利用导数证明不等式复习课程

第三章导数(dǎoshù)及其应用利用(lìyòng)导数证明不等式第一页，共15页。第二页，共15页。(1)函数单调(dāndiào)性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调(dāndiào)性。具体有如下几种形式利用导数得出函数单调(dāndiào)性来证明不等式。我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调(dāndiào)递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调(dāndiào)性,然后再用：方法：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调(dāndiào)递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。第三页，共15页。例1、证明(zhèngmíng)：当x>0时，x>ln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).所以(suǒyǐ)f(x)在x>0上单调递增，从而(cóngér)当x>0时，有f(x)>f(0)=0即f(x)>0第四页，共15页。例2:当x>1时,证明(zhèngmíng)不等式:证:设显然,当x>1时,

,故f(x)是（1,+∞)上的增函数.所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时,f(x)>0第五页，共15页。例3已知：x>0，求证(qiúzhèng)：x>sinx[证明]设f(x)＝x－sinx(x>0)f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立∴函数(hánshù)f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数(hánshù)∴f(x)>f(0)＝0∴f(x)>0即x－sinx>0对x∈(0，＋∞)恒成立即：x>sinx(x>0)．第六页，共15页。有时把不等式变形后再构造函数(hánshù),然后利用导数证明该函数(hánshù)的单调性，达到证明不等式的目的。第七页，共15页。方法2：利用导数求出函数(hánshù)的最值（或值域）后，再证明不等式。导数的另一个作用是求函数(hánshù)的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数(hánshù)，用导数求出该函数(hánshù)的最值；由当该函数(hánshù)取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数(hánshù)求最值问题。第八页，共15页。x0(0,0.5)0.5(0.5，1)1

+

—

f(x)f(0)单调递增↗极大值f(0.5)单调递减↘

f(1)第九页，共15页。x0—+f(x)单调递减↘f(0)单调递增↗第十页，共15页。第十一页，共15页。例7、求证(qiúzhèng)证明：设第十二页，共15页。在x=1附近由负到正令=0,解得x=1,当x=1时，f(x)有极小值，这里(zhèlǐ)也是最小值所以(suǒyǐ)当x>0时，f(x)≥f(1)=0从而第十三页，共15页。小结:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值(jízhí)(极大值与极小值);②将函数y=f(x)的各极值(jízhí)与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大