2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数一、单选题1．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度m，上弦，．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（）A． B． C． D．2．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）。已知AB=a，AD=b，∠BCO=θ，则点A到OC的距离等于（）A．asinθ+bsinθ B．acosθ+bcosθ C．asinθ+bcosθ D．acosθ+bsinθ3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以OA为半径的半圆经过Rt△ABC的顶点B，交直角边AC于点E，且B，E是半圆的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．π B．π C．6－π D．6－π二、填空题4．在中，，，，则.5．计算：.6．.三、综合题7．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD=，求O的半径.8．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD、CE.（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）若DA＝DB＝4，cosA＝，求点B到点E的距离.9．（1）计算：（2）求代数式的值：，其中.10．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2).（1）若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度.11．随着精准扶贫政策的落地实施，小亮家所在的村落进行了整村搬迁，小亮同家人一起告别了祖辈们世代居住的窑洞，搬进了宽敞明亮的新房．他家的新房全部安装的是内倒式窗户．为帮助家人确定窗边家具摆放位置，小亮想要知道开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的水平距离．如图，小亮测得窗扇高度AB＝80cm，开启时的最大张角∠A＝22.5°，窗扇开启后的位置为AB'．（1）请根据这些数据帮助小亮计算开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离（不考虑窗扇的厚度，参考数据sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41）；（2）小亮的爸爸说：“咱家安装窗户总共花了4800元，隔壁小明家安装的是平移式窗户，他家窗户总面积比咱家多3平方米，但他家总共才花了3680元，咱家安装的这种内倒式窗户每平方米的价格是小明家安装的平移式窗户每平方米价格的1.5倍.”请你根据以上信息求出小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米多少元？12．有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°.（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数；（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离.13．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，且，连接BE交AC于点F，已知BA＝BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AF＝6，，求⊙O的直径．14．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊙O上.（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半径；（2）求证：＝；（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则＝＝成立吗？请说明理由.15．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．（1）求∠AMC与∠ACM度数．（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝2000米，求A小区与支管道连接点N的距离．16．在平面直角坐标系中，一次函数的图形与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作轴，垂足为H，，，点B的坐标为.（1）求的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；（3）写出不等式的解集.17．（1）计算：；（2）已知，试求代数式的值.18．如图，ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，连结AE，CF。（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC=120°，BE=CE=4，求ABCD的面积。19．如图1，在正方形中，，点E是射线上一动点，连接，以为边在上方作正方形，连接，，交于点H.（1）求证：；（2）如图2，延长，，交于点M.若，求线段的长；（3）在点E的运动过程中，求的最小值.20．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=5cm，tanA.点M在边AB上，以2cm/s的速度由点B出发沿BA向点A匀速运动；同时点N在边AC上，以1cm/s的速度由A出发沿AC向点C匀速运动.当点M到达A点时，点M，N同时停止运动.连接MN，设点M运动的时间为(单位：s).（1）求AB的长；（2）当为何值时，ΔAMN的面积为△ABC面积的；（3）是否存在时间，使得以A，M，N为顶点的三角形与ΔABC相似？若存在，求出时间的值；若不存在，请说明理由.21．如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM.在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点M，交AC于点E，连结AD.（1）若∠D=α，请用含α的代数式表示∠OCA；（2）如图1.①求证：CE2=EM•EB；②若BM=3，DM=2，求tan∠BAC的值.（3）如图2，连结CD，若，求y关于x的函数表达式.23．如图1是某体育看台侧面的示意图，观众区AC的坡度i＝1:2，顶端C离水平地面AB的高度为15m，顶棚外沿处的点E恰好在点A的正上方，从D处看E处的仰角α＝30°，竖直的立杆上C，D两点间的距离为5m.（1）求观众区的水平宽度AB.（2）求图1中点E离水平地面的高度EA.（3）因为遮阳需要，现将顶棚ED绕D点逆时针转动11°30′，若E点在地面上的铅直投影是点F（图2），求AF.（sin11°30′≈0.20，cos11°30′≈0.98，tan11°30′≈0.20；sin18°30′≈0.32，cos18°30′≈0.95，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）24．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF.直线DG交直线AB于点H.（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF∽△DAE.（2）当AE=2时，求EH的长.（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形.若存在，求AE的长.25．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为39°，铁塔顶端的仰角为27°，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为53°.已知，点、、构成的中，.（参考数据：，，，，，，，，）（1）图②是图①中的一部分，求铁塔的高度；（2）小明说，在点处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是，若将这个角记为，则铁塔的高度是；（用含的式子表示）（3）小丽说，除了在点处测量角的度数外，还可以在点处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是.（请写出两个不同的答案，可用文字描述）

