正弦交流电路4概要

第四章正弦交流电路研究对象：交流电路比直流电路复杂得多，表现在：

元件类型多：包括电阻、电容、电感和电源电压电流关系复杂功率计算复杂研究目的掌握相量分析法，并会计算交流电路的电压、电流和功率。熟悉交流电路的性能特点，会计算电路的功率因数研究方法----相量分析法

第1页/共53页第一页，共54页。

正弦量的三要素掌握参考方向的分析方法三要素的计算第2页/共53页第二页，共54页。正弦量的三要素第3页/共53页第三页，共54页。正弦量的三要素第4页/共53页第四页，共54页。正弦量的三要素第5页/共53页第五页，共54页。

有效值

掌握有效值与幅值的关系理解有效值的物理意义定义：交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量如与某一直流电流I通过同一电阻在相同时间内所产生的热量相等时，则称此直流电流I的数值是该交流电流i的有效值。第6页/共53页第六页，共54页。有效值有效值与幅值

第7页/共53页第七页，共54页。

有效值第8页/共53页第八页，共54页。相位差第9页/共53页第九页，共54页。相位差相位差与计时起点无关

相位关系第10页/共53页第十页，共54页。0

ti相位差u=Umsin(t+1)ui=Imsin(t+2)

两个同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，用表示。

=(t+1)–(t+2)=1–2u和i的相位差iu21

图中1>2u超前于i一个角；或称i滞后于

u一个角。第11页/共53页第十一页，共54页。

ti0i1i2i3i1与i3反相i1与i2同相※当两个同频率的正弦量计时起点改变时，它们的初相位角改变，但初相角之差不变。第12页/共53页第十二页，共54页。3.2正弦交流电的相量表示法正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量可以用复数来表示，称之为相量。用大写字母上打“•”表示。各有四种形式：有效值初相位

=Ia+jIb=I(cos

+jsin

)=Iej=II•分为有效值相量和最大值相量代数式三角式指数式极坐标式有效值相量：第13页/共53页第十三页，共54页。Im•最大值

=Iam+jIbm=Im(cos+jsin)=Imej=Im最大值相量：最大值相量有效值相量0Im

•+1+jI•IaIb相量图

复数在进行加减运算时，应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

复数在进行乘除运算时，应采用指数式或极坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。

特别是在某些情况下采用相量图能使问题的分析变得较为简单。第14页/共53页第十四页，共54页。例：若已知i1=I1msin(t+

i1)、i2=I2msin(t+

i2)，求i1

+

i2解：（1）用相量图法求解1j0i1i2Im•I1m•

正弦电量（时间函数）正弦量运算所求正弦量变换相量（复数）相量结果反变换相量运算（复数运算)（2）用复数式求解I2m•I2m•Im•=I1m•+i=Imsin(t+)第15页/共53页第十五页，共54页。例

已知求：解：(1)采用相量运算:i=Imsin(t+)第16页/共53页第十六页，共54页。(2)采用相量图运算:+1+j0求：第17页/共53页第十七页，共54页。交流电的瞬时值表达式：i=Imsin(t+)有效值：最大值：Im、Um、EmI、U、E=II•最大值相量形式：有效值相量形式：=ImIm•小结：注意：

1、相量只是正弦量进行运算时的一种表示方法和主要工具（可采用平行四边形法则）；

2、只有正弦交流电才能用相量表示，只有同频率的正弦交流电才能进行相量运算。第18页/共53页第十八页，共54页。3.3单一参数交流电路由单一理想电路元件组成的交流电路。电阻元件：消耗电能电感元件：通过电流要产生磁场而储存磁场能量电容元件：加上电压要产生电场而储存电场能量耗能元件储能元件

本节讨论不同参数的电路在通过正弦交流电时，电压与电流的关系，及能量的转换问题。一、纯电阻电路iR+–ui=uRu=iR或1、电压和电流的关系设i=Imsint

则u=Ri

=RImsint=Umsint

第19页/共53页第十九页，共54页。

电压与电流同频率、同相位1.电压电流关系R

电压与电流大小关系U=RI或Um=RImiuU•I•

电压与电流相量表达式U=R•I•ui+–

t0相量图+1+j0波形图第20页/共53页第二十页，共54页。

瞬时功率

i=Imsintu=Umsint

平均功率P=IU=RI2

2.功率Rui+–u

t0ip0

tP=UIp=ui=2UIsin2t转换成的热能W=PtP在一个周期内的平均值——又称有功功率第21页/共53页第二十一页，共54页。0fXcXc=1

/2fCi=CUmcost=Imsin(t+90)容抗

Um=ImC

1=ImXC设u=Umsint1.电压电流关系有iuC+–dudti=C由

XC=C

1电容对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流可视作开路。二、纯电容电路—表示电容对电流阻碍作用的物理量XC与频率成反比第22页/共53页第二十二页，共54页。i=Imsin(t+90)u=UmsintiuC+–dudti=C

