第八讲-力平衡微分方程

金属塑性成型力学

第八讲LessonEight陈霞Tel：武汉科技大学材料成型及控制工程2023/2/112为了进行力能参数和变形参数的工程计算，需要建立变形力学的有关方程诸如静力方程（包括力平衡微分方程和应力边界条件方程）；几何方程（包括应变与位移关系方程和变形协调方程）；物理方程（包括塑性条件方程和应力与应变关系方程）等。力平衡微分方程有3个；几何方程有6个；物理方程有6个；塑性条件方程有1个一般塑性加工力学问题需要建立这16个方程。本章着重讲解这些方程的导出及其相关的物理含义。2023/2/113第三章塑性力学方程主要内容MainContent力平衡微分方程屈服条件应力应变关系方程等效应力、等效应变平面变形和轴对称变形2023/2/1143.1力平衡微分方程一般情况下，变形体内各点的应力状态是不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表示整个变形体的受力情况。但是变形体内各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各应力分量必须满足静力平衡关系——力平衡微分方程。2023/2/1153.1.1直角坐标系的力平衡微分方程设变形体内有两相邻点a及a1，a点的坐标为x、y、z，a1点的坐标为x+dx、y+dy、z+dz，通过a及a1点各作互相垂直的三个坐标面，围成一个微分六面体。在此微分体上作用着法线应力和切应力。2023/2/116zxy2023/2/117通过a点的x平面上作用着，而通过a1点的x平面上作用着可简化为其它各应力分量同理可得。2023/2/118如果不考虑惯性力，按静力平衡整理得2023/2/119同理，由、有类似的结果高速塑性加工时，惯性力不可忽略求和约定得形式2023/2/1110力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变化与切应力变化的内在联系和平衡关系，可用来分析和求解变形区的应力分布。2023/2/11113.1.2柱面坐标系的力平衡微分方程rdq

3．力对微元体形心轴的矩的平衡方程给出：

注意到

忽略高阶微量，有：即切应力互等。2023/2/11133.1.3应力边界条件及摩擦

过变形体外表面上任意点，单位表面力与过该点的三个坐标面上的应力分量的关系如下式所示或该式就是应力边界条件方程2023/2/1114应力边界条件的种类自由表面一般情况下，在工件的自由表面上，既没有正应力，也没有切应力作用。自由表面2023/2/1115工件与工具的接触表面在此边界上，既有压缩正应力的作用，也有摩擦应力的作用。接触表面2023/2/1116变形区与非变形区的分界面在此界面上作用的应力，可能来自两区本身的相互作用，也可能来自特意加的外力作用。刚塑性交界面2023/2/1117金属塑性加工中的接触摩擦在金属塑性加工过程中，由于变形金属与工具之间存在正压力及相对滑动（或相对滑动趋势），这就在二者之间产生摩擦力作用。这种接触摩擦力，不仅是变形力学计算的主要参数或接触边界条件之一，而且有时甚至是能否成型的关键因素。2023/2/1118库仑摩擦定律或式中——摩擦力——正压力——摩擦切应力（单位摩擦力）——压缩正应力——摩擦系数2023/2/1119由于摩擦系数受应力状态的影响，而且很难测准。因此，许多研究者建议采用如下的摩擦关系式中——摩擦切应力——接触层工件的屈服切应力——摩擦因子应变协调方程（相容方程）变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象。为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协调方程。ABCDABCD设物体中某点P(x,y,z)

，位移分量为：u,v,w。应变分量为：几何方程：应变协调方程（相容方程）物理意义：如将变形体分解为许多单元体，每个单元体的变形可用六个应变分量表示，若应变分量不满足应变协调方程，则单元体不能组成一连续体。若满足，则可保证变形前后物体是连续的。利用应变协调方程可检验给定的应变状态是否为可能存在的？也可确定应变分量中的待定系数。应力分析：从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。应变分析：从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。本构关系：研究应力与应变之间存在的内在联系。1、低碳钢拉伸试验曲线：线弹性阶段：OA

弹性阶段：ABB点应力：弹性极限屈服阶段：CDC点应力：上屈服极限

D点应力：下屈服极限塑性流动阶段：DH

强化阶段：H点以后缩径阶段：b点以后拉伸和压缩时的应变应变曲线应力—应变曲线:

屈服极限规定用产生0.2％塑性应变所对应的应力来表示。记为σ0.22.无明显屈服阶段材料具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。通常且若称为理想包辛格效应。3.包辛格(J.Bauschinger)效应σ=P/A0A0：试件初始截面积，σ为名义应力σT=P/AA：试件变形后截面积σT为真实应力σT>σ4.真实应力—应变曲线讨论：利用体积不可压缩假设：则作图：故有***对简单拉伸，考虑泊松效应若纵向应变，则侧向应变为：截面积体积体积变化1.理想弹性力学模型符合材料的实际情况。数学表达式足够简单。力学模型的要求：se2.理想弹塑性力学模型sesses弹塑性力学常用的简化模型3.线性强化弹塑性力学模型see=1sessesEE1（双线性强化力学模型）4.幂