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，∵AB=BC，BD⊥AC，AC=12米，∴AD=CD=6米，在Rt△ADB中，∠BAC=25°，∴，即按键顺序正确的是．故答案为：B．【分析】过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=CD=6米，在Rt△ADB中，由cosA=可得，据此判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：过点A作AF⊥PB于点F，AE⊥PD于点E，

∴∠AFP=∠AEP=∠P=90°，

∴四边形AFPE是矩形，

∴AE=BP=BF+BP

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AD=BC=b，

∴∠CBP+∠BCO=90°，∠ABF+∠CBP=90°

∴∠BCO=∠ABF=θ，

在Rt△BCP中

BP=BCsin∠BCO=bsinθ，

在Rt△AFB中，

BF=ABcos∠ABF=acosθ，

∴AE=acosθ+bsinθ，

∴点A到OC的距离等于acosθ+bsinθ.

故答案为：D【分析】过点A作AF⊥PB于点F，AE⊥PD于点E，易证四边形AFPE是矩形，可得到AE=BP=BF+BP，再利用矩形的性质，可证得∠ABC=90°，AD=BC=b，利用余角的性质，可证得∠BCO=∠ABF=θ，在Rt△BCP和Rt△AFB中，利用解直角三角形求出BP，BF的长，然后求出BF的长，即可得到点A到OC的距离。3．【答案】D【解析】【解答】解：如图，连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE//AD，∵的长为，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积＝．故答案为：D．【分析】如图，连接BD，BE，BO，EO，可证BE//AD，由于△BOE和△ABE同底等高，可得△BOE和△ABE面积相等，根据图中阴影部分的面积＝，据此计算即可.4．【答案】10【解析】【解答】解：如图，∵，，∴sinA=，即，∴AB=10.故答案为：10.【分析】根据正弦的定义列式计算，即可得到答案.5．【答案】-4【解析】【解答】原式===.故答案是：-4.【分析】先求零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数以及绝对值，再进行加减运算，即可求解.6．【答案】【解析】【解答】解：==故答案为：.【分析】先代入特殊锐角三角函数值，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可.7．【答案】（1）证明：连接OD，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD∴∠B=∠ODC∴OD//AB∵DE⊥AB∴OD⊥EF∴EF是O的切线；（2）解：设OD=3x，OF=5x，AB=AC=6x，AF=8x，AE=，EB==6，x=5.AE=24，OD=15，∴半径长为15【解析】【分析】（1）连接OD，先由等腰三角形的性质得∠B=∠ACD，∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，证出OD//AB，再由DE垂直AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接AD，先由圆周角定理得∠ADC=90°，再由等腰三角形的性质得BD=CD=6，然后由勾股定理求出AD=8，最后由面积法即可得出答案8．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形；（2）解：如图，连接BE，∵DA＝DB＝4，DE＝AD，∴AD＝BD＝DE＝4，∴∠DAB=∠DBA，∠DBE=∠DEB，∵∠DAB+∠DBA+∠DBE+∠DBE=180°，∴2（∠DAB+∠DEB）=180°，∴∠DAB+∠DEB=90°，∴∠ABE＝90°，AE＝8，∵cosA＝，∴AB＝2，∴BE＝.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由已知条件可得DE＝AD，则DE＝BC，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；