u波形图

t0iU

•+1+j0

电流超前电压90相量图I•

电压与电流大小关系

U=IXC

电压与电流相量式=XC

I

•U

•j参考相量第23页/共53页第二十三页，共54页。波形图2.功率p=ui=UIsin2t瞬时功率

u=Umsinti=Imsin(t+90)i

t0p

t0++––当u、i同号时（u

增长）p>0,电容吸收功率；当u、i异号时（u

减小）p<0,

电容释放功率。iuC+–u第24页/共53页第二十四页，共54页。i

t0p

t0++––平均功率

P=0无功功率XCU2电容与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。Q=UI=XCI2

=

电容不消耗功率，它是储能元件。uWc=12Cu2储存的电场能波形图p=ui=Cudtdu第25页/共53页第二十五页，共54页。

例：下图中电容C=23.5F，接在电源电压U=220V、频率为50Hz、初相为零的交流电源上，求电路中的电流i

、P及Q。该电容的额定电压最少应为多少伏？i=Imsin(t+90)=2.3sin(314t+90)A

XC=C1解：容抗

I=XCU=1.62A

=2f

C1=135.5P=0Q=UI=356.4VariuC+–

额定电压220V√=311V2第26页/共53页第二十六页，共54页。

设

i=Imsint0fXLXL=2fLu=LImcost=Umsin(t+90)

Um=ImL

XL=L

感抗=ImXLdidtu=L1.电压电流关系由有iu+–L电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。三、纯电感电路—表示电感对电流阻碍作用的物理量感抗与频率成正比第27页/共53页第二十七页，共54页。

iu波形图

t0U

•+1+j0

电压超前电流90

i=Imsintu=Umsin(t+90)didtu=Liu+–L相量图I•

电压与电流大小关系

U=IXLjU

•I

•电压与电流相量式=XL第28页/共53页第二十八页，共54页。波形图2.功率iu+–Lp=ui=UIsin2t瞬时功率

i=Imsintu=Umsin(t+90)iu

t0p

t0++––当u、i同号时（i

增长）p>0,电感吸收功率；当u、i异号时（i

减小）p<0,

电感提供功率。第29页/共53页第二十九页，共54页。iu

t0p

t0++––平均功率

P=0无功功率XLU2电感与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。Q=UI=XLI2

=

电感不消耗功率，它是储能元件。波形图WL=12

Li2储存的磁场能p=ui=Lidtdi第30页/共53页第三十页，共54页。一、纯电阻电路u=iR

电压与电流同频率、同相位电压与电流大小关系U=RI或Um=RIm

电压与电流相量表达式U=R•I•平均功率(有功功率)P=IU=RI2

电流超前电压90

电压与电流大小关系

U=IXC，XC=1/

Cdudti=C二、纯电容电路平均功率

P=0无功功率Q=UI=XCI2

电压超前电流90didtu=L

电压与电流大小关系

U=IXL，XL=

LU

•I

•电压与电流相量式=j

XL三、纯电感电路平均功率

P=0无功功率Q=UI=XLI2

电压与电流相量式=XC

U

•jI

•小结第31页/共53页第三十一页，共54页。

设

i=Imsint根据KVL3.4串联交流电路电压电流关系u=uR+uL+uCuL=ULmsin(t+90)

uR

=uRmsintuC=UCmsin(t–

90)则CRLuRuLuciu+–+–+–+–u=uR+uL+uC

=Umsin(t+)

一、R、C、L串联电路第32页/共53页第三十二页，共54页。

用相量表示电压电流关系，则为I•jLRZ=R2+X2U

•UR•UL•UC•=++X=

XL-XC=arctanXR+–+–+–+–CRLuRuLuciu+–+–+–+–U

•UR•UC•UL•=[R+j(XL–XC

)]=ZI

•I

•jLR=+C1–jI

•I

•I

•=[R+j(XL-XC

)]Z=U

•I

•=Z

ej阻抗其中C1–j亦为复数！称为电抗第33页/共53页第三十三页，共54页。相量图I

•U•UR•UL•Uc•UL•Uc•U=

UR2+

(UL–UC)2

=I

R2+

(XL–XC)2

=R2+

(XL–XC)2Z

阻抗模阻抗三角形XL--XcRZ阻抗角XL-XC

=arctanRCRLuRuLuciu+–+–+–+–以i为参考相量用相量图表示第34页/共53页第三十四页，共54页。U•UR•RXZ阻抗三角形电压三角形电压、阻抗三角形X=

XL-XC

UX•UL•UC•

=+若>0，则电压超前电流，电路呈电感性。若

<0，则电流超前电压，电路呈电容性。阻抗角XL-XC

=arctanRUX•第35页/共53页第三十五页，共54页。Z1U•I

•U=Z•I

•U=(Z1+Z2)•I

•Z2U2•U1•

等效变换条件Z=Z1+Z2若Z1=R1+jX1

Z2=R2+jX2则Z=R1+jX1+

R2+jX2

=(R1+R2)+j(X1+

X2)Z=Z1Z2+一般二、阻抗串联电路U•=U2•U1•+U=U1U2++–ZU•I

•+–

=Z

Zi当多个阻抗串联时，其等效阻抗为第36页/共53页第三十六页，共54页。解：1.

