-si”,—3兀=-兀=-cos(6一课堂活动区陟1口解题导引学会利用方程思想解三角函数题,对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa课堂活动区陟1口解题导引学会利用方程思想解三角函数题,对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余二式的值,的判断.但要注意对符号… ,. 1『解由sinx+cosx=一得,51+1+2sinxcosx=25,皿 242sinxcosx=—25.—2<x<0,..sinx<0,cosx>0,即sinx—cosx<0.

贝Usinx—cosx24 7+—=——25 5.sin24 7+—=——25 5.725.⑴sin2x—cos2725.=5*sinx+cosx=15(2)(2)由sinx—cosx=一3sinx=~~53sinx=~~54cosx=~5tanx=-3.4即qan/即qan/—2sinx+cosx—5+534 154=8.变式迁移1解变式迁移1解.sin(3#a)=2sin3^+a••一sina=12cosoc..sina=2cosa,即tana=2.方法(直接代入法):⑴原式=2cosa—4cosa5x2cosa+2cosa16.(2)原式=sin2a+2sinacosa sin方法(直接代入法):⑴原式=2cosa—4cosa5x2cosa+2cosa16.(2)原式=sin2a+2sinacosa sin2a+sin2asin2a+cos2a2 1 2sin2a+[sin2a85.方法(同除转化法):tana—4⑴原式=5tana+22tana—4⑴原式=5tana+22—45X2+26-(2)原式=sin2a+2sinocosasin2a+2sinocosatan2a+2tana8sin2 cos2a tan2 1 5陟^21陟^21解题导引三角诱导公式记忆有一定规律:k■2兀+”的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把a看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成2k兀+a,0<a<2万(2)转化为锐角三角函数.解⑴「sin"+2=—¥,代(0,,5 .经・cosa=一「,sina=..5 5

sinl2-cos¥+" -cosa—sinasin兀一a+sinl2-cos¥+" -cosa—sinasin兀一a+cos3兀+asina—cos民13.(2).cosa=一害,sina=挛

5 5.sin2a=—7,5cos2a=一5cos2a—1TOC\o"1-5"\h\z2 .'2 2cos2a—12cos2a+sin2a=一而.变式迁移2 3一2sina—cosa+cosa解析 -f(o)= 2 2一1+sin2a+sina—cos2a2sinocosa+cosacosa1+2sina12sin2a+sinf23%2sin2a+sinf23%__ssina1+2sinatana,tan123兀兀tan—4时6陟^3】解题导引6'=V3.兀Ytan-6先利用诱导公式化简已知条件, 再利用平方关系求得cosA.求角时,ABC用结论有:a+b=lc;2+2+2=2.sinA=M2sinB,⑴当cosA=,cosB=g又A、BABC用结论有:a+b=lc;2+2+2=2.sinA=M2sinB,⑴当cosA=,cosB=g又A、B是三角形的内角,兀 兀.yB=6,(2)当cosA=C=兀—(a+b)=12兀.~2-时,cosB=--2-.又A、B是三角形的内角,综上知,B=56A 兀A=4,兀,不合题意.clc7B=6'C=12兀般先求出该角的某一三角函数值, 再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角形中常解由已知得5cosA=/cosB,②①2+②2得2cos2A=1,即cosA=±!22.- 1变式迁移3解(1),.sinA+cosA=-①变式迁移5,一,一,r 1・•.两边平万得〔+所AcosA=25,12.sinAcosA=—n_.25(2)由(1)sinAcosA=—(2)由(1)sinAcosA=—12 125<0,且0"<兀,可知cosA<0,,A为钝角,二•ABC为钝角三角形.2 49.(sinA—cosA)2=1—2sinAcosA=25.,又sinA>0,cosA<0,「sinA—cosA>0,.sinA—cosA=7,②,由①,②得sinA=4,cosA=—3,5 5,“sinA 4.tanA= 可知cosA<0,,A为钝角,二•ABC为钝角三角形.2 49.(sinA—cosA)2=1—2sinAcosA=25.,又sinA>0,cosA<0,「sinA—cosA>0,.sinA—cosA=7,②,由①,②得sinA=4,cosA=—3,5 5,“sinA 4.tanA= -=—-.cosA 3课后练习区D[.A为AABC中的角,翼/=一今,sina55 ,,,6.sinA=—i2cosA,A为钝角,,cosA<0.代入sin2A+cos2A=1,求得cosA=一~.]135C[已知tan“=--,且“为第二象限角,有cosC1 12也N, 5a=- / ~=— 所以sina=dq.].1+tan2a 13 13sinocosa 31、[.f(a)= =—cosa,-.f(——nt)一cosdana 3,31 、 “c氏 兀1、-cos(-ynt>-cos(10+3)=-cos3=—2.]C[.f(2002)=asin(2002+兀力+bcos(2002-Hi)=asina+bcos3=-1,.f(2003)=asin(2003+讯bcos(2003+例=asin[2002+(#4]+bcos[2002+#兀+阴=asin(-Hr®+bcos(七四=一(asina+bcos就=1.]B[,.cos(-80)=cos80=k,sin80=\1-cos280°=,1-k2.-tan100-tan80-k.]1解析.tana=—2,又.sin2a+cos2a=1,sina

cosa12'a是第二象限的角,•cos897.2解析a=一c.5sin21+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22+…+sin245+…+sin2(90°—2°)+sin2(90-1)

=sin21+sin22°+…+岑2+…+cos220+cos21c c c c c c 1 1 89=(sin21+cos21)+(sin22+cos22)+…+(sin244+cos244)+]=44+2=万.cos2a

sincos2a

sin2a+cos2a解析tana+1解析原式= +tana—1=3+1=3+1tan2a+1165.sin兀一acos2atan—兀9.解(1)f(力= : ; —tan-a—兀sin一兀一asinocosa—tan5=tan闾na=-cos1 (5分)(2)a是第三象限角,且cos(a—第=—sina=(,-sina=一15'(8•分)-cosa=一—sina=一1--522、65,.f(②=_cosa=5.-sina=一15'(8•分)-cosa=一—sina=一1--522、65,.f(②=_cosa=5.(12吩)10.解当k为偶数2n(nCZ)时,sin2n兀一acos

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