（2）连接BE，易得AD＝BD＝DE＝4，根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DBA，∠DBE=∠DEB，结合内角和定理可得∠DAB+∠DEB=90°，则∠ABE＝90°，AE＝8，根据三角函数的概念可得AB，然后利用勾股定理进行计算.9．【答案】（1）解：；（2）解：，当时，原式.【解析】【分析】（1）根据0次幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式=1+-4×，然后计算乘法，再根据二次根式的减法法则进行计算；

（2）首先对第一个分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入计算即可.10．【答案】（1）解：∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，答：建筑物BC的高度为20m；（2）解：设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50°=≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得DC=BC=20m；

（2）设DC=BC=xm，可得tan50°=≈1.2，解得x的值即可得建筑物BC的高.11．【答案】（1）解：过点B'作AB的垂线，垂足为C，可得窗扇顶端向屋内移动的水平距离为B'C，AB'＝AB，在Rt△AB'C中，B'C＝AB'•sin∠A≈80×0.38＝30.4（cm），答：窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离为30.4cm；（2）解：设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，根据题意得：，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的根，1.5x＝240，答：小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米240元．【解析】【分析】（1）过点B'作AB的垂线，垂足为C，由题意得AB'＝AB=80cm，利用B'C＝AB'•sinA计算即得结论；

（2）设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，根据隔壁家窗户总面积比小亮家多3平方米，列出方程，解之并检验即可.12．【答案】（1）解：结论：BD＝MF，BD⊥MF.理由：如图1，延长FM交BD于点N，由题意得：△BAD≌△MAF，∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM，又∵∠DMN＝∠AMF，∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF；（2）解：如图2，①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；②当AF＝FK时，∠FAK＝（180°﹣∠F）＝75°，∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，即β＝15°；综上所述，β的度数为60°或15°；（3）解：如图3，由题意得矩形PNA2A，设A2A＝x，则PN＝x，在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠A2F2M2＝∠ADB＝30°，∴A2M2＝8，A2F2＝8，∴AF2＝8﹣x，∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，∴AP＝AF2•tan30°＝8﹣x，∴PD＝AD﹣AP＝8﹣8+x，∵NP∥AB，∴△DPN∽△DAB，∴，∴解得x＝12﹣4，即A2A＝12﹣4，∴平移的距离是（12﹣4）cm.【解析】【分析】（1）延长FM交BD于点N，由题意得：△BAD≌△MAF，则BD＝MF，∠ADB＝∠AFM，根据对顶角的性质可得∠DMN＝∠AMF，则∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，据此解答；

（2）①当AK＝FK时，根据等腰三角形的性质可得∠KAF＝∠F＝30°，根据平角的概念可得∠BAB1的度数，即β的度数；②当AF＝FK时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠FAK＝75°，然后根据余角的性质进行计算；

（3）由题意得矩形PNA2A，设A2A＝x，则PN＝x，根据三角函数的概念可得A2M2=8，A2F2=8，则AF2＝8﹣x，根据三角函数的概念可得AP，然后表示出PD，证明△DPN∽△DAB，根据相似三角形的性质可得x，进而可得平移的距离.13．【答案】（1）证明：∵，∴∠BCD＝∠DBE，∵BA＝BF，∴∠A＝∠AFB，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBE＋∠AFB＝90°，∴∠BCD＋∠A＝90°，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BA＝BF，∠BDC＝90°，AF＝6，∴DF＝3，在Rt△ABC中，sin∠ACB，∵∠ACB＝∠DBE，∴sin∠DBE，在Rt△BDF中，sin∠DBF，∴，即BF＝5，∴BA＝5，∴，即，∴BC＝，即⊙O的直径为．【解析】【分析】（1）先证明∠BCD＝∠DBE，∠A＝∠AFB，再结合∠DBE＋∠AFB＝90°，可得∠BCD＋∠A＝90°，即可得到∠ABC＝90°，即AB⊥BC，从而得到AB是⊙O的切线；