感抗XL=L=314×127×10-3=40

容抗

XC=C1=314×40×10-61=80Z=R2+(XL–Xc)2=50Z=302+(40–80)2复阻抗模例1：

R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30、L=127mH、C=40F，电源电压u=220sin(314t+45）V求：1.感抗、容抗及复阻抗的模;2.电流的有效值和瞬时值表达式；

3.各元件两端电压的瞬时值表达式。2CRLuRuLuciu+–+–+–+–XL-XC

=arctanR=-53º第37页/共53页第三十七页，共54页。解：1.

XL=40XC=80=50Z2.=22045

VU

•由电压相量I

•=U•Z=22045

30+j(40-80)=22045

50–53

=4.498A

I=4.4Ai=4.4sin(314t+98)A电流有效值瞬时值2I•jLR+–+–+–+–U

•UR•UC•UL•uR=

1322sin(314t+98)V3.=RI

•=13298VUR•=I

•jXL=176–172VUL•uL=

176sin(314t

–172

)V2Uc•=--jXcI•=3528VuC=

352sin(314t

+8)V2C1–j？第38页/共53页第三十八页，共54页。解：1.

则

XC=8→I最大，I=U/R=4A例2：电路如图所示,已知R=3、电源电压u=17sin314tV

jXL

=j

4

。求：1.容抗为何值（容抗不等于零），开关S闭合前后，电流的有效值不变，其值等于多少？

2.容抗为何值，开关S闭合前电流I最大，这时的电流是多少？I•R–jXCjXLS

=R2+XL2+–U

•UR•UC•UL•+–+–+–2.=5=R2+(XL–XC)2ZZI=U/S闭合后S闭合前Z=2.4AU=Um/2=12V而当XC=XL=4时→Z=R，最小第39页/共53页第三十九页，共54页。Z1U•I•Z2

I1

•

I2•+–

I•=

I2•

I1•+等效电路ZI

•

=U•Z=Z1Z2+Z1Z2

=Z

1Z1Z211+I

•U

•

=Z1Z2+U

•ZU•I

•+–一般I=I1I2+

=Z

1Z1Z211+

=Z

1Zi13.5并联交流电路当多个阻抗并联时，其等效阻抗为第40页/共53页第四十页，共54页。例：图示电路中，电压表读数为220V,电流表读数为I1=10A，I2=14.14A,R1=12，R2=XL,电源电压u与电流i同相。求总电流I、R2、XL、

Xc。I

•I1•U2•UL•1014.1410U1•120100uii2i1CR2LR1A1A2Vu1u210A14.14AI=10AU1=12×10=120VU2=220–120=100VXc=10010=10=10014.14Z2=R22+XL2=7.07R2=

XL=5解：I2•+–+–+–依题意有u、i、u1、u2均同相。45º第41页/共53页第四十一页，共54页。二端网络iu有功功率P总为正3.6交流电路的功率则

瞬时功率p=ui=UIcos

–UIcos

(2t+)若i=Imsint

u

=Umsin(t+)

∫

=UIcos

T10TuidtP=0

||<90°u、i相位不同时，电路中有电抗性元件第42页/共53页第四十二页，共54页。二端网络iuQ为负

Q为正

Q=UIsin

感性电路容性电路Ip•I•Iq•U•Ip•I•Iq•U•有功分量无功分量

Q=UIsin

无功功率XL-XC

=arctanR=

u-i电路中同时有电容和电感存在时，总无功功率

Q=QL+QC=为什么？第43页/共53页第四十三页，共54页。引入视在功率

S=UI单位：伏·安（VA）或千伏·安（kVA）电压电流有效值的乘积二端网络iu若i=Imsint

u

=Umsin(t+)

Q=UIsin

P=UIcos

S=UISQU•UR•UX•RXZPS=

P2+Q2X=

XL-XC

UX•UL•UC•

=+Q=

QL+QC功率、电压、阻抗三角形可视为有功功率和无功功率的综合值。第44页/共53页第四十四页，共54页。二端网络iu若i=Imsint

u

=Umsin(t+)

Q=UIsin

P=UIcos

S=UI1、电路中总的有功功率等于各支路或各电阻元件有功功率的算术和2、电路中总的无功功率Q=QL+QC，注意：QL为正，而QC为负。3、电路中总的视在功率一般不等于各支路或各元件视在功率的算术和或代数和。S=

P2+Q2第45页/共53页第四十五页，共54页。功率因数低引起的问题有功功率

P=UNIN

cos功率因数1.电源设备的容量将不能充分利用2.增加输电线路和发电机绕组的功率损耗I=

UcosP在P、U一定的情况下，cos越低，I越大，损耗越大。情况下，cos越低，P越小，设备得不到充分利用。3.7功率因数的提高=cos

P=rI2电压与电流的相位差角(功率因数角)在电源设备UN、IN一定的PS=第46页/共53页第四十六页，共54页。提高功率因数的方法

已知感性负载的功率P及功率因数cos1

，若要求