初中数学冀教版九年级上册第二十四章一元二次方程单元复习“黄冈赛”一等奖

全章热门考点整合应用名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，两个应用，三种思想．两个概念eq\a\vs4\al(概念1)一元二次方程的定义1．当m取何值时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程？eq\a\vs4\al(概念2)一元二次方程的根2．【2023·兰州】若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝eq\r(4－c)＋eq\r(c－4)－2，求eq\f(（a＋b）2018,2017c)的值．一个解法——一元二次方程的解法4．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6000(1－x)2＝4860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)【中考·山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.两个关系eq\a\vs4\al(关系1)一元二次方程的根的判别与系数的关系5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．eq\a\vs4\al(关系2)一元二次方程根与系数的关系6．【2023·梅州】关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2，求k的值．7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？两个应用eq\a\vs4\al(应用1)一元二次方程的应用8．【中考·湖州】随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．(1)该市的养老床位数从2023年底的2万个增长到2023年底的万个，求该市这两年(从2023年底到2023年底)拥有的养老床位数的年平均增长率；(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？9．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”小峰的说法正确吗？请说明理由．eq\a\vs4\al(应用2)配方的应用10．阅读下面材料，完成填空．我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8＝(x＋3)2－1＝(x＋3＋1)(x＋3－1)＝(x＋4)(x＋2)．(1)请仿照上述过程，完成以下练习：x2＋4x－5＝[x＋(______)][x＋(______)]；x2－5x＋6＝[x＋(______)][x＋(______)]；x2－8x－9＝[x＋(______)][x＋(______)]．(2)请观察横线上所填的数，这两个数与一次项系数、常数项有什么关系？11．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.例如：(x－1)2＋3，(x－2)2＋2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)x2是x2－2x＋4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋2的三种不同形式的配方；(2)已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，求a＋b＋c的值．三种思想eq\a\vs4\al(思想1)整体思想12．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值．eq\a\vs4\al(思想2)转化思想13．解方程：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))2－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))＝－2.eq\a\vs4\al(思想3)分类讨论思想14．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，求该三角形的周长．答案1．解：当m2＋1＝2且m－1≠0时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．由m2＋1＝2，得m2＝1，所以m＝±1.由m－1≠0，得m≠1，所以只能取m＝－1.所以当m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．点拨：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑．2．2017点拨：把x＝－1代入方程中得到a＋b－2017＝0，即a＋b＝2017.3．解：∵a＝eq\r(4－c)＋eq\r(c－4)－2，∴4－c≥0且c－4≥0.∴c＝4，则a＝－2.又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a－b＋c＝0，∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.∴原式＝eq\f(（－2＋2）2018,2017×4)＝0.4．解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0，(x－1)(x－1＋2x)＝0，(x－1)(3x－1)＝0，x1＝1，x2＝eq\f(1,3).(2)x2－6x－6＝0，x2－6x＝6，x2－6x＋9＝15(x－3)2＝15，x－3＝±eq\r(15)，x1＝3＋eq\r(15)，x2＝3－eq\r(15).(3)6000(1－x)2＝4860，(1－x)2＝，1－x＝±，x1＝，x2＝.(4)(10＋x)(50－x)＝800，x2－40x＋300＝0，x1＝10，x2＝30.(5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，x2－6x＋8＝0，x1＝2，x2＝4.5．解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝(b＋2)2－4(6－b)＝0，∴b1＝2，b2＝－10(舍去)．当a为腰长时，△ABC周长为5＋5＋2＝12.当b为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC的周长为12.6．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0.解得k>eq\f(3,4).(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2k＋1)，x1·x2＝k2＋1.∵x1＋x2＝－x1·x2，∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)．解得k＝0或k＝2.又∵k>eq\f(3,4)，∴k＝2.7．解：∵方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，∴a≤eq\f(1,2).又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.∵a≤eq\f(1,2)，且2(a－2)2≥0，∴当a＝eq\f(1,2)时，x12＋x22的值最小．此时x12＋x22＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2))eq\s\up12(2)－4＝eq\f(1,2)，即最小值为eq\f(1,2).点拨：本题中考虑b2－4ac≥0从而确定a的取值范围这一过程易被忽略．8．解：(1)设该市这两年(从2023年底到2023年底)拥有的养老床位数的年平均增长率为x，由题意可列出方程：2(1＋x)2＝.解得x1＝＝20%，x2＝－(不合题意，舍去)．答：该市这两年(从2023年底到2023年底)拥有的养老床位数的年平均增长率为20%.(2)①因为规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100－3t，由题意得t＋4t＋3(100－3t)＝200.解得t＝25.答：t的值是25.②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得y＝t＋4t＋3(100－3t)＝－4t＋300(10≤t≤30)．∵k＝－4＜0，∴y随t的增大而减小．当t＝10时，y有最大值为300－4×10＝260，当t＝30时，y有最小值为300－4×30＝180.答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．9．解：(1)设剪成的较短的一段为xcm，则较长的一段为(40－x)cm，由题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40－x,4)))eq\s\up12(2)＝58，解得x1＝12，x2＝28.当x＝12时，较长的一段为40－12＝28(cm)，当x＝28时，较长的一段为40－28＝12(cm)＜28cm(不合题意，舍去)．∴应剪较短的一段为12cm，较长的一段为28cm.(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为mcm，则较长的一段就为(40－m)cm，由题意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40－m,4)))eq\s\up12(2)＝48，变形为m2－40m＋416＝0.∵b2－4ac＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解．∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.10．解：(1)－1；5；－2；－3；1；－9.(2)这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项．11．解：(1)(x－2)2－2；(x－eq\r(2))2－(4－2eq\r(2))x；2(x－1)2－x2.(2)a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)(b－2)2＋(c－1)2＝0，所以a－eq\f(1,2)b＝0，b－2＝0，c－1＝0.所以a＝1，b＝2，c＝1.所以a＋b＋c＝4.12．解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2.∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1＝2(2a2＋a)＋1＝5.13．解：设y＝2x＋1，