（2）先利用，∠ACB＝∠DBE，可得，所以，求出BF和AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可。14．【答案】（1）解：连接EO，设⊙O半径为r，∵EG⊥AB，∴CE＝CG＝EG＝4，∵AC＝2，∴OC＝r﹣2，在Rt△CEO中，OE2＝CE2+OC2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴⊙O半径为5；（2）证明：连接OE、OF，∵AC＝BD，OA＝OB，∴OC＝OD，∵EG⊥AB，FH⊥AB，∴在Rt△COE和Rt△DOF中，，∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），∴∠AOE＝∠BOF，∴＝；（3）解：＝＝成立，理由如下：∵C，D分别为OA，OB的中点，∴OC＝，∴cos∠AOE＝＝，∴∠AOE＝60°，同理∠BOF＝60°，∴∠EOF＝60°，∴＝＝.【解析】【分析】（1）连接EO，设⊙O半径为r，则OC＝r-2，由垂径定理可得CE＝CG＝EG＝4，然后在Rt△CEO中，应用勾股定理求解即可；

（2）连接OE、OF，易得OC＝OD，证明Rt△COE≌Rt△DOF，得到∠AOE＝∠BOF，据此证明；

（3）根据中点的概念结合AO=OE、OB=OF，由余弦函数的定义可得∠AOE＝60°，∠BOF＝60°，则∠EOF＝60°，据此解答.15．【答案】（1）解：如图，∵∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACM＝180°－60°－60°＝60°，∴∠AMC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴∠AMC与∠ACM度数分别为90°，60°；（2）解：作MN⊥AC于点N，线段MN的长度就是从N处到M小区铺设的管道的最短距离，在Rt△AMC中，∵∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，AC＝2000，∴AM＝AC×cos∠MAC＝AC＝2000×＝1000（米），在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，∴AN＝AM×cos∠MAC＝AM＝1000×＝1500（米）．答：AN的长为1500米．【解析】【分析】（1）根据方向角可以证得∠AMC与∠ACM的度数；

（2）作MN⊥AC于点N，线段MN的长度就是从N处到M小区铺设的管道的最短距离，再利用解直角三角形的方法求解即可。16．【答案】（1）解：由OH＝3，，得AH＝4.即A（−4，3）.由勾股定理，得AO＝＝5，∴△AHO的周长＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12；（2）解：将A点坐标代入y＝（k≠0），得k＝−4×3＝−12，反比例函数的解析式为y＝；当y＝−2时，−2＝，解得x＝6，即B（6，−2）.将A、B点坐标代入y＝ax＋b，得，解得，一次函数的解析式为y＝x＋1（3）解：观察图象可知：一次函数的值大于或等于反比例函数的值时：x≤−4或0＜x≤6.【解析】【分析】（1）根据三角函数的概念可得AH，进而得到点A的坐标，利用勾股定理求出AO，据此可得△AHO的周长；

（2）将点A的坐标代入y=中可得k的值，据此可得反比例函数的解析式，令y=-2，求出x的值，可得点B的坐标；将A、B的坐标代入y=ax+b中求出a、b，进而可得一次函数的解析式；

（3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.17．【答案】（1）解：原式（2）解：∵∴∴或解得或将代入代数式得将代入代数式得∴代数式的值为2或.【解析】【分析】（1）先进行乘方的运算，去绝对值和代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式，进行有理数的加减运算，即可求出结果；

（2）根据条件，利用分解因式求出或，然后分别代入原式，进行化简，即可求出结果.18．【答案】（1）解：在ABCD中，AD=BC，AD∥BC。∵BE=DF，∴AF=CE。又∵AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，∴∠AEC=∠AFC=120°∵四边形AECF为菱形，∴AE=CE∵∠AEC=120°，∴∠AEB=60°．∵BE=CE=AE，∴△ABE为等边三角形。过点A作AH⊥BC，垂足为H，∴AH=ABsin60°=2∵BC=2BE=8，∴ABCD面积为8×2=16【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等可证得AD=BC，AD∥BC，结合已知条件可得到AF=CE，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论。

