第6章1湍流基本理论2010

湍流的基本理论BasicknowledgeofTurbulence2013年10月“能源与环境”研究中心常州大学研究生课程《粘性流体力学》蒋绿林主要内容：湍流研究的基本方法和理论雷诺方程以及雷诺应力方程、湍流平均动能方程、湍动能方程、湍动能耗散率方程等1湍流的两种统计理论历史上，对湍流的统计研究主要沿两个方向发展：一个是湍流平均量的半经验分析，另一个是湍流相关函数的统计理论分析。缺点基于大量的试验，确定湍流的特征参数

基于相关函数及谱分析等方法，研究湍流的结构

代表人物能方便地解决实际问题主要涉及湍流的大尺度运动，对了解湍流的实质帮助不够普朗特冯·卡门尼古拉兹泰勒柯尔莫戈罗夫未能解决工程技术方面的实际问题方法增进了对湍流（特别是湍流的小尺度部分）机理的了解优点1.1湍流平均量的半经验分析如何来求平均量呢？通常应用三种平均方法

时间平均法(temporalaverage)

空间平均法(spacialaverage)

系综平均法(ensembleaverage)设湍流运动的瞬时流场为(instantaneousvelocityfield)做法：主要研究各个参数的平均量以及它们之间的相互关系，如平均速度、压力、边界层厚度等。时间平均法(temporalaverage)时均值的定义为：若平均值

与积分时刻t0无关，既使在不同的t0时刻做多次相同的重复试验，所得

是一样的，称为定常(或准定常)湍流。

于是瞬时速度可分为时均流速和脉动流速两部分：且：严格地讲时间平均法只能用在定常湍流或准定常湍流，但在一定的条件下也可以推广到非定常湍流中使用。若非定常湍流的脉动周期为T1，平均流动的变化周期为T2，而且T1<<T2，在取时间积分的积分域T时，使T1<T<T2，这样得到的时间平均值可以用来表示非定常湍流：例如：海洋潮汐运动的周期为12小时或24小时，而最低的湍流脉动频率约为1Hz，则平均时间T取2分钟即可。常用的时均运算关系式：设为湍流物理量的瞬时值，则：

推论：在准定常湍流场中，有：空间平均法(spacialaverage)t0时刻，流场中一点（）流速的体积平均值为积分体积应包含（）点，且应足够大体积平均法在满足以下条件时也可推广到非均匀湍流场湍流脉动的空间尺度湍流流动平均值的空间变化尺度

系综平均法(ensembleaverage)对重复多次的试验进行算术平均可以将上式写成概率分布（probabilitydistriution）的形式：需要知道流动的概率密度函数各态遍历假设（ergodichypothesis）

各态遍历假说认为一定条件下，三种方法具有一致性。定义：一个随机变量在多个相同试验中或一个试验重复多次时出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长时间或相当大空间范围内，以相同概率出现，称为各态遍历。N次试验中，u出现在u0至u0+Δu的次数为ΔN；一次试验中，在T时间内，u出现在u0至u0+Δu的时间间隔为ΔT一次试验中，在范围内，u出现在u0至u0+Δu范围为

若足够大则有即：1.2湍流的统计理论做法：将流体视为连续介质，将各物理量如：流速、压力、温度等脉动值视为连续的函数，并通过各脉动值的相关函数和谱函数来描述湍流结构。应用：为了描述湍流的组织或结构，需要通过多点相关理论建立起合理的长度尺度准则为了建立合理的湍流模型，需要知道各种尺度的涡对能量生成、传输和耗散的贡献，通过谱分析可以得到随机变量的各阶原点矩和中心矩当，随机变量和的数学期望（假设存在）分别称为随机变量的阶原点矩和阶中心矩。若随机变量为u（t），则：定义：一阶原点矩为：为其时均值一阶中心矩为：二阶中心矩为：，此即u（t）的方差。实际上表示了流动的湍流度。三阶中心矩为：偏斜度因子

，表示分布的相对偏斜程度，即不对称性

(Skewnessfactor)S为正值四阶中心矩为：(Flatnessfactor)平坦因子

，度量曲线相对于高斯分布的接近程度若，则表示概率曲线中部升得高，而在两侧下降较快湍流脉动量的相关矩表示湍流中，空间两点上各种脉动速度分量之间的相关矩，表达了空间一点的脉动速度与邻近一点上的脉动速度之间的关系。空间相关空间相关矩空间相关系数显然，若，；若，可以看出：当时，完全相关；当时，相互无关；当较小时，较大时时间相关矩和自相关时间相关矩表示同一点上，不同时刻的脉动量之间的关系：时间相关系数i=j时的时间相关叫做自相关：可以证明：自相关系数是偶函数1.3湍流的特征尺度湍流由各种不同尺度的涡体运动组成。大涡区含能涡区平衡区含能涡区又称为惯性区，平衡区又称为耗散区Kolmogorov认为：控制小尺度运动的参数，应包含单位质量的能量消耗率和流体的运动粘性系数为此，由量纲分析有（小涡的各项尺度）：长度尺度时间尺度速度尺度耗散雷诺数

说明小尺度涡体的湍流脉动是粘性主宰的耗散流动，因此这一尺度的涡体也称为耗散涡①式在各向同性湍流中，可以认为大尺度涡体由它所包含的湍动总能量，以及向小尺度传递的能量决定。在含能尺度范围内，惯性主宰湍流运动，因此含能尺度范围又称惯性区。为此由量纲分析可得：积分尺度雷诺数②式Kolmogorov还认为：大涡体向小涡体提供的能量与小涡体本身消耗的能量两者平衡，因此能量消耗率应与能量供应率平衡。即：其中：表示大涡体的尺度，为特征速度由此可得（代入①式）：③式长度尺度比时间尺度比速度尺度比

小涡体的长度尺度、时间尺度、速度尺度均比大涡体要小得多小尺度的涡强比大尺度的要大得多，故能量耗散也大得多大尺度涡体携带的能量比小涡体的大得多，因此大涡体又称为含能涡大尺度涡体与小尺度涡体的比较大尺度涡体小尺度涡体由大尺度旋涡产生由平均流动产生与边界有关有通用性具有拟序特征随机运动要求确定性描述可统计模拟非均匀均匀非各向同性各向同性长生命短生命起扩散作用起耗散作用模拟困难模拟相对容易1.4湍流的分类均匀湍流与非均匀湍流均匀湍流：指统计上湍流的任何性质与空间位置无关，或者说，任何湍动量的平均值及它们的空间导数，在坐标作任何位移下不变。非均匀湍流：湍流统计性质与空间位置有关注意：均匀湍流的均匀性是指脉动量具有均匀性，与均匀流不是同一概念。各向同性湍流，必然是均匀湍流，因为湍流的任何不均匀性都会带来特殊的方向性。在实际中，只存在局部各向同性湍流和近似各向同性湍流，如：蜂窝格栅下游较远处；大多数真实流动的耗散涡也具有各向同性各向同性下，