专题：基本不等式常见题型归纳学生版

专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号.三个不等式关系：a,b£R,a2+b2三2ab，当且仅当a=b时取等号.a，b£R+,a+b三2%:ab，当且仅当a=b时取等号.a2+b2a+b ,一a,b£R,一2一忘(一2一)2,当且仅当a=b时取等号.上述三个不等关系揭示了a2+b2,ab,a+b三者间的不等关系.a+b.一.. .其中，基本不等式及其变形：a,b£R+,a+b三2"。匕(或abW(—彳)2),当且仅当a=b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值.【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知a>b>1且210gb+310ga=7，则1的最小值为.a b a+ b2-1x2+y2练习：1.若实数x,y满足x>y>0，且logx+logy=1，则一二的最小值为 TOC\o"1-5"\h\z2 2 x-y1 … 1、 3 12.若实数x,y满足xy+3x=3(0<x<)，则一+ 的最小值为 .2xy-33.已知a>0,b>0,c>2，且a+b=2，则丁+--——+X 的最小值为.bab2c—24x y【典例2】已知x，y为正实数，则--+士的最大值为 .4x+yx+y【典例3】若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的最小值为.变式：1.若a,beA卡,且满足a2+b2=a+b，则a+b的最大值为..设x>0,y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为.设x,yeR，4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为.已知正数a，b满足1+9=aab—5，则ab的最小值为ab第1页共6页【题型二】含条件的最值求法【典例4【典例4】已知正数羽y满足％+y=1,则不+k的最小值为11 . 4x 9y练习1.已知正数x,y满足一+-=1,则--+一\的最小值为 («L2la)xyx-1y-1(«L2la).已知正数x,y满足x+2y=2，则3y的最小值为.xy.已知函数y=ax+b(b>0)的图像经过点P(1,3)，如下图所示，,4 1 ，则I ++—的最小值为 .a-1b.己知a,b为正数，且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值为..常数a,b和正变量x,y满足ab=16,a+2b=1.若x+2y的最小值为64,则ab=xy2 / 1 2 ,6.已知正实数a,b满足(2@+b)b+(2b+@)@=1,则ab的最大值为.第2页共6页【题型三】代入消元法【典例5】(苏州市2016届高三调研测试・14)已知ab=1，a,bg(0,1)，则—+—的4 1一a1一b最小值为.练习1.设实数x,y满足x2+2xy—1=0,则x2+y2的最小值是 ..已知正实数x,y满足守斗"％F=4,则x+y的最小值为..已知正实数羽j满足(x-1)(y+1)=16，则％+y的最小值为.1.一,、.若a>0,b>2，且a+b=3,则使得一+---取得最小值的实数a=。ab-2.设实数x、y满足x2+2xy—1=0,则x+y的取值范围是.已知x,y,zgR，且x+y+z=1,x2+y2+z2=3，求xyz的最大值为第3页共6页【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)=以2+x—b(a,b均为正数)，不等式f(x)>0的解集记为2集合Q _,11,,一，，，一TOC\o"1-5"\h\z={x|—2—t<x<—2+1}.若对于任意正数t,PnQ田，贝崂—石的最大值是 .2.已知正数a,b,c满足b+c>，则上+‘三的最小值为 .二a+b练习1.若实数x,y满足2x2+xy—y2=1,则 %；2y 的最大值为 .5%2—2%y+2y2< %2y22.设%,y是正实数，且％+y=1，则--+^—的最小值是 .%+2y+1 3..若实数%,y满足2%2+%y—y2=1,则«?%—丁?的最大值为 .斗5%2—2%y十2y2 4五4.若实数“满足/一4@+4「+41^=4,当走+23取得最大值时，〉的值为.第4页共6页【题型五】判别式法2 4 一...一...，一,【典例7】已知正实数x,y满足％+-+3y+=10，则xy的取值范围为% y练习1.若正实数”满足(汐―以：©y+w①-2)，则或+2丁的最大值为2.设％,yGR，3%2+y2+%y=1，则2%+y的最大值为变式1.在平面直角坐标系%Oy中，设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d)，若不等式uua0 uunuunuunuuauuuuurCD2三(m-2)OC-OD+m(OC-OB)•(OD-OA)对任意实数a,b,c,d都成立，则实数m的最大值是 .【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法.判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(%)=a%2+b%+c(a*0,%gR)，有[a>0 「a<01)f(%)>0对%GR恒成立O《a八2)f(%)<0对%GR恒成立O<.[A<0 [A<0分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：f(%)<g(a)(a为参数)恒成立og(a)>f(%)maxf(%)>g(a)(a为参数)恒成立og(a)<f(%)max确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2.设二次函数fQ)=a%2+b%+c(a,b,c为常数)的导函数为f1(%).对任意%gR,不等式fQ)>r1)恒成立，则~^~~的最大值为.a2+c2第5页共6页【题型六】分离参数法【典例8】已知x>0,y>0,若不等式x3+y3