（2）利用菱形的和平行四边形的性质，可证得BE=CE=AE，可得△ABE是等边三角形，过点A作AH⊥BC，垂足为H，利用解直角三角形求出AH的长，从而可得到BC的长，然后利用平行四边形的面积公式可求解。19．【答案】（1）证明：∵四边形，是正方形，，，.，即.在和中，∵AD.（2）解：如图1，过点F作于点N，则..，..又，，.，.又，.，..设，则.，，.在中，.在中，..解得（负值舍去），即.（3）解：如图2，以为边在上方作正方形，则.当点E与点A不重合时，，.又，，，∴点E到直线的距离等于点F到直线的距离，当点E与点A重合时，点F与点P重合，∴点F的轨迹在所在直线上.作点D关于直线的对称点，连接，.（当A，F，三点共线时取等）.的最小值是.【解析】【分析】(1)根据正方形的性质求出有关角和线段相等，利用SAS证明△ADF∽△CDE，即可得出结论；

(2)过点F作于点N，利用AAS证明△ADE≌△NFD，得出AD=FNAD=BC=2，设AE=x，在和中，根据正切的定义表示出tan∠ADE和tanM，再根据tan∠DFN=tanM建立方程求解，即可解答；

(3)以为边在上方作正方形，则，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，则EG+EC的最小值为CD'的长，再利用勾股定理即可求出答案.20．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，，∴，解得，AC=12，由勾股定理得，（2）解：作MH⊥AC于H，则MH∥BC，由题意得，BM=2t，AN=t，则AM=13-2t，∵MH∥BC，∴△AMH∽△ABC，∴，即，解得，，由题意得：，解得，，答：当t=2或s时，ΔAMN的面积为△ABC面积的；（3）解：∵∠A=∠A，∴当时，△ANM∽△ACB，∴，解得，，当时，△AMN∽△ACB，∴，解得，，答：当或s时，以A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由即可求出AC，然后利用勾股定理求出AB即可；

（2）作MH⊥AC于H，则BM=2t，AN=t，则AM=13-2t，证明△AMH∽△ABC，利用相似三角形的性质可得，根据ΔAMN的面积为△ABC面积的建立方程，求出t值即可；

（3）由∠A=∠A，分两种情况：①当时，△ANM∽△ACB，②当时，△AMN∽△ACB，据此分别建立关于t的方程，解之即可.21．【答案】（1）解：把点，代入，得到方程组：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：作点关于轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交与点，由图形的对称性可知为所求的点，设直线的解析式为，由题意得：，解得：，直线的解析式为，将直线和抛物线的解析式联立得：，解得（舍去）或，；（3）解：存在点，过点作轴的垂线，由勾股定理得，同理可求得，，，，，，，，设点，则，解得或，当时，，，，当，，，，存在符合条件的点，的坐标为，，，.【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，进而得到抛物线的解析式；

（2）作点C关于x轴的对称点C′，则C′（2，3），连接AC′并延长与抛物线交与点P，由图形的对称性可知P为所求的点，利用待定系数法求出直线AC′的解析式，联立抛物线解析式可得x、y的值，进而得到点P的坐标；

