九年级上册英语听力人教版

本文格式为Word版，下载可任意编辑——九年级上册英语听力人教版——相交弦、切割线、切线长定理,五与圆有关的比例线段,,一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,议论与圆有关的相交弦的问题.,探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？,证明:连接AD、BC.,那么由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.,∴Rt△APD∽Rt△CPB.,探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？,,,证明:连接AD、BC.,那么由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.,∴Rt△APD∽Rt△CPB.,证明:连接AD、BC.,那么由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.,∴△APD∽△CPB.,探究3:上面议论了CD⊥AB的情形．进一步地,假设CD与AB不垂直，如图３,AB、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（１）还成立吗？,PA·PB=PC·PD……(3),综上所述，不管AB、CD具有什么样的位置，都有结论（１）成立！

,,相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.,几何语言：

AB、CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P,∴PA•PB=PC•PD.,,上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段．,探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆上（图４），再到圆外（图５），结论(1)还成立吗？,当点P在圆上,PA=PC=0,所以PA•PB=PC•PD=0仍成立.,当点P在圆外,连接AD、BC,轻易证明:,△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB,即PA•PB=PC•PD仍成立.,如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交⊙O于A、B和C、D.求证:PA∙PB=PC∙PD.,证法2：连接AC、BD，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形,∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P,∴△PBD∽△PCA.∴PD：PA=PB：PC.∴PA∙PB=PC∙PD.,割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.,应用格式（几何语言描述）:∵PAB,PCD是⊙O的割线,∴PA∙PB=PC∙PD.,,,证明:连接AC、AD,同样可以证明,△PAD∽△PCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PC•PD仍成立.,如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD交⊙O于C、D.求证：PA2=PC∙PD.,证明：连接AC、AD，∵PA切⊙O于点A,∴∠D=∠PAC.又∠P=∠P,∴△PAC∽△PDA.∴PA：PD=PC：PA.∴PA2=PC∙PD.,切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.,应用格式（几何语言描述）:∵PA是⊙O的切线,PCD是⊙O的割线,∴PA²=PC∙PD.,,,,,O,,D,,P,,C,,A,探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可以得出什么结论？,斟酌：从这几个定理的结论里大家能察觉什么共同点？,1.结论都为乘积式;,2.几条线段都是从同一点启程;,3.都是通过三角形好像来证明（都隐含着三角形好像）.,另外，从全等角度可以得到：,2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？,,说领略“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！

,例1如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.,解：设CD=x,那么PD=4/5x,PC=1/5x.,由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD,,∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.,∴CD=10.,,练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,那么PD=,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,那么半径R=,10,3,,,练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:,,,,,,O,,,D,,P,,A,,T,,B,,C,PA·PB=(7-R)·(7+R),△PAC∽△PDB,△BED∽△AEC,△PAD∽△PCB,E,练习3.如图,A是⊙O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,AD⊥BC，D为垂足.求证：PB:PD=PO:PC.,分析：要证明PB：PD=PO：PC,很明显PB、PD、PO、PC在同一向线上无法直接用好像证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PB•PC=PD•PO,而由切割线定理有PA2=PB•PC,只需再证PA2=PD•PO，而PA为切线,所以连接OA,由射影定理得到.,,例2如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA;(2)EF=FG.,证明：

(1)∵EF//CB,∴∠DEF=∠DCB.,∵∠DCB和∠DAB都是上的圆周角.,∴∠DAB=∠DCB=∠DEF.,∵∠DFE=∠EFA（公共角）,∴△DFE∽△EFA.,(2)由(1)知∴△DFE∽△EFA，,∴EF2=FA•FD.,又∵FG是圆的切线，,∴FG2=FA•FD.,∴EF2=FG2,即FG=EF.,例3如图，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任意一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.,PC2=PA∙PB,PD2=PA∙PB.,证明：由切割线定理可得：,∴PC2=PD2.即PC=PD．,例4如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C．求证：AC·AD+BC·BE=AB2．,证明：连接AC、AD，过C作CF⊥AB,与AB交于F．,∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=900.,又∵∠AFC=900,∴A、F、C、E四点共圆.,∴BC•BE=BF•BA.………(1),同理可证F、B、D、C四点共圆.,∴AC•AD=AF•AB.………(2),(1)+(2)可得AC•AD+BC•BE=AB(AF+BF)=AB2.,例5如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，连接CD、BD、BE、CE.,问题1:由上述条件能推出哪些结论？,∴CD:CE=AC:AE,∴CD•AE=AC•CE.………(2),同理可证BD•AE=AC•CE.……(3),∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE.………(4),探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,,而∠CAD=∠EAC,,∴△ADC∽△ACE.……(1),问题2在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？,问题2在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？,探究2:连接FG.与探究1所得到的结论相对比,可以揣摩△ACD∽△AEC.下面给出证明.,∵AB2=AD•AE,而AB=AC,,∴△ADC∽△ACE.……(5),而∠CAD=∠EAC,,∴AC2=AD•AE,,同探究1的思路，还可得到探究1得出的结论(2)(3)(4).,另一方面，由于F、G、E、D四点共圆.,∴∠CFG=∠AEC.,又∵∠ACF=∠AEC.,∴∠CFG=∠ACF.,故FG//AC.……(6),你还能推出其他结论吗？,问题3在图2中,使线段AC持续绕A旋转，使割线CFD变成切线CD,得到图3.此时又能推出哪些结论？,探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的全体结论.,此外，,∵AC//DG.,∵△ADC∽△ACE.,由(7)(8)两式可得：AC•CD=AE•CG.………(9),连接BD、BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,那么∠PCQ=∠PGD∠DBE,所以C、E、B、Q四点共圆.,你还能推出其他结论吗？,,练习4.如图,过⊙O外一点P作两条割线,分别交⊙O于点A、B和C、D.再作⊙O的切线PE,E为切点,连接CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.（1）求PC的长;（2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE.,解：（1）由切割线定理，得PC∙PD=PA∙PB,∵AB=3,PA=2,∴PB=AB+PA=5.,设PC=m,∵CD=4,PD=PC+CD=m+4.∴m（m+4）=2×5,化简，整理得：m2+4m−10=0,解得：

(负数不合题意，舍去),,,由切割线定理得:PE²=PC∙PD=PA∙PB=10.,由弦切角定理,得∠CEP=∠D.,又∵∠CPE=∠EPD（公共角）.,∴△CPE∽△EPD.,（2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE.,练习5.如图：过点A作⊙O的两条割线,分别交⊙O于B、C和D、E.已知AD=4,D