初中数学人教版八年级上册轴对称1课题学习最短路径问题“黄冈赛”一等奖

课题学习最短路径问题第一课时教学设计一、内容和内容解析1．内容利用轴对称研究某些最短路径问题.2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.突出重点的方法：通过复习旧知，课前回顾了垂直平分线的性质、如何作已知点关于直线的对称点、以及两点之间，线段最短的理论依据，为后边学习两线段和最短做好了铺垫，课中通过老师由浅入深的设置问题串，并运用动画演示，引导学生思考、探究讨论、例题讲解以及达标测评的方式突出重点，突破难点.二、目标和目标解析1．教学目标（1）知识与技能：能利用轴对称，两点之间线段最短等知识解决简单的最短路径问题.（2）过程与方法：在将实际问题抽象成数学问题的过程中,通过问题的解决，培养学生转化问题的能力，体会图形的变化在解决最值问题中的作用.（3）情感与价值观：通过有具体的实际问题感受数学来源于生活又服务于生活，调动学生的数学学习兴趣，培养学生的数学应用意识.2.教学目标解析学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立.基于以上分析，本节课的教学难点是：（1）如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．（2）如何证明点C即为所求.突破难点的方法：通过教师的引导启发，先让学生思考直线l异侧两点线段和最小，为学生学习直线l同侧两点的线段和最小作好铺垫，利用轴对称性质，作任意一个点的对称点，连接对称点和另一点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解，即把不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上来解决问题.在证明最短时，教师适时点拨在l选取一点不与C重合的任意一点，通过所画与所要求证的最小值进行比较从而得到所作的线段和是最短的.四、教学策略分析课前充分准备，研读教材，查阅相关资料，用多媒体手段制作课件.为了让学生对教学内容有较好的理解和掌握，教学过程中除了使用传统的“讲授法”以外，同时辅以多媒体手段的课件，以启发的方式、自主探究式等教学原则展开教学式，重视知识的形成过程，给学生以探究的时间和空间，让学生对所学知识有思考、理解、接受、内化的过程.教学手段：在教学中采用多媒体课件，并通过几何画板演示，师生合作探究，小组交流讨论，学生验证归纳，课堂讲练结合等手段，增强教学的趣味性和有效性.五、教学过程设计一、回顾旧知，引出课题（1）△ABC中，AD垂直平分BC，若AC=5cm,则AB=.线段垂直平分线的性质是什么？（2）请画出左下图中，点A关于直线l的对称点A′，P是l上一点，PAPA′（填＞或＝或＜）.（3）如右上图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？【设计意图：通过复习，引导学生回忆线段垂直平分线的性质、作对称点的方法、“两点之间，线段最短”的结论，为后面的学习打下良好的基础.】二、引导探究合作交流1、出示实际问题：相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到驻地B处，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？【设计意图：以讲故事的形式来激发学生的学习兴趣.】2、转为数学问题：精通数学、物理学的海伦稍加思索，就利用数学知识回答了这个问题，后来被称为“将军饮马问题”.同学们，如果你就是海伦，你能用自己语言说说这个题目的意思吗？你能将它抽象为数学问题吗？然后学生讨论给出图形语言和符号语言，最后师生共同评定完成.【设计意图：在此能培养学生用图形语言和符号语言表达数学问题的能力，同时也让学生体会到将实际问题抽象为数学问题这一转化的思想.】3、解决数学问题：首先给同学们5—8分钟时间自学书本85面问题1，在自学的过程中完成自学提纲的问题.然后小组合作集中解决问题1，问题2，而后教师根据学生代表的回答并进行适时的点拨.（1）两点在一条直线异侧：活动1:已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点C，使得这个点到点AB的距离和最短，即CA+CB最小.思考：（1）你的做法是什么？这样做的理由是什么？（2）若在l上找一点与点C不重合的点C’，连接C’A,C’B，C’A+C’B是不是一定大于CA+CB？为什么？（3）若B′点与B点关于l对称，则AB与CA+CB′大小关系是怎样的？师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为所求，因为两点之间，线段最短．老师在l上找一点与点C不重合的点C’，连接C’A,C’B，利用两点之间，线段最短或者三角形两边之和大于第三边，从而得到C’A+C’B>AB,即C’A+C’B>CA+CB,这样就验证了最短，【设计意图：让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫，思考（1）中的说明方式，为后边证明两点在一条直线的同侧的最短做了铺垫.同时第三问的设计做出对称点，以及两条线段的和加起来等于第三条线段也为后边两点在一条直线的同侧的证明最短做了铺垫.】(2)两点在一条直线同侧活动2：如图，牧马人从A地出发到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为：如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？解决数学问题：如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？思考：（1）让学生分析这两个问题有什么相同点和不同点？（2）能否将两点在直线的同侧问题转化为两点在直线的异侧问题呢？（3）如果能转化，那么在转化的过程中满足直线l上的任意一点C，CB与CB’的长度始终保持什么样的数量关系？（4）如果CB=CB’，那么点C在线段BB’的什么上？直线l与线段BB’有什么关系？（5）此时点B和点B’具有怎样的特殊位置关系？（利用轴对称的知识解决）根据老师的引导和学生的学习得出解决问题的方法师生共同完成作图，如下图.作法：1.作点A或（点B）关于l的对称点_____，2.连接_______,交直线l与_______,则点_______就是所要求作的点.4、证明最短问题：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？为了突破这一难点，老师引导学生思考：若不在C点，就应该在直线l的另一点C′，教师引导在直线l上任取一点C’，学生小组合作画图找到这时的距离和，再与之前的距离和比较大小，并强调说理的依据。学生可能会对只选一个C′点不放心，因此可让学生在草稿纸上再选一个与C不重合的点去证明，最后思考“C′”的作用是什么？为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C’，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C’B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.追问1：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．【设计意图：在这一过程中让学生进一步体会作法的合理性，提高了学生的逻辑思维能力.老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性.追问2：如果做另一个点的对称点是否也能解决问题？得到的是同一个点吗？师生活动：学生相互交流，最后得出结论是同一个点.设计意图：让学生通过动手观察发现作任意一点的对称点，连接对称点和另一点的直线培养学生简化问题情境，分析问题解决问题的能力．追问3：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.设计意图：通过梳理“将军饮马问题“的解题思路，帮助学生归纳解决实际问题的探究过程，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.师生共同小结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称知识把已知问题转化为容易解决的问题，（把不在同一条直线上的两条线段，转化到同一条线段上）从而作出最短路径的选择.三、应用拓展，内化提升例1.如图，A、B是河流同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.【设计意图：让学生从不同的视觉体验中感受最短路径问题的基本方法，巩固新知.】例2：如图，在△ABC中，点P在AB上，点Q在AC上，R是BC上一动点，要使△PQR的周长最小，请确定点R的位置.基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为三角形PQR的一条边．这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”.师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.【设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法，培养学生简化问题情境，分析问题解决问题的能力．】四、达标检测，反馈学习1.如图，点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长为a，那么直线l有点P，PA+PB最短为______.2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是（）A．4B．5C．6D．83、在一条河的同一岸上有 AB两个油库，要在河边建一个码头C，怎样作图使：=1\*GB3①AB两油库到码头C的距离相等.=2\*GB3②AC+BC最短. 【设计意图：通过适当的练习题，当堂检测学生学习的效果，巩固新知】.（课外延伸）1、已知：如图1,A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.图1图2（课外延伸）2、如图2，∠AOB=30°，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△