（3）过点P作x轴的垂线，由勾股定理可求得AP、AC、PC的值，得到∠PAC=90°，求出tan∠APC的值，由∠MBN=∠APC结合正切函数的概念可得，设M（m，m2-2m-3），据此可求得m的值，得到点M的坐标.22．【答案】（1）解：如图1，连接OA，OB，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠OAB=∠OAC=∠BAC，∵=，∴∠ACB=∠D=α，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠BAC=180°-2α，∴∠OAC=90°-α，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=90°-α；（2）解：①证明：∵BD⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE=90°-∠ACB=90°-α，∴∠OCA=∠CBE，∵∠CEM=∠CEB，∴△CEM∽△BEC，∴，∴CE2=EM•EB；②解：如图2，连接AO并延长交BD于N，连接CN，CD，∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，∴AO垂直平分BC，∴BN=CN，∵∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∴∠DMC=∠ABD=∠ACB，∵=，∴∠BAC=∠CDM，∴∠DCM=∠ABC，∴∠DCM=∠DMC，∴CD=DM=2，∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEN，∵∠OAC=∠DAC，AE=AE，∴△AEN≌△AED（ASA），∴EN=ED，∴AC垂直平分DN，∴CN=CD=2，∴BN=CN=2，∴MN=BM-BN=3-2=1，由EN=DE得，MN+EM=DM-EM，∴1+EM=2-EM，∴EM=，∴EB=BM+EM=3+=，DE=DM-EM=2-=，由①知：CE2=EM•EB=×=，∴CE=，∵∠BAC=∠BDC，∠DEC=∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴，∴AE=，在Rt△ABE中，tan∠BAC=；（3）解：如图3，设BM=a，DM=a•x，由②得BN=CN=CD=DM=ax，∴MN=BM-BN=a-ax，由②知：EN=ED，∴MN+EM=DM-EM，∴EM=，∵=x，∴，即：，由②知：OC∥AD，∴，∴，∴.【解析】【分析】（1）连接OA，OB，由题意易证△AOB≌△AOC，从而∠OAB＝∠OAC＝∠BAC，结合∠ACB＝∠D＝α，∠ABC＝∠ACB＝α可求解；

（2）①由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△CEM∽△BEC，于是可得比例式，将比例式化为乘积式即可；

②连接AO并延长交BD于N，连接CN，CD，可先证AO垂直平分BC，由线段的垂直平分线的性质可得BN＝CN，由已知并结合平行线的性质可证OC∥AD，所以∠DMC＝∠ABD＝∠ACB，进而证明CD＝DM，由角边角可证△AEN≌△AED，进而可得AC垂直平分DN，BN＝CN＝CD，于是由线段的构成MNBM-BN可求得MN的值，根据EN＝DE求得EM的值，由线段的构成EB＝BM+EM、DE＝DM-EM可求得EB、DE的值，代入①的结论求得CE的值，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△DEC∽△AEB，从而得出AE的值，在Rt△ABE中，根据锐角三角函数tan∠BAC=可求解；

（3）设BM＝a，DM＝a•x，由②得BN＝CN＝CD＝DM＝ax，求得MN＝BM−BN＝a−ax，由②知：EN＝ED，从而求得EM＝，由②知：OC∥AD可得比例式求解．23．【答案】（1）解：∵AC的坡度i＝1:2，BC＝15m，∴AB＝30m.（2）解：如图1，过点C，D分别作CH⊥AE，DE⊥AE，垂足分别为H，G，则四边形ABCH，DCHG均为矩形，∴DG＝CH＝AB＝30m，GH＝CD＝5m，在Rt△DGE中，DG=30m，∠GDE=30°，∴又AH＝BC＝15m，∴EA＝EG＋GH＋AH＝（）m.（3）解：如图2，由（1）知：DE＝m，在Rt△DGEK中，∵α＝30°-11°30′=18°30′，∴DG＝≈32.9m.∵DG=BF∴AF=BF-AB≈32.9-30=2.9m.【解析】【分析】(1)、根据坡面的垂直高度h和水平方向的距离l的比叫做坡度，即可求观众区的水平宽度AB.(2)、构造出直角三角形，利用锐角三角函数即可求点E离水平地面的高度EA.(3)、构造出直角三角形，利用锐角三角函数即可求解.24．【答案】（1）证明：∵，∴.∵四边形ABCD为矩形，∴，∴.又∵，∴△ABF∽△DAE；（2）解：①当E在点A上方时，由AB=2，得点E与B重合，如图，∵△ABF∽△DAE，∴，∴，∴.∵四边形AEGF是平行四边形，，∴GF=AB=CD=2，，即在△GMF和△DMC中，，∴△GMF≌△DMC(AAS)，∴，∴.∵，∴△MGF∽△MHE，∴，即，∴EH=；②当E在点A下方时，如图，∵FG=AE=CD=2，∴G、A、D共线此时，H与A重合，∴HE=2.综上可知，EH的长为或2；（3）解：①当点H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形由等腰△EGH得，GH=G