数值分析课件第一章-误差

数值计算方法主讲教师:姜海燕姓名：姜海燕Email:hyjiang@办公电话：68912131-15办公室：中心教学楼628课件下载公共邮箱地址：mathjhy@(password:971106)答疑时间：周三下午：2：00----4：00教师信息3教材丁丽娟，程杞元，《数值计算方法》，高等教育出版社参考资料各工科院校相应教材

《Numericalrecipes》,下载数学软件包：LAPACK，下载教材及参考书熟悉一种数学软件MATLABMAPLESCILABMATHEMATICAGAUSS考核方法平时成绩20%期末考试成绩80%平时成绩计算：数值实践作业20分科研活动理论分析实验计算提炼、检验指导、预言检验、对比辅助、对比指导定量化《数值计算方法》课程作用数值计算求各种数学问题近似解的方法和理论计算机数学模型实际问题近似解《数值计算方法》课程的特点与实际工程问题紧密相连：计算数学、计算物理、计算化学、计算材料学、计算生物学等（统称：计算科学）各个部分独立性强、内容具体，易理解。实践性强主要内容数值代数线性方程组求解(第二章,第三章)

特征值计算(第四章)数值逼近插值法(第五章)

函数逼近(第六章)数值微分数值积分(第七章)非线性方程求解(第八章)常微分方程数值解法(第九章)第一章误差§1误差的来源与分类从实际问题中抽象出数学模型

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模型误差通过测量得到模型中参数的值

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观测误差求近似解——

截断误差机器字长有限——

舍入误差§2绝对误差、相对误差和有效数字2.1绝对误差与相对误差1314例：

比一般的四舍五入的更科学、精确：1.舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位四舍六入五成双原则：1.被修约的数字等于或小于4时，该数字舍去；

2.被修约的数字等于或大于6时，则进位；

3.被修约的数字等于5时，要看5前面的数字，若是奇数则进位，若是偶数则将5舍掉，即修约后末尾数字都成为偶数；若5的后面还有不为“0”的任何数，则此时无论5的前面是奇数还是偶数，均应进位。

16例：0.7135,0.7765,0.73251分别取三位小数0.714,0.776,0.733例：测得会议室的长为30m宽为10m，长的误差不超过5cm,宽的误差不超过2cm,如何表示？哪一个精度高？两种误差限的关系：20例：是经过四舍五入得到的近似值，则2.2有效数字

例如准确到小数点后第位，则其准确到小数点后第位，24有效数字另一等价定义

问题：有效数字的位数和精确度的关系？考虑相对误差限与有效数字的关系反之解:（用绝对误差限和有效数字的关系）取三位有效数字.要使绝对误差限满足问题：假定1.21及运算过程精确到两位小数，

误差的传播§3数值计算中误差的传播3.1基本运算中的误差传播绝对误差的传播相对误差的传播特别地，和、差、积、商的误差公式为：34

即和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和.例假定运算中数据都精确到两位小数，试求的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字?解：

计算结果有2位有效数字.3.2算法的数值稳定性算法：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序稳定性：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定的；否则称算法是数值不稳定的.40算法Ⅰ41n(算法Ⅰ)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831算法Ⅱ由于取按公式计算例如44n(算法Ⅰ)(算法Ⅱ)00.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.0343063350.028489580.0254683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.01301636138.305409380.0118412714-41.455618310.01222222分析原因：由算法Ⅰ结论：算法Ⅰ数值不稳定，算法Ⅱ数值稳定。对算法Ⅱ§4数值计算中应注意的问题1.避免两个相近的数相减

解.若取则一般地，当x充分大时，应作变换：当x接近零时，应作变换2.避免大数“吃”小数.计算机浮点数运算导致绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被吃掉.52533.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值4.简化计算，减少运算次数，提高效率如计算n次多项式的值需次乘法运算，次加法运算.需次乘法运算，

次加法运算.565.选