山东省济宁市英才中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

山东省济宁市英才中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为

（

）A．8

B．24

C．48

D．120参考答案：C略2.空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为

A、平面

B、直线

C、圆

D、线段参考答案：B3.椭圆的焦点坐标（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.圆x2+y2﹣2x+4y=0与2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系为(

)A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）可知直线恒过点（1，﹣2），然后判定点（1，﹣2）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系．【解答】解：直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过（1，﹣2）而12+（﹣2）2﹣2×1+4×（﹣2）=﹣5＜0∴点（1，﹣2）在圆x2+y2﹣2x+4y=0内则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交故选：C．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，解题的关键找出直线恒过的定点，属于基础题．5.设，则二项式展开式的常数项是（）A．160 B．20 C．﹣20 D．﹣160参考答案：D【考点】二项式定理；定积分．【分析】利用微积分基本定理求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于0，求出常数项．【解答】解：=﹣cosx|0π=2∴=展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r26﹣rC6rx3﹣r令3﹣r=0得r=3故展开式的常数项是﹣8C63=﹣160故选D．【点评】本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．6.如果满足且，那么下列选项中不一定成立的是（

）A.

B．

C．

D．参考答案：C7.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是A.

B.4

C.2

D.2参考答案：B8.已知n元均值不等式为：，其中均为正数，已知球的半径为R，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为A. B. C. D.参考答案：A【分析】先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n元均值不等式可求最大值.【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，则有，解得；正四棱锥的体积，当且仅当时取到最大值，故选A.【点睛】本题主要考查四棱锥体积求解和n元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.9.已知，则的值为（

）A．2

B．

C．

D．4参考答案：A略10.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D.参考答案：B设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.根据下列不等式：，

，

， ……归纳猜想第个不等式为

．参考答案：（）12.定义一种运算“*”，它对于整数n满足以下运算性质：（1）2*1001=1；

（2）（2n+2）*1001=3·[（2n）*1001]，则2008*1001的值是

.参考答案：13.已知,，则的最大值是

参考答案：

14.已知圆C的方程为，则它的圆心坐标为

．参考答案：，圆心坐标为.

15.如图，抛物线C1：y2=2x和圆C2：（x﹣）2+y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则?的值为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出?．【解答】解：抛物线C1：y2=2x的焦点为F（，0），∵直线l经过C1的焦点F（），设直线l的方程为y=k（x﹣），联立，得=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，∴?=||?||?cos＜＞=x1x2=．故答案为：．16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,且球O的表面积为22π,,PA⊥平面ABC,,则三棱锥P-ABC的体积为__________．参考答案：3【分析】由题意两两垂直，可把三棱锥补成一个长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球．由此计算即可．【详解】∵平面，∴，又，∴三棱锥可以为棱补成一个长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球．由，得，∴，即，，．故答案为3．【点睛】本题考查棱锥及其外接球，考查棱锥的体积，解题是把三棱锥补成长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，而长方体的对角线就是球的直径，这样计算方便．17.已知均为实数，设数集，且A、B都是集合的子集.如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是

▲

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.(1)由统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?

甲班乙班总计成绩优良

成绩不优良

总计

(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求抽取的2人中恰有一人来自乙班的概率.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635

附:，（）参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）填写列联表，计算，对照数表即可得出结论。（2）样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人，得出基本事件个数计算概率即可。【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：

甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040

根据列联表中的数据,得的观测值为,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,所以的所有可能取值为,,【点睛】本题考查概率与统计，属于简单题。19.已知直线与直线平行，求实数的值。参考答案：略20.如图所示，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.

参考答案：解：（1）由题设知：2a=4，即a=2；将点代入椭圆方程得，解得b2=3；∴c2=a2－b2=4－3=1，故椭圆方程为，焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0），（2）（法一）由（1）知，，∴PQ所在直线方程为，由得

，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，，（法二）由（1）知，则，∴PQ所在直线方程为，即．过点作于点，因为，则．由

得，所以，．所以所以

21.给定两个命题p，q，其中命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：a2+8a﹣20＜0，若p∨q为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑．【分析】先确定命题p，q为真时a的范围，再利用p∨q为假命题，得到p，q为假命题，即可求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，不等式恒成立，满足题意，当a≠0时，，解得0＜a＜4，综上：0≤a＜4命题命题q：a2+8a﹣20＜0，解得﹣10＜a＜2，∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题，∴，解得a≤﹣10，或a≥4，故a的取值范围为（﹣∞，﹣10]∪[4,+∞)【点评】本题考查了一元二次不等式的解集、一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假判断方法，考查了推理能力，属于基础题．22.设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．参考答案：【考点】导数的几何意义；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．（Ⅱ）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2﹣6ax+3b．由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11），所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12